美國有哈佛這樣的世界一流學校，也培養出了不計其數的世界一流人才，可是我們常常聽到海外家長們抱怨：“美國(或是加拿大)人的數學糟透了！”，不少國內家長也這麽認為。真是這樣嗎？
先來弄清幾個概念：
我們所說的數學是什麽意思？“數學”本來是個外來詞匯，中國人其實沒有把數字作為科學來研究，“0”也不是中國人發明的。所以普通中國人的“數學”概念基本上停留在原始的“計數”也就是“算術”上。“算術”者，計算之“術”也。
英文中，與“數學”有關的至少有三個詞匯：‘arithmetic’，‘mathematics’和‘numeracy’。‘arithmetic’來源於古希臘文，意為‘數字’，中文譯為‘算術’較為恰當。隨著現代計算工具的日益發展，西方的學校裏已不用‘arithmetic’這個概念，取而代之的是‘mathematics’或‘numeracy’。
‘Numeracy’是一個比較新穎的概念，英國教育部將其定義為：一種對數字係統的理解，對廣泛的數學技能的掌握，以及解決量化與空間問題的能力。它還包括各種數據的收集方法和運用圖表呈現這些數據的能力。
數學研究的是數量、結構、變化以及空間模型等概念，學習‘數學’其實就是訓練抽象化思維和邏輯推理。數學家們從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理，所以數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。
由此可見，我們時常聽到的“美國人不會找零錢”啦，“簡單的加減乘除都要依賴計算器”啦，這些其實都是指算術，並不說明美國人的數字與空間概念或是抽象邏輯思維比別人差，否則很難想象航天飛機能傲遊太空，電腦科技會稱霸全球。
再者，數學追求的是清晰、準確、嚴密，不允許有任何雜亂，不允許有任何含糊，數學的三大基本特征就是：抽象性、嚴謹性和廣泛應用性。正由於這些特征，中國文化的籠統、模糊性在一定程度上阻礙了中國人的數學思維。縱觀人類曆史，對數學的研究有四個高峰，均誕生於歐美各國：第一個是數學作為科學形態出現的古希臘演繹數學時期；第二個是推動工業革命的牛頓-萊布尼茲的微積分時期；第三個是以德國數學家希爾伯特為代表的形式主義公理化時期；第四個則是當今以電腦技術為標誌的新數學時期，美國人獨領風騷。
數學是一門科學，一個國家的科技水平不但要看其民眾的普遍科學素養，還要看這個國家在該領域的尖端研究水平。美國的確有好多普通人連四則運算都搞不清，可是這個國家的科技水平是有目共睹的，在數學諾貝爾獎——菲爾茲獎的獲獎者中，美國籍的獲獎者人數是最多的。就中小學教育來看，美國的數學教學強調的是邏輯思維和抽象概念的形成，在這方麵，人與人之間的差異太大了，所以天生缺乏數學細胞的人在尊重個性發展的美國大可不必花費那個腦力，這些人也許會在文學藝術或工匠手藝方麵發揮特長，真正有數學頭腦的美國人，鑽進去了，也就不乏走進數學王國摘取那璀璨明珠的數學大師。美國教育重視個性的發展，尊重知識與真理，普林斯頓大學能把John Nash這樣的數學“瘋子”養起來，換了中國，他早就在精神病院裏結束一生了。注意觀察一下，國外大學中數學係，包括其他理科專業，中國來的優秀學生不少，可是真正頂尖的，往往還是白人居多。世界科技領域裏，當然不乏優秀華人，可是華人往往是為他人服務的“計算員”，“程序員”，能正真獨立解決問題，具有挑戰精神有所創新的華人比例還遠遠不夠。
中國人喜歡用考試成績來判斷好壞，如果僅以標準化測驗為標尺，美國中學生的數學平均成績的確不好。國際上具有權威的TIMSS和PISA最新測驗結果顯示，美國中學生的數學排名分別是第35名（15歲兒童PISA）、第11名（四年級TIMSS）和第9名（八年級TIMSS），而這三項測驗的前五名分別是台灣、芬蘭、香港、南韓、荷蘭；香港、新加坡、台灣、日本、卡紮克斯坦；台灣、南韓、新加坡、香港、日本。經本人向國家教育部考試中心戴家幹主任了解，中國大陸目前尚在試驗階段，不久也將參加這一係列的國際測試，可以想象，中國孩子的成績一定不俗。如果中國孩子的數學考試成績超過了美國，能不能說中國孩子的數學思維（邏輯、抽象、嚴密）就比美國孩子好呢？那麽難道台灣、香港、南韓、日本等地區的人是世界上數學最好的嗎？
顯然不是。數學好不好，不能隻看考試成績，一個人數學好的真正含義是具有清晰準確的邏輯思維和嚴密的推理能力，考試中表現出來的複雜的計算技巧甚至高超的解題能力往往和真正的數學思維並沒有太大關係，貿然下結論說某一國家的人數學好或是不好也是非常武斷而且沒有意義的。
比較有意義的觀察是，看一個國家的數學教育手段（引伸到整個教育體係）是否先進，是否能培養出頂尖的數學人才並主導世界領先的科學研究？無疑，美國的數學教育和現代數學研究都走在世界前列，籠統的說美國人數學不好是缺乏根據的。正好比說中國人的外語水平世界第一，因為在全民學英語的背景下，不管是出租司機還是胡同口的老太太都會幾句“三克油”之類的洋腔，而大多數美國人除了母語，很少去學外語的，可是中國的街頭到處能看到令人啼笑皆非的英語翻譯，而我們不管在外語教學的理論研究和實踐上，或是現代應用語言學領域裏，與世界先進水平還相差很遠。
同樣，也有人認為美國人的曆史知識很差，可是美國人對曆史的研究方法和探索的深度，讓我們這個具有幾千年曆史的大國都是刮目相看的，我們對自己國家的曆史的認識（如文革史），可能還要借鑒美國人的研究成果吧。
現代社會的進步不是靠全民都掌握尖端的科學知識和技能，隻要能培養出一小批立足科技前沿的精英就行，普通民眾需要的是科普，是科學的思維方法，專業領域的研究，有幾個精英就足夠了。
中國教育不管三七二十一，都要把學生培養成超高速的計算機，家長們也趨之若鶩地爭相把孩子送進什麽“奧數”訓練班，好像每個孩子都能成為數學大師似的。據最近媒體報道，中國小學生的奧數題（1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……前500個數的和是多少？），難倒了世界著名數學家、菲爾茨獎得主安德烈?奧昆科夫。這位數學大師說，他從來沒上過奧數，也不理解中國小學生拚命學奧數的做法，他認為那些太難、太刁鑽的題目，很可能傷害了孩子們學習數學的興趣。
興趣和動機是激勵人、推動人去行動的一種力量。為了某種功利目的逼迫孩子學習，到頭來往往是毀了孩子。曾聽到國內一位輔導奧數的特級教師介紹培訓學生參加國際比賽多麽艱辛，有一位學生獲獎後回來對老師說：“總算解放了，我這輩子都不再碰數學了！”我聽了之後，心裏陣陣酸楚。這樣“數學好”的隻會考試的學生有什麽用呢？
另一部分學生雖然數學學不好，可是也許他們有不凡的形象思維能力和文學藝術潛力。被學術界稱為“民國第一才子，二十世紀人類最智慧的頭顱”的錢鍾書入清華時理科極差，數學隻考了15分，幸虧清華沒有把他拒之門外，我們現在才有幸看到《圍城》、《管錐編》等等思想巨著。而我們今天是硬叫“王鍾書”、“李鍾書”去學數學，結果既出不了數學家，更沒了錢鍾書。當今我們的基礎教育表麵上是“碩果累累”，可高等教育和科研遠遠落後於世界先進水平。當年錢鍾書說，“整個清華，沒有一個教授有資格充當錢某人的導師!”在梁啟超、陳寅恪、王國維、趙元任等名師聚集的清華這樣說未免是太張狂了，可是現在別說是清華，即使說“整個中國的大學，沒有一個教授有資格充當錢某人的導師!”，這一點都不為過吧？
扯遠了。
“趕鴨上架”其實是亞洲人的通病，在國際教育成就評估協會（ International Association for the Evaluation of Educational Achievement）所作的數學與科學教育成就趨勢調查中，日本中學生獲得總分第一名，可同時問卷發現日本學生不喜歡數學的比例也是第一。中國尚無全麵的報道，但有關部門對河南省新鄉市四所中學的高中生學習數學情況的調查發現：“我不喜歡數學，但為了高考，我必須學好數學”的學生占被調查者的比例高達62.21%，而對數學“很感興趣”的隻有23.12%。
數學本身並非無趣，是我們的教學把數學的真髓弄得平庸且令人痛恨了，難怪北京理工大學教授楊東平說要“打倒萬惡的奧數教育”，稱奧數教育對少年的毒害比“黃賭毒”還厲害。數學大師陳省身在第24屆國際數學家大會期間，送給“少年數學論壇”的孩子們一幅題詞，叫做“數學好玩”。陳大師喜歡數學，他的成就都是“玩”出來的。
小結一下，數學好不是指四則運算的水平高不高，更不是指考試的成績好不好，而是看一個人的數學思維好不好，以及培養這種思維的方法和製度好不好。
那麽美國或加拿大人是怎麽訓練孩子的數學思維的呢？
數學不是一個脫離生活的枯燥學科。我兒子9年級了還在學代數（分式運算），不過我注意到他的許多習題都和生活中的實際問題有關，每解答一題，就明白了一個道理，真正學到了知識，甚至了解了常人無從知曉的科學理論。
某日他問我一道習題，我仔細一看，嚇一跳。這不是牛頓的萬有引力和愛因斯坦的相對論公式嗎？原來老師隻是把這個公式介紹給學生，同時講解了萬有引力和相對論的原理，再把和公式上相對應的參數告訴學生讓他們對號入座，求出兩個星球之間的引力和飛船的速度罷了。
同樣是套公式計算，中國學校是枯燥的題海，這裏是計算結合科普，學習知識和計算聯係相輔相成，學生能很好的領會數學在現實生活中的作用。
另外，學習數學的意義不在於告訴學生已知的所有條件和公式，讓學生做‘計算員’，更重要的是培養學生獨立解決問題的能力和創造性。比如這樣一道典型的應用題：已知遊泳池的長、寬、深。另知一台抽水的抽水速度，求抽完遊泳池的水需要多長時間。
國內的孩子會根據公式迅速計算出各種不同遊泳池的抽水速度，或是其它由同類原理演變的試題，但是必須要有現成的數據。不過這樣一來，學生的作用也就是一台計算器了。國外的學校，老師往往拿一個小小的問題來讓學生做個長篇project。比如這個遊泳池問題吧，老師會提問：怎樣知道一台抽水機用多長時間抽完遊泳池的水？哪些是最基本的必備條件？如何得到這些數據？做一個報告上來，這麽一個“簡單”的問題，可能會花費一個星期的時間。
但是，讓學生獨立找到解決問題的必備條件和方法，才是正真培養數學能力。遊泳池的水、池子的長、寬、深、容積以及抽水機的抽水速度等，這些變量之間的聯係和邏輯關係應該讓學生自己去整理出來。池子的深度用尺量？潛水下去？用竹竿？用細繩吊重物？遊泳池的形狀如果不是長方體而是擬柱體，或是圓柱體怎麽辦？如何知道抽水機抽水的速度？說明書上找？做個試驗？根據機器的功率換算？所有這些問題在課堂上討論，甚至到實地勘察，對學生創造性思維的啟迪和解決問題的能力都是極大的促進。花一個星期的時間，寫出一個像模像樣的研究報告，從實驗問題到方案設計和數據收集、計算方法和結論，就是一篇像樣的專業論文了。哪怕是最後計算錯誤，也比在課堂上做一百道計算題的意義不知大多少倍。
下麵是另一個更具有典型意義的例子：
國內好像是初二就教三角函數、相似三角形了。老師大概花半節課講解正弦、餘弦、正切、餘切定理，然後就讓學生大量的做習題，求邊，求角，直到公式背得滾瓜爛熟、應用題解得爐火純青，到高中就可以向微積分邁進了。
有一道比較經典的應用題是這樣的： 學校的旗杆在地上的投影長x米，投影末端與旗杆頂端的仰角為xx度，求旗杆的高度。利用正切原理，不用一分鍾，這道題就有解了。可是，這道應用題是否真正有應用價值呢？沒有，應為那個至關重要的仰角是很難測到的，而學生要等老師把這些必備條件逐一告訴他，才能動手解題。那麽，在實際生活中求旗杆的高度是不是有更好的辦法呢？別人把解決問題的方法和必要的條件都告訴了你，你才能解決，你最多隻能算是個工匠；自己去發現問題，解決問題，才是真正的有用之才。
加拿大的學校要到十年級（高一）才教三角函數。同樣的問題，有一個老師是這麽教的。
老師把全班學生帶到操場上，指著旗杆說：今天我們要精確地測量出這個旗杆的高度。大家分成三組討論，我們選出最好的解決辦法！
於是，學生們開始Brainstorming (不知道用中文怎麽表達這個詞)。
有人說，我爬上去！帶一根繩子……。“很勇敢！但是有危險，暫不采納。”
有人說，我在升旗的繩子上做一個記號，拉上去，再拉下來，就可以量出高度了。
“好主意！可是繩子並不到旗杆的頂端，還不能達到精確的目的。”
有人說，對了，用剛學過的三角函數，隻要量出仰角，就能得出旗杆高度了！
“很好！我們看到探尋真理的目標了，可是怎樣才能測得這個仰角呢？”
Brainstorming 又開始了……
又有人說，我去找一根棍子，垂直插在地上，用一根繩子把棍子的頂端和它投影的末端連起來，不就可以量出仰角了嗎？
“太好了！我們向真理邁出了一大步！動手吧！”
三組學生都分別動手找工具，測仰角……
最後，三組學生得出了三組不同的數據，畢竟用這種簡單的工具得不到精確的數據。怎麽辦？
再開動腦筋！可不可以把三組數據平均一下？或者……？
突然，有一位同學看著地上插著的棍子，來了靈感！
讓我們先量出棍子的高度，再量出它投影的長度，用相似三角形的原理，不就能得到旗杆的高度了嗎？（旗杆與棍子投影的比值等於旗杆與棍子的高度之比）
“Bingo!”所有的同學歡呼起來，老師更是興奮，看著他的學生，他好像看見了一顆顆智慧之星，看見了他的學生們都成了偉大的科學家……
這一堂課，學生們恐怕是終生難忘的。解決了旗杆的高度，還有必要反反複複地做一大堆練習嗎？以後隻要有一根棍子，一卷尺，要測量電視塔的高度也不是什麽難題了。
一道題用了一堂課去解，值嗎？值！這一堂課，或許抵得上一輩子的感悟。我敢說，那些得了奧林匹克數學競賽金牌的學生也未必會用一根棍子測出旗杆的高度，他/她也許會等著你告訴他/她那個重要的仰角。
同樣的問題也表現在考試上。中國的學校，尤其是小學的數學考試看起來很難，但都是複雜的計算，教師往往脫離現實，把本來簡單的問題故意弄複雜了，試題難倒了學生，學生即使會做，但不會解決現實中的問題。學生對數字的敏感、對數字和空間概念的研究和觀察在這些考試裏也反映不出來 請看一下幾個國內小學四年級的真實試題：
1. 小紅看一本126頁的故事書, 已看了一些還剩38頁, 小紅看了多少頁? （評：此題意義何在？看了多少頁一目了然，怎麽會先知道剩下的頁數而要求看了多少頁呢？不就是把簡單的問題弄複雜了，讓學生在數字遊戲裏轉悠？）
2. 家具店運來45把木椅, 運來的折椅比木椅的3倍還多10把, 家具店共運來多少把椅子? （評：怎麽會不知道共運來多少椅子？挨個數一下不比先知道折椅比木椅多多少倍更容易？）
3. 王莊鄉有水田507公頃, 比旱田的3倍還少3公頃, 王莊鄉有旱田多少公頃？（評：同樣是一個脫離實際編造的問題，學生隻是套公式擺弄數字，對解決現實問題幾乎沒有幫助）
這些試題的共同點是，把簡單的問題複雜化，明明都是一目了然的問題，偏要轉一個圈子，讓學生拐彎抹角地找答案，嚴重脫離了現實生活，還有這農田、家具店和眼下孩子的生活有多大關係？
請看加拿大BC省四年級Numeracy部分試題：
學校要舉辦一次遊園會，學生們四處張貼廣告。星期一他們貼了25張，第二天比前一天多貼7張，按照這個規律，星期五學生們需要貼多少張廣告？
• 32
• 53
• 149
• 195
山姆用一卷4.2米長的紙做了一個2.5米長的橫幅，
他還有多少紙剩下來？
• 1.7cm
• 17cm
• 170cm
• 1700cm
遊園會的門票連續出售了8天，按照圖中規律，
第八天結束時會售出多少門票？
• 875
• 1000
• 1100
• 1175
莎莉為丟沙包的遊戲堆積木，如圖所示，她堆到第六組時需要多少塊積木？
• 21
• 28
• 36
• 45
莉薩做了一個問卷調查，並製作了一張圖表。
按圖所示，她的問題是什麽？
• 遊園會共盈利了多少錢？
• 男孩更喜歡釣魚遊戲（fish pond）嗎？
• 每項活動參加的人數是多少？
• 為什麽有近60人去了書展（book stand）？
吉米買了一本關於養貓的書，此書共有223頁，
他第一天就看了76頁，第二天又看了48頁，
還有多少頁吉米就把書看完了？
• 199
• 124
• 101
• 99
遊園會結束的時候，一共義買出38塊小蛋糕，每塊蛋糕售價$1.95。以下哪項計算能最精確估計所籌得的款數？
• 30 X $1.00
• 30 X $2.00
• 40 X $1.00
• 40 X $2.00
這些題目的特點是，圍繞同一個主題，學生用所學的技能解決實際生活中碰到的問題，大多數題目都不需要生硬的套公式，也不必機械的計算，而是通過對數字間的規律和邏輯關係的推理找到答案，同時，對於圖表的運用和空間物體的想象能力的考察也十分到位。對於計算，最後一道關於蛋糕的問題並沒有讓學生計算出準確的數字，而是考察學生解決問題的方法以及對各個數字大小之間的關聯和邏輯推理。這種方法在生活中具有更大的實際意義。
順便提一下，加拿大的中學數學分三個不同層次，學生可以根據自己的能力和興趣愛好選擇不同的課程，教師也可“因材施教”。當然，這不是說要學習中國的文理分科。文理知識、邏輯思維和藝術想像同樣重要，教師可以給“文科生”講解“雞兔同籠”的計算原理，訓練他們解決諸如巧拿火柴棒、幻方、商人過河等問題，甚至可以講解哥德巴赫猜想的命題，讓形象思維強的學生也插上邏輯思辨的翅膀。
數學好，就必須具備起碼的邏輯思維。可是國內許多所謂作家、名記者的文章，通篇是主觀臆斷，缺乏嚴謹的考證推理。這些人可能算術不錯，也能寫詩吟詞，可是往往連一個簡單的觀點也表達不清，要麽就是繞一大圈，故弄玄虛，要麽引用一大堆科技術語和專業名詞，讀者糊塗，作者自己也未必明白。（國外類似的報道，都是從最基本的原理談起，一步步地用邏輯論述讓讀者明白）。至今，不少國內“數學好”的學者還認為哥德巴赫猜想就是要證明1+1=2。
數學，不僅僅是1+1=2那麽簡單啊。
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