給小學2-3年級的趣味數學

來源: soldanella 於 2018-08-26 18:47:15 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀：次 (21863 bytes)

（ZT）

三年級仁華導引的一道題：媽媽買來7個雞蛋，每天至少吃2個，吃完為止，有多少種不同的吃法？

第一個層次：用枚舉法把答案做出來完事
7=2+2+3=2+3+2=3+2+2=2+5=5+2=3+4=4+3=7（最後一個7是一天就把7個雞蛋吃完的意思），所以很容易數出來是8種吃法。
相信很多孩子的學習過程停留在這個層次上，其實也很不錯了，能夠按照一定的次序不重不漏的把所有情況枚舉出來本身就是一種能力，而且在這個過程裏也需要一定的條理性做好分類。分類討論能力是中學數學學習一個非常重要的技能，也是很多孩子的薄弱環節。
  可是如果僅僅做到這裏，這個題的價值還遠遠沒有挖掘出來，這也是以“刷題”方式學習最大的問題，孩子認為做出答案來就足夠了，趕緊去做下一題，因為父母或者老師的評價標準是“你今天做了幾道題”，而不是“你今天有多少收獲”。這件事情不難理解，因為前者更容易量化，後者就不容易了。



第二個層次：如果雞蛋不是7個，而是更多會怎樣？
例如：改成12個雞蛋的話答案是多少？剛才的方法還可不可行呢？
當然是可行的，隻是比7個雞蛋要複雜不少，大家不妨用枚舉法試一下，配合排列組合能數對的孩子應該就可以說計數的基本功很紮實了。這裏就不贅述了。
這時候我們就會想起華羅庚的一句名言，也是我給我教過的每一個孩子都講過的：“退，足夠的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，這是學好數學的訣竅。”當初是我的高中數學老師上課的時候介紹的這句話，當時我還很不以為意：“這不就是找規律的意思麽？”可是越到後來我對這句話就有更不一樣的理解了，研究一個複雜問題，沒有什麽頭緒的時候，不妨先從簡單情況入手。
說起來是特別平常的一件事情，但是真不是每個人都有這個意識。
    我們先考慮2個雞蛋，很明顯隻能一天吃完，隻有1種吃法；
3個雞蛋的時候答案也是1；
4個雞蛋的時候我們列舉一下：4=2+2=4,答案是2；
5個雞蛋的時候：5=2+3=3+2=5,答案是3；
6個雞蛋的時候：6=2+4=4+2=3+3=2+2+2=6，答案是5.
7個雞蛋我們剛才做過了，答案是8.
好了，讓我們把這幾個答案寫成一行看一下：1，1，2，3，5，8，
大家看出來了麽，每一個數是它前麵兩個數的和，這不就是斐波那契數列麽（又叫兔子數列），規律找到了！
繼續按這個規律寫下去:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,所以12個雞蛋有89種吃法。
     這樣的話我們就解決了雞蛋個數變多的問題，不管多少個雞蛋都可以比較容易的把答案算出來了。是不是比第一個層次要高一點了呢？這也是一個很容易讓孩子們“滿足”的節點。反正規律已經找到了。“可是為什麽會是這樣的規律呢？”能提出這個問題的孩子我覺得是一定能把數學學好的。



第三個層次：為什麽有這樣的規律？
為了方便理解，我們就不用字母表示去討論一般性了，我們來思考一下如果是13個雞蛋的話，為什麽會有55+89=144種吃法？
剛才提到了分類討論的想法，我們吃13個雞蛋的方法數怎麽轉化成前麵的那些數呢？
我們不妨考慮第一天吃了幾個雞蛋，
如果第一天吃了2個雞蛋，還剩11個，我們已經知道吃11個雞蛋有55種方法；
如果第一天吃了3個雞蛋，還剩10個，我們已經知道吃10個雞蛋有34種方法；
......
如果第一天吃了10個雞蛋，還剩3個雞蛋，我們已經知道吃3個雞蛋有1種方法；
如果第一天吃了11個雞蛋，還剩2個雞蛋，我們已經知道吃2個雞蛋有1種方法。這時候注意，第一天是不能吃12個雞蛋的，否則剩一個就違反“吃雞蛋的規則”了。
於是最後一種情況就是第一天就把13個雞蛋吃光。上麵寫的字很多，但是核心就是“分類”，“轉化”，“遞推”
於是我們就知道13個雞蛋一共有1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55種吃法了。
咦？為什麽不是55+89呢？我們找到的規律不是它應該等於55+89麽？
別著急，我們把這一長串式子依次加一下，就會發現一件很神奇的事情:
1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55
=2+1+2+3+5+8+13+21+34+55
=3+2+3+5+8+13+21+34+55
=5+3+5+8+13+21+34+55
=8+5+8+13+21+34+55
=13+8+13+21+34+55
=21+13+21+34+55
=34+21+34+55
=55+34+55
=89+55
雖然也有點象找規律，但是這裏也沒有必要給孩子用數學歸納法去嚴格證明，因為道理其實已經搞明白了，能讓孩子體會到一點點樂趣，能感受到一點數學的奇妙，也許就很足夠了。