401K的小智力題 -答案兼討論

401K的小智力題 -答案兼討論
bayfamily

上小學的時候，應用題老是作什麽追擊問題。什麽一列火車從甲地到乙地，何時追上，何時相撞的傻題目。現在看來，這些根本就不是什麽應用題。長大了，一是不開火車，開了火車也是按時刻表走。二是後來在現實世界裏，大家都忙著追美女和鈔票了，對鐵軌沒什麽興趣。

寫了個401K的追擊問題，沒想到各位這樣捧場。大家洋洋灑灑地討論了一圈，又是公式，又是假設。看來如今房市低迷，大家對401K的熱情很高嗎。大家小時候都是好孩子，作應用題留下的後遺症不輕。

題目有點tricky. 我今年比較走遠，到今天為止，我的今年回報是12%。這樣，我今年401K的增值超過了15K。我當時想，如果我再也不存401K了，每年的增值也會大於15K，而一個新人，最多隻能存15K。難道一個新工作的人，就永遠追不上我了麽？怎麽想也有悖直覺，因為我也才工作6年而已，難道年輕人就永遠不能趕上？

我草草算了一下，寫了個智力題。大家一回複不要緊。晚上我伏案猛算，越算越暈。

我開始和表情版主和黃牛同誌犯了同樣的錯誤，給年輕人多了一年的時間，所以得出相同的結論。本想大發一通議論。8.54%是magic number. 因為，巴菲特認為未來股市的長期回報應該在8%左右。而過去曆史平均回報是12%。取決於你相信誰的，來決定是否在存401K。

FrontLine，車前草同誌的計算很精確。不考慮按月和市場波動的話，年輕人是追不上的。永遠差一個”P“。大丫同誌，對不起，你說的很對。不愧是帶著MBA大腳啊。玉兄的推倒很正確。可惜寫晚了，不然還能挽救我的麵子。

這個追擊問題計算的意義。

1）你現在要是30歲出頭，401K存了20幾萬就差不多了。沒必要再多存。大不了比常人晚退休五六年，換來的是未來三十年的投資自由，再也不用存401K了。

2）401K要早存。投資理財要從娃娃抓起。中年以後要慢慢戒掉。

抱歉讓各位失望了，都是常識，意義不夠偉大。

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附件一：原題

我今年的401K的資產增值部分超過15K。 401K的contribution上限是每年15K。

現在有個年輕人，剛剛開始工作。他每年contribute 401K，最多15K。

是不是可以這樣說。我即使以後再也不存401K了。我的資產也永遠比他多。因為我的增值比他的contribution還多。

假設：我以後每年回報和今年相同。我和他的投資組合一模一樣。
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附件二：計算與評論

拋磚引玉：

現在是T萬，每年平均回報是r

年輕人：每年1.5W，每年平均回報是r

n 年後，
阿貝：T*(1+r)^n
年輕人：1.5*(（1+r)^n-1)/r

令 C=（1+r)^n, 這樣阿貝有T*C，年輕人有1.5*(C-1)/r

如要 T*C>1.5*(C-1)/r,

則 T*r > 1.5*（C-1）/C

n（年數）和r（平均回報)越大，（C-1）/C 越接近1

就是說，阿貝現有財產×平均回報要接近1.5萬，才能超過年輕人

r 是負的就不算了

黃牛：

這麽難的題也說簡單

假設你401賬戶今年錢數為X，增長率i, N 年後，你的賬戶：

X * i**N

年輕人每年contribution 為C, n年後，
C * (1 + i + i**2 + i**3 + ... + i**N)
= C (1 - i ** (N+1)) / (1-i)

當i>1, N->infinity, 年輕人的錢更多。

表版主：

我的答案:

假設投資回報 10% :
你現有15萬，每年不再投入，３０年後是261萬；
他現有0萬，每年投入1.5萬，３０年後是271萬

假設投資回報 5% :
你現有30萬，每年不再投入，３０年後是129萬；
他現有0萬，每年投入1.5萬，３０年後是104萬

假設投資回報 15% :
你現有10萬，每年不再投入，３０年後是662萬；
他現有0萬，每年投入1.5萬，３０年後是750萬

車前草：

我想表情的問題出在她給那個年輕人多了一年的時間.我用微軟的Excel來說明
(10%,隻列頭三年)
0 15
1 1.50 16.50
2 3.15 18.15
3 4.97 19.97
到第30年
30 246.74 261.74

再答BayFamily題目.
表情用的是一種"線性"算法,也就是投資是按嚴格線性比例增長.在這種情況下年輕人絕無超過BayFamily的可能.

為了簡化,可以假定投資的方式不變,比如隻是投資SPY,而且忽略分紅裂股什麽的.
由於BayFamily沒有追加資本,可以認為他的SPY股數30年不變.而年輕人隨著每年的投資,SPY股數慢慢增加.
如果SPY一年中大部分時間股價低迷,到年底才漲上去,年輕人用同樣的錢,必然能買到更多的SPY.這樣年輕人就有機會超過BayFamily,雖然SPY每年的增長率相同.

CashLover：

你們之間的差距永遠也不會變。
假設把你的401k分成兩部分，一部分是你現有的本金，另一部分本金為0。每年你把第一部分的收益15000放入第二部分。
這樣，你的第一部分永遠都不會變，第二部分和年輕人的401k一模一樣，每年有15000的投入。不管過多久，你們之間的差距永遠是你第一部分401k中的錢。
這和我的公式計算結果是一樣的。