從質點幾何到九種平麵幾何 (1)

1) 質點幾何：初中時代
相信這裏絕大部分人和我一樣，都讀過那麽一些書，一本或者幾本，這些書曾經深深地影響過他們自己。特別是中學時代，因為那時大家都慢慢俱備了一定的閱讀理解能力，但是另一方麵腦子裏的世界觀卻還比較單薄，容易受外界的影響，所以那時用心閱讀過幾本好書往往能對自己的世界觀乃至學業、性格等產生很大的影響。我相信許多人都有這個體會，對不對？

我這個人以前比較懶惰，讀書不多，能逃避就逃避。這裏注冊的會員，如果單論文學作品，不是我謙虛，隨機挑一百人的話，肯定有九十五個人的閱讀量超過我，因為我隻看過很有限的一些書，例如魯迅全集，我就不曾看過，至今也提不起興趣去看。但是，我看過的那些書，特別是中學時代讀過的，許多都影響過我。如果細數起來，哪本書對我影響最大呢？答案是“九種平麵幾何”，因為這本書差點改變了我的學業。

平麵幾何，大家都知道是怎麽回事情，初中初涉平麵幾何(小學那些簡單的東西不算)，我就喜歡上這門課，相信這裏許多人也一樣。其中有些命題，簡潔優美，非常有趣，但是有些推理證明，難度卻很大，能讓人想破腦袋。那時我人很懶，應付應付功課倒不成問題，但是若論主動做點習題，主動讀點功課以外的書，那無異於天方夜譚。偏偏那時我是老師和學校心目中參加數學競賽的主要人選之一。

話說那個學期學完三角形後，數學老師將我和別的幾個人叫去，給了我們一些題目，至今記得的有兩個，證明西瓦定理、梅涅勞斯定理及其逆定理，第二天得給出證明，交卷。

作為學生，我雖然很懶，但是如果老師給我什麽差事，我一般還是老老實實完成，怎麽說也不能明著讓老師失望，是不是。照例，我那天晚上試圖證明這兩個定理，可是左一實線，右一虛線，弄得滿頭大汗，草稿紙是撕了一張又一張，可是就是證明不出。這樣折騰了好幾個小時，我一會兒灰心喪氣，一會兒惱羞成怒，自信心那不用多說，當然是嚴重受挫，似乎掉進了冰窟窿裏。

第二天，關於這兩個定理的證明，我交的是空白卷。在數學老師麵前，我刻意裝出一副無所謂的樣子，其實內心羞愧死了。心裏又估摸著你以後大不了不讓我參加這勞什子競賽，這對我或許還是好事。不料數學老師很委婉地說了我幾句後，說這兩個定理你能否證明，其實一點也不重要，重要的是它們能訓練你怎麽樣去係統思考，怎麽樣做到有條不紊。

證明幾何題真能訓練係統思考，能做到有條不紊？我有些吃驚，因為我向來是拿起題就做，毫無章法，東一槍，西一炮的，做完後又拋諸腦後，然後是去瘋玩，最多準備點說辭在父母麵前搪塞。老師見我不信，說你回家看看這本書吧，依你的悟性，隻要不懶，應該能看懂的。說罷借給我一本平裝三十二開的書：“質點幾何學”，隻是因為事隔好多年，書的作者是誰，哪個出版社出版的，現在都沒有印象了。

那本書我前後起起落落大約看了兩個月，迷迷糊糊、似懂非懂地看了個大概，因為是借的，所以盡可能地要早點歸還 (盡管我的數學老師肯定不在意我拿多久)。質點幾何學和中學課本那些東西截然不一樣 (當然內容差不多，都是平麵幾何是不是，但是其表述截然不一樣)。從中我開始知道什麽是笛卡兒標架，什麽是矢量，甚至能照瓢畫葫蘆一般知道計算矢量的內積和外積。當然，質點幾何學的核心部分是將平麵幾何的點看成是帶質量的點，一個給定的幾何圖形就是一個轉動意義下平衡的圖形(大家知道，這相當於牛頓物理中的杠杆原理和動量矩守恒)。用質點幾何學，我能三下五除二地證明我早先一籌莫展的西瓦定理、梅涅勞斯定理及其逆定理。當然，我不能在真正的數學競賽裏用上質點幾何，但是這本書卻給我帶來了震撼和欣喜。

以正統的教科書眼光來看，質點幾何學是某種意義上的奇山異石，或者旁門左道。既然是奇山異石或者旁門左道，它自然是饒有趣味的，因為它不會讓你覺得千篇一律的混凝土，而是讓你覺得像一條林中小徑，讓你相信前方有一些不知名的蘑菇或者野花待你去采摘。而那時的你是天真無邪的，無憂無慮的，目光是晶瑩的，手心是空的，那林中小徑是你能想像得到的最美的景色之一。實際上那本書是我整個初中時代讀過的集知識和趣味於一體的少數幾本書之一，和那些令人生厭、令人頭疼的習題集或者教科書相比，它可愛得多。它讓我相信，學習知識原來真的可以走不同的途徑，殊途同歸。從此，我對數學的興趣上升了半個台階，盡管還是和以前那樣學得浮躁，一點也不踏實。

我那位初中數學老師將我從初一帶到了初三。初三後，因為某種特別的原因我沒有參加中考，而轉入了另外一所中學，也就是我一個表姐任教的中學，繼續讀高一。當然啦，大家千萬不要懷疑我沒有參加中考而轉入另外一所中學是因為我害怕考試而走後門......其實兩者沒有什麽關係，我初中所讀的學校恐怕比就讀的高中更好一些。之所以轉校，完全是因為一個表姐在那裏教高中的緣故，老爸授權表姐對我進行適度的管束，比如說，如果我上課經常遲到早退的話。就這樣，那位曾經讓我覺得學習數學原來還能有一些趣味的初中數學老師就慢慢淡出我的視野，從此之後再也沒有聯係。現在想來，那位數學老師其實是個年輕的帥哥，盡管當時並不怎麽覺得，嗬嗬。

打初中開始就知道我們所學的平麵幾何是歐氏 (歐幾裏得) 幾何，它基於五個公理以及一些“合理的”定義，其中第五個公理並不能由之前的四個公理推導出(亦即它在歐氏幾何裏確實必須以公理的形式出現)，盡管我至今也無法證明它必須是公理。那時知道有兩個另辟蹊徑的數學家，一個是俄羅斯的羅巴切夫斯基，另一個就是德國的黎曼，先後否定歐氏幾何第五公設而獨立提出了兩套和歐幾裏得幾何平行的新幾何：羅巴切夫斯基幾何 (雙曲幾何)和黎曼幾何。我曆來對旁門左道的知識感興趣----當然話說回來，與其說這是出於某種求知欲，還不如說是出於某種獵奇心態----對自己的功課卻不太感興趣。所以，盡管自己中學數學學得並不怎麽樣，但是那時在自己的能力範圍內對羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何表現得饒有興趣(主要是黎曼幾何，因為我可以在歐幾裏得圓上實現黎曼幾何，這樣就為學懂黎曼幾何作了很好的鋪墊)，因為學習這些不僅能滿足自己的獵奇心態，而且能在同學們麵前口若懸河般吹牛，這對彌補我功課學得不紮實的形像肯定有好處的。當然，興許最主要的原因是學習這些旁門左道的知識無須考試。如果像學歐幾裏得幾何一樣需要考試的話，我恐怕早就逃之夭夭、懶得學了。考試多煩呀，是不是？