我很長時間有一個困惑，為什麽有不小比例的學生對於公式中的平方特別容易遺忘，數學或者物理都是如此。比如物理中的萬有引力公式：
這是一個最常用和有名的公式，這個公式裏麵學生們最容易忘的（和考試中反複會被考的）就是力和距離的反平方關係。但很多學生都會記不住平方關係，隻能記得反比關係，而且屢教不改。我一開始不明白是為什麽，後來接觸的學生多了，逐漸意識到原來是因為這個代表平方關係的數字“2”寫得比其他字母小，所以才容易被忽視，可以把公式寫成以下形式，對這部分學生就更容易記憶了：
眼神不好，隻能寫得大一點來幫助看清想明白。但這背後其實是用了不該用的形象思維來看待抽象思維的公式，對於字母代表的意義非常模糊，和數學指數運算的不敏感。
指數概念的不敏感在不同年級的學生中有不同的體現，其實在低年級已經有了這個症狀，隻是那時候還不是很明顯。七八年級的學生已經了解了指數運算，諸如
的簡單指數運算都沒有問題，但是一到科學計數法對指數的運用，就開始忘了。比如：
很簡單的題目，絕大多數學生也都能做對。但問題是，能做對的學生中有相當大的比例不是用指數計算的概念來算的，而是機械的把科學計數法轉換成熟悉的帶有很多“0”的數字，然後再相除，也就是 120000/2000，最後得出60的答案。對這些（超過一半）的學生來說，科學計數法就是一個在代數一裏麵的考點而已，實際計算中壓根不用。造成的問題有兩個，一個是在低年級的時候那麽多的“0”容易犯計算錯誤，特別容易數錯，但問題還不太明顯，畢竟就算是笨算法，一般前麵的數字和後麵的指數都簡單，實在不行就用計算器，出錯率還不算太大。然後到了高年級問題就更大了。比如，高年級的物理公式中不少是很大的常數，很多宇宙常數動不動就是10的十幾，二十幾，甚至三十幾次方，寫那麽多“0”顯然已經不現實，隻能用計算器計算。但問題是，即使隻能用計算器，也應該先利用科學計數法，隻計算前麵的十以內的常數，後麵的指數隻要手動加減就行了。但是絕大多數學生是會把整個數字，包括10以及指數輸入計算器的。整個的輸入過程繁瑣，出錯的幾率很高，同時也慢了很多。在考試的時候速度就成了一個問題。這些問題在物理這門課裏體現比較多，但其實就是代數一，甚至PreAlgebra沒有學好，基本功不紮實。
但基本功還並不隻是一個計算準確率的問題，而是通過簡化計算過程，減輕大腦的負擔，讓人腦有更多的餘地去處理更需要思考的關係問題。也就是說，你應該著眼於公式裏的那個“2”的意思是平方，而不是一個平方以後的數字結果。隨著技術的進步，越來越多的重複計算是能由電腦來處理的，人腦應該多想想關係，而不是隻停留在簡單重複那些加減計算中。我把R的平方寫成兩個R，用意是在提醒學生，這個關係裏有兩個R，而不是一個。為什麽學生原來不容易記住呢？是因為指數沒有學好，意識不到指數代表一種關係，覺得到時候把所有的數字輸入計算器算數字就行了。這種現象，即便是已經是高年級學生了，但其實潛移默化的思維還是停留在小學生的加減乘除的程度，到了沒有數字，隻講字母之間關係的時候麻煩事就來了。而越往上，這種情況越多，偶爾的計算錯誤變成經常性做錯的量變，最後就發生理解困難的質變了。
我會在三月二號（2024/03/02）周六東部時間 4PM-5:30PM舉辦一個每年一度的講座，講一下美國中學的數學和物理課程以及考試，作為安排暑假班的準備，歡迎家長參加。ZOOM id = 236-447-0083, password = 123456。
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