幾年前舊貼。看到大家打點數數,聖誕節了,給大家拜個節,添個樂。

從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

 (2021-01-02 01:30:16)下一個

從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

什麽是倒數勾股定理?直線型的數軸和曲線型的圓有什麽關係?

2021年元旦,在油管上看到了《巴塞爾問題》的另類解法,大呼好酒。以下是視頻鏈接,建議有興趣的讀者花20分鍾看一看(可惜,國內朋友也許看不到,因為是油管,還是英文版的)https://youtu.be/d-o3eB9sfls
 
(又,今天居然在bilibili上找到了原視頻的中文文字翻譯版)---
 

巴塞爾問題(Basel Problem)由意大利數學家門戈利(Pietro Mengoli)於1644年(也有一說是1650年)提出,由大名鼎鼎的瑞士數學家歐拉在1735年解決(= pi^2/6)。問題很簡單:  求所有自然數倒數的平方和, 即: 

             S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... + 1/n^2 + ...                             

看完視頻後,不由得擊掌為快。曾經的五講四美年代,哪四美記不清了。但數學之美,至少是3D型的。哪3D呢?麵容、身材和心靈?讀者的眼睛是雪亮的, 自會見仁見智。這裏以《巴塞爾問題》為例,談談個人感知。

先看一看數學的結構之美。

                 平方一下,還平方一下,再平方一下……

                 加一點,接著少加一點,繼續少加一點……                                               

規律吧。就這麽規律得像輝煌的太陽,每天早上八九點鍾,準時流連在青春的你的發梢。漂亮吧。就這麽漂亮得像燦爛的銀河,每天晚上八九點鍾,按點飄逸在年青的你的頭頂。簡單(簡潔)吧。就這麽1、2、3地數下去,就那樣4、5、6地加下去,簡單得連小學生都看得懂。然而,就這麽簡單,就這麽眉清目秀,就這麽具有挑戰性---端坐在那裏,連續九十年、三代人,無解。

再看看數學的思維之美---看看他如何天馬行空,卻又長纓在握,抽象和具象相結合,幾乎完美地解決了這個問題。

1)先是合乎邏輯,由pi(抱歉,不會打那個希臘字母pai)走向圓;
2)繼而聯手其物理兄弟,立了一回五瓣梅花樁(五個定理/律):  
   a) 平方反比定律(光強和距離的平方成反比)                         
   b) 初中平麵幾何四個定理(倒數勾股定理、四點共圓定理、直徑所對圓周角為90度、圓周角等於同弧圓心角的一半)
3)接著,突發奇想,開始用金箍棒畫圓圈、建燈塔---畫第一個圈,點一盞小燈;畫第二個(直徑大一倍的)圈,點兩盞(等價平分的)小燈;畫第三個(直徑比第二個大一倍的)圈,點四盞(等價平分的)小燈……以此歸納類推;
4)然後,念一句劉謙兄弟的口頭禪---驗證奇跡的時刻到了---於是,化圓為方,變有限為無窮(數軸就是一半徑無限大的圓);
5)最後,用部分(個數)對等總體(個數)原理(這是一似非而是的原理,作者用其四兩撥千斤,略施輕功,就運展了一回乾坤大挪移)將問題一舉解決。
 
整個解題過程,活脫脫燕人張翼德一個,於百萬數中取上將pi值,探囊取物耳。

多說幾句,這個證明太漂亮了。麵對一個複雜的高數問題(也是一個具有敲門磚性質的問題,因為它是至今都沒能被證明的黎曼猜想的孿生兄弟---黎曼函數的特例。有興趣的讀者可由此入手,作進一步探研),用簡單的初中知識,庖丁解牛般拿下。借用刁參謀長的名言:阿三哥(Sanderson,3Blue1Brown的創始人)不愧是開學館的,證起題來滴水不漏,佩服,佩服!反過來看一看,現今又有多少“大咖”,把簡單明瞭的問題,包裝成不知所雲的學術論文。以此對比,誰是大師,誰是大神,高下立判。

數學,還富含哲理之美

數字和符號,看起來枯燥,其實是有生命、有靈性的。那一串串單調的字符,何止包藏著燈塔?誰能說,它們不是照亮你在黑夜裏前行的火炬、不是陪伴你風雨窗前的蠟燭?他們是你,是我,是人類的心靈之光。雖然微弱,卻數不勝數,從無窮遠走來,又向無窮遠走去。最後,竟超越無窮,回歸成一個有限的、小小的,和諧的圓。

“完了?”(真尤)美女輕輕一問。“哪有個完啦。”(高倉)健君淺淺一答。據說,後麵還有一段話,解釋了沒完的原因,但由於當年審查沒過,被剪掉了。讓小可試著續個貂---

“美女,我所欲也。美圖(鄙人給數學取的別名),亦我所欲也。二者可否得兼?To be, or not to be?  That is the question.”

列位看官作何解?我的答案是,肯定有解,而且有多組解(偷著笑,這個你懂的)。不過,如果有無窮多組解呢?那……那就吃不完,兜著走了。再擴展一下,如果把美酒也拽進來(原來,3D之美,是這三美?--- 偷著樂,這個可以有),那又如何走呢?三角戀啊,也許可借著酒勁,飛走……?

所有跟帖: 

當初看到時也是"小夥伴驚呆了"。我記得還有一個奇特之處是 -JSL2023- 給 JSL2023 發送悄悄話 (77 bytes) () 12/24/2023 postreply 18:30:43

輪流上大pie,點點呈現(成線),聖誕愉快。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (0 bytes) () 12/24/2023 postreply 23:58:00

清溢! -snowandlotus- 給 snowandlotus 發送悄悄話 snowandlotus 的博客首頁 (472 bytes) () 12/24/2023 postreply 19:06:37

雪蓮聖誕快樂,天天嗨皮。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (450 bytes) () 12/24/2023 postreply 23:12:16

扁的讀音沒那麽重要,但那首詞清溢的誦本可以說是天花板了,甚至高於我聽過的幾個專業朗誦,所以珍存在兩個鏈接裏, -snowandlotus- 給 snowandlotus 發送悄悄話 snowandlotus 的博客首頁 (1137 bytes) () 12/25/2023 postreply 09:02:14

接著問好。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (783 bytes) () 12/26/2023 postreply 19:29:12

謝清溢!好像有兩個版本,但確實玉鑒更合適,趕緊改了:) -snowandlotus- 給 snowandlotus 發送悄悄話 snowandlotus 的博客首頁 (230402 bytes) () 12/26/2023 postreply 20:32:55

謝謝。一定去。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (0 bytes) () 12/27/2023 postreply 17:50:30

看了一點視頻,同意所說pi 與圓的本貭聯繫,它往往在表達某種空間對稱性。 -中間小謝- 給 中間小謝 發送悄悄話 (0 bytes) () 12/24/2023 postreply 19:49:20

很大程度上(不是絕對),幾何是思維對物理(物質)世界的條理化 .. -中間小謝- 給 中間小謝 發送悄悄話 (351 bytes) () 12/24/2023 postreply 20:05:34

你那個愛2的思維和評論都很妙,咋不見了呢?我還想做個小三呢---愛3。嗨皮X麻絲。(海帶絲乘麻辣雞絲=石凳的(海)哲思) -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (167 bytes) () 12/24/2023 postreply 23:21:21

再看覺得説太多了,便濃縮為一句。 -中間小謝- 給 中間小謝 發送悄悄話 (49 bytes) () 12/25/2023 postreply 08:56:42

謝謝科普。清溢兄節日快樂! -知識越多越敢動- 給 知識越多越敢動 發送悄悄話 知識越多越敢動 的博客首頁 (347 bytes) () 12/25/2023 postreply 05:40:06

哈哈哈,我也是痱子粉。聖誕快樂,握腳握腳。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (167 bytes) () 12/25/2023 postreply 07:55:19

題好, 解得妙, 清溢兄介紹得精彩! -stonebench- 給 stonebench 發送悄悄話 stonebench 的博客首頁 (0 bytes) () 12/25/2023 postreply 07:20:06

上麵的知兄建議我邊咪Pie,邊抱著凳子在鈴兒響叮當的巴城看箬姐打球。 -清溢- 給 清溢 發送悄悄話 清溢 的博客首頁 (180 bytes) () 12/25/2023 postreply 08:04:28

有意思。查了下,如果冪是偶數2n,總和是一個有理數乘以pi^(2n)。 -youdecide- 給 youdecide 發送悄悄話 youdecide 的博客首頁 (0 bytes) () 12/25/2023 postreply 12:27:27

請您先登陸,再發跟帖!