趣味數學(十) 再找壞球

 星星還是那顆星星,月亮還是那個月亮,問題也還是那個問題:有12個外表一模一樣的球,其中有一個壞球重量不同於其他11個。隻允許使用三次天平,如何找出壞球並弄清輕重?

為敘述方便,先給球用數字1,2,3,。。。,12標上號。

每用一次天平,就會有一個結果:左重,右重,或左右平衡。左重用L表示,右重用R表示,左右平衡就用B(BALANCED)表示。從左到右依次寫下三次結果。比方說,LBR表示第一次左重,第二次左右平衡和第三次右重。我們的目標是設計一種三次稱球的方案,使得從稱球的結果可以簡單判斷哪一個是壞球,是輕還是重。如何做到這一點呢?

我們知道,三次稱球,有27種可能的結果,因為每稱一次有三種可能結果。其中有三種結果,我們可設法排除。哪三種呢?就是LLL,RRR和BBB。結果BBB說明什麽?它說明壞球三次都沒有上天平。不上天平稱稱,如何能知道是輕還是重呢?所以每個球至少得用一次天平。另外,LLL和RRR表示壞球始終在天平的同一邊,我們也得排除。排除了這三種情況,還剩24種可能的結果。

另一方麵,壞球可以是12個中的任何一個,又有輕重兩種可能,所以也是24種可能。如果能夠找到一種方案,使得24種可能的結果分別對應24種可能,那就萬事大吉了。

有這樣的方案嗎?

為了方便,先假設壞球為重。結果LRB說明了什麽?它表示:壞球先在左邊,然後在右邊,最後不在天平上。用l,r,b分別表示某球在左邊,右邊和不在天平上。也就是說,如果壞球為重,稱球的結果可以跟蹤壞球三次分別在哪一組,所以LRB對應lrb了。

我們稱lrb為某球的軌跡。總共有12個球,所以有12個軌跡。自然,我們希望12個軌跡不同。

假如某球有軌跡lrb,也就是說,某球分別依次在左邊,右邊和不在天平上。如果它是壞球,會有什麽結果?如壞球為重,結果就是LRB,為輕則是RLB。所以同一個軌跡對應兩個可能的結果。

當然,軌跡rlb也對應兩個不同的結果LRB和RLB。所以我們希望軌跡rlb和lrb隻出現一次。類似,也希望rrb和llb隻出現一次。不難發現,可以把軌跡分成12類,我們希望每類中隻出現一次。這12分類別是:{llr,rrl} {llb,rrb} {lrb,rlb} {lrl,rlr} {lrr,rrl} {lbr,rbl} {lbb,rbb} {lbl,rbr} {bbl,bbr} {blr,brl} {blb,brb} {bll,brr}。

每用一次天平,相當於把球分成l,r,b三組。為了使每次獲得的信息量最大,我們希望三組都含同樣的球數,即每組4個。如何從12類中找出12個軌跡,使得每次三組都正好有4個球呢?

我們將軌跡按如下方法分成兩大類。先定義l->r->b->l為順時針變化。任何一個軌跡,都至少有一次變化(因為我們排除了lll,rrr和bbb),也就是從一組換到另一組。我們隻看第一次變化:如是順時針變化,就將它歸為順時針類,否則歸為逆時針類。比如lrb屬順時針類,因為它的第一次變化是l->r,為順時針變化。軌跡bbl也屬順時針類,因為它的第一次變化b->l為順時針變化。

從12個軌跡類中找出順時針類,我們不妨稱之為重球類,也稱逆時針類為輕球類。重球類為:llr,lrb,lrl,lrr,rrb,rbl,rbb,rbr,bbl,bll,blb,blr。

我們隨便給重球類分派球號。比如:

球號 重球類    輕球類
----- --------- ----------
1           llr            rrl
2           lrb              rlb
3           lrl               rlr
4           lrr               rll
5           rrb              llb
6           rbl              lbr
7           rbb             lbb
8           rbr              lbl
9           bbl              bbr
10         bll               brr
11         blb              brb
12         blr              brl

然後再根據球號所對應的重球類軌跡製定稱球方案如下:

天平左邊                   天平右邊
-----------------   ----------------- 
1,2,3,4    5,6,7,8
1,10,11,12      2,3,4,5
3,6,9,10    1,4,8,12

這樣一來,就很容易根據結果找出答案了。將結果中的L變成l,R變成r以及B變成b,也即將結果變成軌跡。如果軌跡在重球類,則壞球為重,否則為輕。它所對應的球號就是壞球。比如結果是RRL,其軌跡為rrl,屬輕球類,對應1號球,所以壞球為1號球並且輕。

有興趣的朋友不妨試試其它結果。HAVE FUN!


 



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    頂有趣味的! -FarewellDonkey18- 給 FarewellDonkey18 發送悄悄話 FarewellDonkey18 的博客首頁 (0 bytes) () 05/15/2013 postreply 15:54:36

    謝驢兄。 -朝霞滿天- 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 (0 bytes) () 05/16/2013 postreply 04:23:47

    這一次終於讀懂了,真有成就感。謝謝!:) -水寧- 給 水寧 發送悄悄話 水寧 的博客首頁 (0 bytes) () 05/15/2013 postreply 22:44:49

    謝水寧,上次真是我沒寫好。 -朝霞滿天- 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 (192 bytes) () 05/16/2013 postreply 04:22:45

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