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045 中國傳統數學理論的奠基人
劉徽
“傳略”劉徽（公元3世紀中後期），魏晉時數學家，生平事跡不詳。魏景元四年（263）注《九章算術》九卷，撰《重差》一卷，《九章重差圖》一卷。唐代初年，《九章重差圖》已佚，《重差》一卷單行，被稱為《海島算經》。他在《九章算術注》中提出了很多創見，尤其是用割圓術來計算圓周率的方法，含有極限概念，是他的一個最大創造。他正確地計算出圓內接正192邊形的麵積，從而得到圓周率π的近似值為157／50＝3.14，又計算出圓內接正3072邊形的麵積，從而得到π≈3927／250＝3.1416.這就是著名的割圓術。
“影響”中國是一個富有數學遺產的國家。十進位製的計數方法，通行於全世界，是最優的計數方法。中國的《易經》，64個卦象，就由一長橫陽爻――和兩短橫陰爻――組成，變化奇妙無窮。德國17世紀大數學家萊布尼茨受《易經》卦象的啟發，研究二進位製，認為陰、陽爻可以用0和1表示，並列出了二進製表。1701年，萊布尼茨完成了用二進製表示法，把《易經》64卦象全部用1和0表示出來，用以論證他的二進製表的可行性和準確性。1703年，論文發表，震驚了全世界。這個成果對世界近代科技的發展起了巨大的推動作用，現在已在各個領域得到了廣泛應用。尤其是對於計算機的發明起了關鍵作用，因此，萊布尼茨被稱為計算機之父。可以說，中國古代《易經》啟發了現代科學技術。
中國古代有許多數學專著。前後成書的《九章算術》是算經十書中最重要的一種。該書係統總結了我國從先秦到東漢初的數學知識，成為集大成之作。全書分為九章。第一章方田，為分數四則算法和平麵形求麵積法；第二章粟米，糧食交易計算方法；第三章衰分，分配比例的算法；第四章少廣，開平方與開立方的算法；第五章商功，立體形求體積法；第六章均輸，管理糧食運輸均勻負擔的計算法；第七章盈不足，關於盈虧類問題的解法，以及用這種解法處理其他類型的算術問題；第八章方程，一次方程的解法和正負數；第九章勾股，勾股定理的應用和簡單的測量問題的解法。
《九章算術》，提出了100多個一般性公式、算法，奠定了中國數學的基本框架，確立了中國數學以計算為中心的特點。全書含有246個應用題，體現了中國數學密切聯係實際的風格，並且確立了中國古代數學以算法統帥應用題的基本形式。其中負數、分數計算，聯立一次方程解法等都是具有世界意義的成就。
《九章算術》被曆代官方定為數學經典著作，因此後世許多傑出的數學家都以為《九章算術》作注的形式施展才華，闡明自己的心得體會和發明創造。其中劉徽注更具有劃時代的意義。他全麵證明了《九章算術》的公式、解法，彌補了《九章算術》的不足，奠定了中國古代數學的理論基礎，對中國傳統數學的發展產生了深遠的影響。當代著名數學家吳文俊高度評價說：“從對數學貢獻的角度衡量，劉徽應該與歐幾裏得、阿基米得等相提並論。”
劉徽對許多數學概念給予了明確的定義，如：“凡數相與者謂之率”，“凡廣從相乘謂之冪”，“兩算得失相反，要令正負以名之”“群物總雜，各列有數，總含其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。”等。
劉徽在大量類比和歸納的基礎上，發展了演繹的數學證明。他又以無窮小分割的思想和方法，首創割圓術，更是閃爍著現代數學基礎理論的光輝。割圓術以內接正六邊形開始割圓，邊數成倍增加，則麵積無限逼近圓麵積。劉徽說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這一方法實質是用極限方法證明了“以半周乘半徑而為圓冪”的圓麵積公式，提出了求圓周率的正確方法，並從而奠定了中國圓周率計算方麵在世界長期領先的基礎。後來祖衝之計算圓周率π的近似值在3.1415926與3.1415927之間，應該也是用劉徽的割圓術方法求出的。
劉徽對鱉�，即四麵皆為勾股形的四麵體，以及對陽馬，即直角四棱錐體的體積公式的證明，也是巧妙地運用無窮小分割的方法成功地解決的。劉徽還把無窮小分割思想用於近似計算。例如開方不盡時，“退之彌下，其分彌細”“求其微數”，可以計算方根和任意精確近似值。
1992年，山東科學技術出版社出版了郭書春的《古代世界泰鬥劉徽》一書。郭氏研究，劉徽的數學體係，“發其一端”於“規矩、度量可得而共”，統一於數，由此根而產生數量的運算這個數學之樹的主幹。又以長方形麵積公式、長方體體積公式、率、正負數的定義為前提，引出分數四則運算和今有術，又引出衰分術，均輸術、盈不足術、開方術、方程術，麵積問題、勾股測望問題、體積問題等主要枝條。再由此生發，分出約分、合分、減分、乘分、徑分、平分、徑率、其率、反其率、衰分、返衰、重今有、均輸、盈不足、兩盈不足、盈適足不足適足、三角形、梯形、圓、弧田、環田、圓周率、圓錐表麵積、塹堵、陽馬、鱉�、方錐、方亭、芻甍、芻童、羨除、勾股定理、解勾股形、勾股數組、勾股容方容圓、一次測望、重差、三望、四望、開方、開圓、開帶從方，開立方、開立圓、方程術、正負術、損益術、方程新術、互乘相消、不定方程等各種方法作為更細的枝條。主幹、分枝、細枝，形成了一株枝葉繁茂，碩果累累的大樹。郭氏的比喻恰當而形象，極為生動中肯。自劉徽注《九章算術》後，推動了中國古代數學的發展，後繼作家蜂起，研究者不絕如縷。最有成就者要推南朝祖衝之、祖�父子，唐李淳風、北宋賈憲、南宋楊輝等，以及宋元數學大師秦九韶、李冶、朱世傑等，都在劉徽的啟發下而發揮了新的創造，因而劉徽的名字也在這些人的著作中多次提到。
“餘論”《九章算術》和劉徽注在明代中國傳統籌算衰落時期，幾乎失傳。清代修《四庫全書》得以重新麵世。戴震、李潢、焦循、錢寶琮等人先後對《九章算術》和劉徽注進行了校勘、闡釋，才使得這一珍寶重現光澤。戴氏等人可謂劉氏功臣。近年來，國際數學史界也十分關注對劉徽的研究。日本學者川原秀城已於1980年出版了《九章算術》及劉徽注的日譯本。法譯本、英譯本也在中國學者和國外學者的合作中推出。劉徽的國際影響將會越來越大。隨著時間的推移，這位中國古代的數學泰鬥――劉徽定能名播中華，遠傳世界。
（劉春梅）
“傳略”劉徽（公元3世紀中後期），魏晉時數學家，生平事跡不詳。魏景元四年（263）注《九章算術》九卷，撰《重差》一卷，《九章重差圖》一卷。唐代初年，《九章重差圖》已佚，《重差》一卷單行，被稱為《海島算經》。他在《九章算術注》中提出了很多創見，尤其是用割圓術來計算圓周率的方法，含有極限概念，是他的一個最大創造。他正確地計算出圓內接正192邊形的麵積，從而得到圓周率π的近似值為157／50＝3.14，又計算出圓內接正3072邊形的麵積，從而得到π≈3927／250＝3.1416.這就是著名的割圓術。
“影響”中國是一個富有數學遺產的國家。十進位製的計數方法，通行於全世界，是最優的計數方法。中國的《易經》，64個卦象，就由一長橫陽爻――和兩短橫陰爻――組成，變化奇妙無窮。德國17世紀大數學家萊布尼茨受《易經》卦象的啟發，研究二進位製，認為陰、陽爻可以用0和1表示，並列出了二進製表。1701年，萊布尼茨完成了用二進製表示法，把《易經》64卦象全部用1和0表示出來，用以論證他的二進製表的可行性和準確性。1703年，論文發表，震驚了全世界。這個成果對世界近代科技的發展起了巨大的推動作用，現在已在各個領域得到了廣泛應用。尤其是對於計算機的發明起了關鍵作用，因此，萊布尼茨被稱為計算機之父。可以說，中國古代《易經》啟發了現代科學技術。
中國古代有許多數學專著。前後成書的《九章算術》是算經十書中最重要的一種。該書係統總結了我國從先秦到東漢初的數學知識，成為集大成之作。全書分為九章。第一章方田，為分數四則算法和平麵形求麵積法；第二章粟米，糧食交易計算方法；第三章衰分，分配比例的算法；第四章少廣，開平方與開立方的算法；第五章商功，立體形求體積法；第六章均輸，管理糧食運輸均勻負擔的計算法；第七章盈不足，關於盈虧類問題的解法，以及用這種解法處理其他類型的算術問題；第八章方程，一次方程的解法和正負數；第九章勾股，勾股定理的應用和簡單的測量問題的解法。
《九章算術》，提出了100多個一般性公式、算法，奠定了中國數學的基本框架，確立了中國數學以計算為中心的特點。全書含有246個應用題，體現了中國數學密切聯係實際的風格，並且確立了中國古代數學以算法統帥應用題的基本形式。其中負數、分數計算，聯立一次方程解法等都是具有世界意義的成就。
《九章算術》被曆代官方定為數學經典著作，因此後世許多傑出的數學家都以為《九章算術》作注的形式施展才華，闡明自己的心得體會和發明創造。其中劉徽注更具有劃時代的意義。他全麵證明了《九章算術》的公式、解法，彌補了《九章算術》的不足，奠定了中國古代數學的理論基礎，對中國傳統數學的發展產生了深遠的影響。當代著名數學家吳文俊高度評價說：“從對數學貢獻的角度衡量，劉徽應該與歐幾裏得、阿基米得等相提並論。”
劉徽對許多數學概念給予了明確的定義，如：“凡數相與者謂之率”，“凡廣從相乘謂之冪”，“兩算得失相反，要令正負以名之”“群物總雜，各列有數，總含其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。”等。
劉徽在大量類比和歸納的基礎上，發展了演繹的數學證明。他又以無窮小分割的思想和方法，首創割圓術，更是閃爍著現代數學基礎理論的光輝。割圓術以內接正六邊形開始割圓，邊數成倍增加，則麵積無限逼近圓麵積。劉徽說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這一方法實質是用極限方法證明了“以半周乘半徑而為圓冪”的圓麵積公式，提出了求圓周率的正確方法，並從而奠定了中國圓周率計算方麵在世界長期領先的基礎。後來祖衝之計算圓周率π的近似值在3.1415926與3.1415927之間，應該也是用劉徽的割圓術方法求出的。
劉徽對鱉�，即四麵皆為勾股形的四麵體，以及對陽馬，即直角四棱錐體的體積公式的證明，也是巧妙地運用無窮小分割的方法成功地解決的。劉徽還把無窮小分割思想用於近似計算。例如開方不盡時，“退之彌下，其分彌細”“求其微數”，可以計算方根和任意精確近似值。
1992年，山東科學技術出版社出版了郭書春的《古代世界泰鬥劉徽》一書。郭氏研究，劉徽的數學體係，“發其一端”於“規矩、度量可得而共”，統一於數，由此根而產生數量的運算這個數學之樹的主幹。又以長方形麵積公式、長方體體積公式、率、正負數的定義為前提，引出分數四則運算和今有術，又引出衰分術，均輸術、盈不足術、開方術、方程術，麵積問題、勾股測望問題、體積問題等主要枝條。再由此生發，分出約分、合分、減分、乘分、徑分、平分、徑率、其率、反其率、衰分、返衰、重今有、均輸、盈不足、兩盈不足、盈適足不足適足、三角形、梯形、圓、弧田、環田、圓周率、圓錐表麵積、塹堵、陽馬、鱉�、方錐、方亭、芻甍、芻童、羨除、勾股定理、解勾股形、勾股數組、勾股容方容圓、一次測望、重差、三望、四望、開方、開圓、開帶從方，開立方、開立圓、方程術、正負術、損益術、方程新術、互乘相消、不定方程等各種方法作為更細的枝條。主幹、分枝、細枝，形成了一株枝葉繁茂，碩果累累的大樹。郭氏的比喻恰當而形象，極為生動中肯。自劉徽注《九章算術》後，推動了中國古代數學的發展，後繼作家蜂起，研究者不絕如縷。最有成就者要推南朝祖衝之、祖�父子，唐李淳風、北宋賈憲、南宋楊輝等，以及宋元數學大師秦九韶、李冶、朱世傑等，都在劉徽的啟發下而發揮了新的創造，因而劉徽的名字也在這些人的著作中多次提到。
“餘論”《九章算術》和劉徽注在明代中國傳統籌算衰落時期，幾乎失傳。清代修《四庫全書》得以重新麵世。戴震、李潢、焦循、錢寶琮等人先後對《九章算術》和劉徽注進行了校勘、闡釋，才使得這一珍寶重現光澤。戴氏等人可謂劉氏功臣。近年來，國際數學史界也十分關注對劉徽的研究。日本學者川原秀城已於1980年出版了《九章算術》及劉徽注的日譯本。法譯本、英譯本也在中國學者和國外學者的合作中推出。劉徽的國際影響將會越來越大。隨著時間的推移，這位中國古代的數學泰鬥――劉徽定能名播中華，遠傳世界。
（劉春梅）
