正文
100個箱子，裏麵放蘋果、梨、橘子，可以混合
問：不管怎麽放這些水果，是不是總能挑出51個箱子，使這51個箱子裏的蘋果、梨、橘子分別都不少於其他49個箱子裏的蘋果、梨、橘子？
=====================================================================
先做些準備工作：
（1）
對於N個含同一種類水果的箱子，可以找到N/2（N是偶數），或（N+1）/2（N是奇數）個箱子，使得這N/2或（N+1）/2個箱子中的水果大於等於其餘箱中的水果。這是顯而易見的，比如，100個箱子，按箱內水果數量從多到少排序，前50個箱子的水果之和肯定大於等於後50個箱子的水果之和。
（2）
對於N個箱子，每個箱子裏含有N種水果（水果的數量可以為0），則在最壞情況下，你需要全部N個箱子，來滿足題中的條件，即：使得選中的這N個箱子中的每樣水果數量不少於餘下箱子中相應水果的數量。一個例子是：正交矩陣，行代表箱子，列代表水果
箱子\\水果
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
顯然，任何N<7，都不能滿足條件。
現在開始解題：
如果箱子數和水果數不等，比如這裏，100個箱子，3種水果，我們可以先把它看作是100個箱子，100種水果。那麽，我們知道，最壞情況下，我們有一個100 X 100的正交矩陣，我們隻有取全部100個箱子，才能確保這一百個箱子滿足題裏的條件。
那麽，想象這個正交矩陣的前99列（即前99種水果）不變，最後一種水果消失，必須變成前99種水果中的一種，那麽，我們有98個箱子，#1到#98，每個箱子都隻含有一種水果種類（#1,…,#98），和另外2個箱子，#99，#100，兩個箱子中都隻含有水果#99。
根據定理（2），為了滿足條件，#1到#98這98個箱子，必須全部取出。
根據定理（1），#99和#100這兩個箱子，隻需取一個出來，取那個多的出來。
因此，100個箱子，含99種水果，至少要取99個箱子出來，才能滿足條件。
當然，這裏的第100種水果消失後，箱子#100也可能包含多種水果的組合，但是，結論相同。這裏，我們考慮的是最壞情況。
現在考慮100個箱子，98種水果，思路同上，最後，我們可能得到2種情況：
1）97個箱子，分別隻含水果#1到#97，和3個箱子，都含水果#98，根據上麵定理，我們需要：97+2=99
2）96個箱子，分別隻含水果#1到#96，和2個箱子，含水果#97，2個箱子，含水果#98，根據上麵定理，我們需要：96+1+1=98
兩者中取最壞：我們至少需要取99個箱子。
現在考慮100個箱子，3種水果的情況，隻有3種水果保留，其餘97種不得不變成所保留的3種水果之一。有很多種方法，但是，隻含水果#1的箱子數 X1+隻含水果#2的箱子數 X2+隻含水果#3的箱子數 X3 = 100。
最壞情況下，X1，X2，X3中兩個奇數，一個偶數，所以，最終所需要取的箱子數為51。
用此方法，可以給出100個箱子，不同水果種類的所需的最小數量箱子的全部結論：
水果種類，所需取的最小箱子數
100，100
99，99
98，99
97，98
96，98
..........
..........
..........
9，54
8，54
7，53
6，53
5，52
4，52
3，51
2，51
1，50
用公式表示，100個箱子，N種水果（N〈=100），則至少需要取：
50 + N/2 （N為偶數）
50 +（N-1）/2 （N為奇數）
個箱子，來確保這些箱子中的每種水果之和都大於其餘箱子中對應水果之和。
問：不管怎麽放這些水果，是不是總能挑出51個箱子，使這51個箱子裏的蘋果、梨、橘子分別都不少於其他49個箱子裏的蘋果、梨、橘子？
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先做些準備工作：
（1）
對於N個含同一種類水果的箱子，可以找到N/2（N是偶數），或（N+1）/2（N是奇數）個箱子，使得這N/2或（N+1）/2個箱子中的水果大於等於其餘箱中的水果。這是顯而易見的，比如，100個箱子，按箱內水果數量從多到少排序，前50個箱子的水果之和肯定大於等於後50個箱子的水果之和。
（2）
對於N個箱子，每個箱子裏含有N種水果（水果的數量可以為0），則在最壞情況下，你需要全部N個箱子，來滿足題中的條件，即：使得選中的這N個箱子中的每樣水果數量不少於餘下箱子中相應水果的數量。一個例子是：正交矩陣，行代表箱子，列代表水果
箱子\\水果
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顯然，任何N<7，都不能滿足條件。
現在開始解題：
如果箱子數和水果數不等，比如這裏，100個箱子，3種水果，我們可以先把它看作是100個箱子，100種水果。那麽，我們知道，最壞情況下，我們有一個100 X 100的正交矩陣，我們隻有取全部100個箱子，才能確保這一百個箱子滿足題裏的條件。
那麽，想象這個正交矩陣的前99列（即前99種水果）不變，最後一種水果消失，必須變成前99種水果中的一種，那麽，我們有98個箱子，#1到#98，每個箱子都隻含有一種水果種類（#1,…,#98），和另外2個箱子，#99，#100，兩個箱子中都隻含有水果#99。
根據定理（2），為了滿足條件，#1到#98這98個箱子，必須全部取出。
根據定理（1），#99和#100這兩個箱子，隻需取一個出來，取那個多的出來。
因此，100個箱子，含99種水果，至少要取99個箱子出來，才能滿足條件。
當然，這裏的第100種水果消失後，箱子#100也可能包含多種水果的組合，但是，結論相同。這裏，我們考慮的是最壞情況。
現在考慮100個箱子，98種水果，思路同上，最後，我們可能得到2種情況：
1）97個箱子，分別隻含水果#1到#97，和3個箱子，都含水果#98，根據上麵定理，我們需要：97+2=99
2）96個箱子，分別隻含水果#1到#96，和2個箱子，含水果#97，2個箱子，含水果#98，根據上麵定理，我們需要：96+1+1=98
兩者中取最壞：我們至少需要取99個箱子。
現在考慮100個箱子，3種水果的情況，隻有3種水果保留，其餘97種不得不變成所保留的3種水果之一。有很多種方法，但是，隻含水果#1的箱子數 X1+隻含水果#2的箱子數 X2+隻含水果#3的箱子數 X3 = 100。
最壞情況下，X1，X2，X3中兩個奇數，一個偶數，所以，最終所需要取的箱子數為51。
用此方法，可以給出100個箱子，不同水果種類的所需的最小數量箱子的全部結論：
水果種類，所需取的最小箱子數
100，100
99，99
98，99
97，98
96，98
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9，54
8，54
7，53
6，53
5，52
4，52
3，51
2，51
1，50
用公式表示，100個箱子，N種水果（N〈=100），則至少需要取：
50 + N/2 （N為偶數）
50 +（N-1）/2 （N為奇數）
個箱子，來確保這些箱子中的每種水果之和都大於其餘箱子中對應水果之和。
比如，“這裏的第100種水果消失後，箱子#100也可能包含多種水果的組合，但是，結論相同。這裏，我們考慮的是最壞情況。”這裏需要證明，為什麽第100個箱子隻有一個水果，是最壞情況。同理，還需要證明，隻有98種水果時，為什麽#99和#100各隻有一個水果，是最壞情況。就是說，每一種水果數目的最壞情況都是獨立的，都需要單獨證明。