小波分析係列講座4

總結一下前麵所講的內容思想 任何一個事物都對應著多個描述空間（從不同角度觀察），每個描述空間都由自身的特征描述基構成，若這些特征基可以描述出S中不同事物，則稱特征基在S中是完備的。若這些特征基兩兩之間不相關，則稱其為正交。當然完備並不要求正交，正交的好處在於每個特征基上描述的信息和其他特征基不相關。從而消除了信息的冗餘（部分重複）表示。 --描述空間也稱描述域。不同特征基也有不同描述和運算規則。 故此我們可以將事物在A描述空間上的特征轉為在B空間（也成變換域）的特征，從而更符合於我們的觀察或認知角度。 傳統的傅裏葉變換即是引入無窮餘玄基和正玄基來無窮逼近L2空間中的函數。因餘玄基和正玄基的許多優秀性質而被廣泛應用。 在圖像壓縮中，我們就是利用了圖像數據的特性，將其轉化為符合其特性描述的空間上，從而更好的描述了圖像而達到壓縮的目的。 而自然圖像的數據特性就是其中相鄰的象素點的顏色在一個大的概率上相關，否則我們將要看到一片顏色亂變的點。 對此，我們引入圖像的頻域的描述空間概念，對於大範圍內平緩變化的信息，我們稱其為低頻信息，對於小範圍內變化很快的信息，我們稱其為高頻信息，並將這些信息對應頻域上的數值。低頻和高頻信息完全在於人為，並不一定要有統一形式。 離散傅裏葉變換即是這樣一種變換。它以變化平緩的波來描述低頻信息，以變化快速的波來描述高頻信息。因自然圖像相關性，故低頻信息描述了整體的信息，而高頻信息描述了局部細節。由此知，大部分高頻信息的值應該在一個較小的範圍內，再結合其他特性，進行壓縮。 但傅裏葉變換存在一些不足。例如，要想取得較好的低頻信息，我們需要相對較長的變換窗口，而要想取得較好的高頻信息，我們又需要較短的窗口。(非常短窗口的低頻信息和非常長窗口的高頻信息都幾乎沒什麽很大的意義) , 這樣就引起一對矛盾。 小波變換應運而生，為了解決傅裏葉變換的不足，它就需要用長窗口來提取低頻信息，用短窗口來提取高頻信息。那麽它是如何做的呢 正如第0節講到的變換，它就滿足了這個要求。它也就是haar小波變換。