讀維特根斯坦（數學和邏輯）
這一篇會有一些難度，我認為自己的這一個係列是寫給那些想了解語言哲學的人看的，盡量淺出。已經知道的人用不著看，我以為自己缺乏深入的本錢。
西方哲學和神學從來都和數學有密切的聯係，以後會進一步談到，在這一點上和中國哲學走的路似乎有所不同。這個裏麵有一個很重要的關聯，數學是一個很嚴密的東西，結論會有普遍性。比如說，芙蓉姐姐美不美，難得定論；而1+1=2，沒有人去懷疑。所以說，我們要想自己的語言嚴密而可靠，就得往數學那一邊靠。
當人們認識到邏輯比數學是一個更根本的東西時，自然就想語言也得要用邏輯來徹底的整一下，看看哪些東西是合乎邏輯的，我認為這是語言哲學的最重要的根源。所以說，想理解語言哲學不懂一些邏輯就是笑話了。
其實撇開這一點，了解弗雷格是怎麽樣從邏輯構造出數還是很有些意思的，知道那些最重要的思想是怎麽一回事，考察人的智力活動能夠到達一個什麽樣的高度，怎麽都會是很吸引人的。而且邏輯是不要什麽預備知識的，很多中國人在美國迅速轉行做了碼工就是證明，相對論就不行，沒有相當的預備知識，弄不懂那玩意。
關鍵就在於要把理念論徹底拋棄，沒有什麽本質，隻有按照一些性質來建立的集。無論什麽一元論，二元論都不對，那都是在假設有一個東西是本質。從這一點出發我以為讀懂本篇是會有相當的幫助，把觀念扭轉過來就好辦了。
下點功夫無疑能理解一些並不難的邏輯，原因是我做到了，除了我母親在某些時候以為我很有點聰明（我在文章中說過）以外，沒有人有類似的看法，比如太太就經常認為我是愚笨不堪。當然，任何母親都喜歡說這一類不能當真的話，你看我的孩子是多麽聰明，十個月就會說我要什麽，什麽，但是沒料到了三十歲，有些人還是隻會說這一句。
下麵來對付我認為是困難的一段。
我們首先來看一下所謂自然數係統，正整數和加法,乘法運算構成了一個係統，它概括了所有的正整數，不會出現說不清楚的東西，運算結果一定在這個係統係統以內，因為沒有減法，不會出現負數，更不會出現分數。
這是一個最基礎的東西，沒有了它，可以說整個數學都不大有可能。因為有理數，無理數都得要建立在它的基礎之上，它是整個數的基礎。
那麽第一步就是得想辦法把它構造出來。
我想有些人在這裏會有些驚奇，這會用得著構造嗎？1,2,3,4不是擺在哪裏嗎？我們不是從經驗中得到了嗎？
要討論數學和經驗的關係是一個基本不可能完成的課題，因為各人看法並不一致，在很多時候這裏的分歧就決定了哲學流派，並無定論。我隻講羅素的看法以及根據，希望你看完了以後，對你能夠有所啟發。
羅素認為數學是思想的產物，這一句話並不好理解，因為他是一個邏輯學家，說這種話是會很嚴格的。他沒有說數學僅僅是思想的產物，意思可能是盡管經驗可能對數學有幫助，談論與實際無關的數學沒有意義，但是，單憑經驗我們是不能得到數學的。
首先，自然界並不存在1,2,3,4，隻有二個人，三個蘋果等等等，數字是一種純粹抽象。有人到某個原始部落，發現那裏的人就不知道數字，你問某人有多少兄弟，得到的回答就是一堆名字，如果太多，或者那人不想麻煩，回答就是很多，根本不知道說有五個，或者七個（英語中的月，星期都是沒有幾的）。
下一個問題就更關鍵了，正整數是一個包含無限元素的集合，意味著不可能數出來，比如一個人數一生，或者從地球誕生時就開始數，也隻能數到某一個數字，後麵仍然有無窮多而數不完。所以說，靠數數不能得到全部正整數。
按照弗雷格的觀點，數不能是數出來的，而是用邏輯構造出（0，1，2,3,…）這樣一個正整數集。這個過程有點繞口，努力試一試吧。
首先定義什麽是數，那是一個集合，這個集合是集的集（開始繞口了）。二個蘋果看成一個集，二個人看成另一個集，我們以所有裏麵包含有一雙元素的集的共同點作一個新的集，這個集就是二。
也許有人會說，你不數怎麽知道是二，非常正確，我不能知道是二，但是，用一一對應我可以定義什麽是數。數是一個集，雖然我不能知道是幾，
數（n）《蘋果（n），人（n），……》，
數（n）這個集裏麵又有很多集，這些集的共同點就是包含的元素可以一一對應，這就是數的意思。下麵就可以把幾弄出來。
首先是0，一個不包括任何元素的集，比如人和非人的共同部分（A和非A的交集）；
這個集肯定是唯一的，實際上我們就有了一；
數@《數（0）》，數@也是一個集，裏麵僅有有數（0）一個元素。
數（1）《數@，蘋果（1），人（1）……》，數@裏麵隻有一個空集數（0），它就與一個蘋果，一個人恰好一一對應。
這裏的關鍵是理解空集即是多，又是一，依賴於你怎麽樣來確定集，對數（0）來說，它是多，有好多個空集；對數@來說，它卻是一，唯一的空集。隻要這個彎子轉過來了，下麵照著這個思路繼續就可以了，
數@@《數（0），數（1）》，
數（2）《數@@，蘋果（2），人（2）……》。
就這樣我們不停定義數@@@，數@@@@，…..，
就能夠有了數（3），數（4）……，延伸到無窮，就形成了一個正整數係列。
換一種說法，弗雷格純粹用邏輯構造出一個集合序列，
《 》，《 》，《 》，《 》，……….
下麵我們給它們規定符號，開始的那個（不能說第一，因為我們還沒有1）是所謂0，就是A和非A交集；接下來的那個是所謂1（同樣也不能說第二），是一個集合，裏麵包含了能一一對應的那些那所有的集合；如此類推下去。
這就是0,1,2,3，…….，也就是自然數，它能滿足我們對自然數要求。有了這個序列，接下來我們才可以數數了，我們說三個人，三就是指的那一個能一一對應的集合。
在這裏純粹使用地是邏輯，根本沒有數，1,2,3….隻是一些符號。
也許有人會說，要怎麽複雜幹什麽，我小時候就是數的。我完全同意，我母親一樣是教我數數的，但是，你數到過多大的數？據說有人睡不著而數到過1000，我沒有做過，人數到一定的程度時就自然會明白怎麽數下去，這就純粹是邏輯在起作用，推理出來的。所以說，邏輯才是一個最根本的東西。
弗雷格的這個說法在很多數學教科書中都可以找到，在論及這一段數學史和哲學史的書中幾乎一定會有（提到是一定的，不然這本書在講什麽？），那麽其為什麽這麽重要？
就在於弗雷格說出了一個非常重要的道理，實際上正整數是邏輯構造出來的，我們的數數不過是在作一一對應，隻不過我們原來不知道。弗雷格第一次揭示了這個有些神秘的過程，這是完全可能是合理的。
從哲學方麵來看，與此類似，那些語言哲學家的功績就是把人們思想中隱秘著的邏輯分析出來，使我們清楚地知道什麽的真正的思考，什麽在我們思想中具有核心地位。從這個角度來看，他們的重要性不言而喻。也許他們理論並不完善（他們自己毫不諱言這一點，實際上從他們哲學和數學中可以得到：不可能有一個包括一切的完善係統，這一點是他們和傳統哲學家最重要的區別），但從開辟了一個新的視角來理解世界這一點上，他們必定是不朽的。
在哲學方麵，其重要性我已經講過了。那麽下一步必然要問：為什麽邏輯對數學那麽重要呢？
那是因為數學的基礎一直有一個大問題，二千多年無法回答實數是什麽，而這個問題不論在理論上，還是在應用中，都無法回避。
直觀地說，數學，數學，連數都弄不清楚，怎麽學呢，深一步說，現代的數學不談集合，根本就沒有可能。
應用中的問題更大。舉一個簡單的例子，計算機每一秒鍾都在進行大量的加法，因為要尋址。我們憑什麽相信加法的有效性，因為可能算出一個人們不知道的數，從來沒有數到過，經驗保證不了。
我來說一個數學史上非常出名的實例，但遺憾的是隻有學過經典力學的人才能真正理解。牛頓在發現力學三定律的同時弄出了微積分，這可不是偶然的，因為沒有微積分，他寫不出三定律來，那玩意必須得用微積分這種語言來表達，也才能理解。
而微積分必須建立在實數的連續性上，但是，實數的定義和連續性卻是康托爾在將近200年以後才給出。所以說，在康托爾之前，微積分的基礎存在著致命的漏洞。
我想有人會說，牛頓力學用得那麽好，這不就夠了，為什麽我們要費那個腦筋。但是這樣不行，過去用的好，不一定能證明將來也會不錯。比如說，在2到3這個區間裏有無窮多，不可數的實數，我們必須得知道這些實數是所謂連續的，不出現其它的玩意，不然微積分就會失效，牛頓力學也會跟著失效。由於那是無窮多，經驗和以前的成功都不能保證將來，如果發射了一個衛星，其狀態剛剛進入了一個以前從來不知道的間隙，那裏實數不連續，衛星就可能掉下來。
所以說羅素認為在弗雷格之前，人們以為數是給數出來的，根本不知道數的真實含義，這個問題不解決，數學就始終是一個懸著在的東西，缺乏基礎。
構成正整數和解決實數問題都是用的一個方法，集合論，實際上用的是邏輯。也就是說，如果邏輯這個東西靠得住，那麽實數就必須是連續的，衛星就不會掉下來；計算機的尋址也不會出錯（實際上除了學齡前兒童，沒有人用經驗直接來驗證加法的有效性）。而在以前，人們隻能說：如果實數是連續的，那麽衛星就不會掉下來。
我想大家都會同意這個基礎就是要紮實得多。
羅素說：
“我認為大學中有院係之分是必要的，但其結果是很不幸的。邏輯被人看做是哲學的一個分枝，而且曾為亞裏士多德所論述過，因此大家就認為這一個科目隻有熟悉希臘文的人才能討論。結果，數學隻被不懂邏輯的人所討論。自亞裏士多德和歐幾裏德時代到本世紀，這種分裂是有很大的損害的。”
我前麵所說的數學並不包括邏輯，原因就在於此。當然，現在大部分人說的數學都包括邏輯，離開了邏輯不好談數學，而我說的是曆史上邏輯和數學的關係，隻能分開談。
弗雷格是第一個領悟到邏輯對數學的極端重要，由此而來，二十世紀將數學和邏輯結合起來，對數學產生了極大的影響，不誇張地說，這個世紀幾乎所有的數學進展，都與這個結合有關。而且還產生了一個弗雷格，羅素都沒有想到的學科，計算機科學就是建立在數理邏輯的基礎之上。
計算機硬件的基礎是以愛因斯坦那一批物理學家完成的；軟件基礎就是弗雷格那一批數學家奠定的。二十世紀之交這個世界充滿了動蕩，戰爭衝突連續不斷，很難有人能預測到那些數學家，科學家，而不是政治家，軍事家，最終會改變整個世界。
弗雷格很難說是一個傳統意義上的哲學家，他的工作集中闡明數學的邏輯意義和語言的邏輯關係上麵，恐怕從來沒有要想過建立一個解釋世界的哲學體係，他隻是看到了邏輯對數學的無比重要，因此也想這樣來解釋語言（也許是反過來的，最大可能是同時的，我不知道），由此他對哲學產生了無比深遠的影響。
因為所謂的分析哲學，語言哲學說到底就是：如果嚴格地按照邏輯，關於這個世界我們能說一些什麽。
這是一個非常奇妙聯係，現在你可以對語言哲學，分析哲學加以藐視，但是有一個東西卻無法否認，那就是計算機科學不能沒有命題運算，類型論，如果沒有弗雷格，羅素，哥德爾，是不可能有圖靈的，那麽今天的計算機就不能存在。
所以說，如果你能看到這一篇文章，絕對不是因為在天上有一個理念的計算機，而是因為有建立在邏輯之上的集合論。
