愛上神奇的數學(zt)

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愛上神奇的數學

馬尼爾·蘇裏 2013年09月27日

巴爾的摩——每當我聽人說“做一下數學”(Do the math)時，我就會咬牙切齒。這個說法總是用來指加法或者乘法這樣普通的運算，說明人們對數學的廣度和範圍了解太少，很多人僅僅把數學看成它的一個組成元素：算術。請允許我打個比方，你能想象把“做一下文學”(Do the lit)當作一個拚寫要正確的勸告嗎？

作為一個數學家，我可以作證，這個領域的關鍵是理念。這些理念報知我們的存在，滲透到我們的宇宙乃至以外，令我們驚喜或是陶醉，也許它們最耐人尋味的地方是如何利用“無限”來處理“有限”，從分形學到微積分學，莫不如此。隻需想想十進製數字的無限範圍，這可是數學提供的一個奇跡產品，可以滿足測量方麵的一切需要，準確到任意位數。

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  Adam Maida

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大多數人都不明白，欣賞很多深奧的數學理念其實並不需要高級技能。你無需真正掌握微積分，用它來解決科學或工程問題，就可以理解它的威力和優雅。

不妨這樣來想：你不需要會繪畫就可以欣賞畫作，不需要識譜就可以欣賞交響樂。數學也應該因其本身而得到欣賞，而不應總是被追問“我什麽時候能用得上這個？”

可悲的是，在我們的社會中，讓我們領略數學之美的途徑極為稀少。在學校裏，正如我聽到一些老師感慨的那樣，讓學生沉浸在有趣數學理念的機會通常會被放棄，以便有更多的時間來做測驗和算術練習。在新聞媒體或文化領域，很少會出現數學這個主題。很多時候，當數學出現在一部小說或電影中時，我就會想起契訶夫諺語中的槍（“假如不打算開火，就別讓一支上膛的來福槍出現。” ——編注）：如果一個數學家不發瘋，就別讓他出場。對數學的焦慮感，像厚厚的陰霾一樣籠罩著萬事萬物。

但是，我不斷遇到一些人想更多地了解數學。他們中不僅有那些在學校裏就喜歡數學，工作之後再沒機會探究的人，也有很多在學校裏數學成績不佳，把這門課視為揮之不去的挑戰的人。正如斯坦福大學數學家基思·德夫林(Keith Devlin)在其著作《數學基因》(The Math Gene)中所說的那樣，人類天生就有探索數學奧秘的衝動。也許我們在某種層麵上都渴望了解數學。

那麽，在沒有計算和公式的情況下，我們可以欣賞什麽樣的數學理念呢？我發現數字的起源就很耐人尋味。你可以把它想成一個魔術：從空白中產生數字零，然後演示如何從任何一個整數產生下一個整數。零而一，一而二，二而三——一個個數字連鎖反應般地爆發出來，我仍然記得自己第一次體驗這種數字大爆炸的情形：我所在的孟買教室的牆壁似乎被炸飛，而新生的飛鳥在空間穿行。無中生有，其引人入勝的程度不亞於物理學或宗教提供的任何這類理念。

再舉一個更具沉思色彩的例子。你凝視一個正多邊形序列：六邊形、八邊形、十邊形，以此類推。我幾乎能想象出一位瑜伽教練，正在讓學生們冥想：如果邊數無限增加下去，會發生什麽情況。最終，每條邊都縮減得非常之短，角開始變得圓滑，周邊開始顯出曲線，然後你就會看到一個圓出現，而與此同時，多邊形永遠不可能真正成為一個圓。意識到這一點令人感到很爽，因為它會點亮你大腦中的愉悅中心。在這個例子中，根本層麵的極限概念正是微積分學的基礎之一。

你越深入地思索這些理念，這種經曆帶來的回報就越多。比如，看那些精美的分形圖形，就是那些被容易引起幻覺的色帶環繞著的、像變形蟲一樣的黑色斑點，幾乎不足以讓你產生數學方麵的聯想。但假如你知道，這樣一幅圖（比如，朱利亞集合[Julia Set]）描述了一個數學規則，這個規則會讓平麵上的每一個點脫離所在的位置，並將其移動到另一個位置。想象這一規則會一次又一次地得到應用，這樣，每個點都會從一個地方跳到另一個地方。那麽，“變形蟲”就是由那些乖乖的、依然在這一片黑色區域裏四處亂跳的點組成的，而那些彩色的點更有冒險精神，它們大步跳向無窮遠的方向。具備這種知識後，這幅圖不僅更豐富，更有意義，而且突然間洋溢著戲劇和活力。

你有足夠的興趣去尋找更多知識嗎，比如，不同色度的顏色有何寓意？“大爆炸”的例子會讓你思考負數、分數或無理數來自哪兒嗎？意識到圓形是多邊形的一種極限帶來的興奮，會促使你把球體想象成一疊圓形橫截麵嗎，就像阿基米德(Archimedes)在2000多年前為了計算球體的體積所做的那樣？

如果答案是肯定的，那麽欣賞數學帶來的可能不隻是茶餘飯後的享受：它還有望幫助轉變代代相傳的對這門課的消極態度。學生更有可能在一門被認為好玩、富有啟迪性，而不是公關形象糟糕的學科上取得成功。

幸運的是，當今的網絡世界在視頻和動畫領域取得了諸多進步，為數學理念的非正式傳播提供了一些機會，盡管對這些機會的利用還不夠充分。要傳遞的最基本的一點也許是，借助數學，你不僅能夠企及天空、恒星或是宇宙的邊際，還能超越它們，接觸到永恒的理念星河。

馬尼爾·蘇裏(Manil Suri)是巴爾的摩縣馬裏蘭大學(University of Maryland)的數學教授，也是最近的小說《魔鬼之城》(The City of Devi)的作者。
本文最初發表於2013年9月16日。
翻譯：土土、陳亦亭