數學的“非邏輯”啟示
作者：石地
數學的“非邏輯”啟示
——讀M·克萊茵《數學：確定性的喪失》
在人的思維過程中，邏輯當然是重要的。一篇邏輯上出錯的論文，或者一通邏輯混亂的高談闊論，必然會影響論述效果，甚至讓人懷疑言說者的基本思維能力。但是，在很多時候，人的思維又確實是非邏輯的：某一瞬間你想幹什麽，多半不是邏輯推理的產物；什麽東西好吃或不好吃，誰能進行邏輯的論證？你喜歡或厭惡某人某事，通常也不會來一通邏輯論證……不僅在日常生活中，就是在很多動用理性認真思考的場合，也是如此。若君不信，請看這本《數學：確定性的喪失》。
這是著名的數學思想研究者M·克萊茵出版於八十年代的名著，它在疏理數學發展史的過程中發現，在各種創造性的數學研究中成果而且篇章目錄中，在最基礎的層麵上起決定作用的往往不是邏輯，而是“現實的需要和天才的直覺”——威廉·盧雲·哈密發現的“四元數”，居然“不符合乘法交換律，似乎破壞了數學知識中一個最基本的原則”；虛根“僅僅因為數學理論上的需要”，就無視“不可能有數被平方成負數”的現實，在數學的領地登堂入室；而“等量相加其和相等”，明顯違背許多顯見的理化事實（如不同液體的混合、長期接觸的某些物質間的滲透現象等等），但它就是數學公理；在微積分學科中起著奠基作用的“無窮小”，一會是零，一會不是零，明顯違背同一律，牛頓和萊布尼茲都給不出圓滿的解釋；哥德爾不完備性定律甚至證明了公理體係的基礎的不可證明性；就連長期以來被數學家們視為當然的討論前提的“閔氏空間”，實際上也是古希臘人還不知道地球曲率而產生的錯覺……作者通過大量的引經據典，揭示了一個與“常識”相反的事實：從托勒密、笛卡爾到彭加勒、伽羅瓦、布爾巴基學派，數學家們自己對數學的邏輯基礎的懷疑也是源遠流長的。阿達馬就在《數學領域中的創造心理》中說過：“在創造過程中，所有的數學家實際上都避免使用準確的語言，而用的是含糊的、可見或可能摸到的印象……所有這些新的公理化結構和嚴密化，所做的無非是證明了數學家所知道的那些東西確實如此。這意味著數學並非建立在邏輯之上而是建立在健全的直覺之上。嚴密化不過是對直覺承認的東西加以確認。邏輯隻是數學家們想要保證思想健康和強壯的衛生手段而已。”無獨有偶，愛因斯坦也說過這樣的話：“寫下來的詞句或說出來的語言，在我的思維機製裏不起任何作用。……那些似乎可用來作為思維元素的心理實體，是一些能夠‘隨意地’使之再現並且結合起來的符號和多少有點清晰的印象。對我來說，這些元素是視覺性的，也有一些是肌肉型的。隻有在第二階段，才有必要費神地去尋求慣用的詞或其他記號。”
就連本書的許多章節的標題，也明確無誤地強調著“數學的非邏輯基礎”——什麽“一門邏輯學科的非邏輯發展”，什麽“非邏輯性：通往天堂之門”，還有“直覺主義：數學家的美妙合唱”……可以說，這本書對迷信邏輯、尤其是盲目崇拜數學的精確推理的人來說，無疑是一帖清醒劑：在我們的創造性思維活動中，模糊的直覺起著絕不壓於邏輯推理的作用，數學這座似乎由邏輯推理構建起來的莊嚴大廈，在它的基礎中確實有著大量非邏輯的因素。
數學之於我，完全是一場誤會：當年高考時，父親有感於“解放以後文人都沒好下場”的現實，堅決要我報理工科。那時父親長期受壓，心情抑鬱，肝硬化已達“四指”並有輕微腹水，我不敢惹父親生氣，就報了數學係。自作聰明地想：馬克思都說“數學是思維的體操”，我先到數學係去操練操練，今後再往文史哲轉。進了校門，才知道事情絕非那麽簡單。那些功課一門比一門抽象，對一個沒有興趣的學習者來說，上課無異受刑。於是常常在課堂上開小差，對神聖的數學頗有不敬：老師講“函數曲線”，我在底下想：憑什麽就能“以平滑的曲線連接散點”——心電圖、布朗運動、電子嬗變等等，其活動軌跡不都是亂跳的嗎？概率課老師講“等概率假設”，我又大不以為然：“沒有理由認定硬幣的國徽麥穗哪一麵出現的可能性大”，就敢假定兩種可能性一樣大，這不是拿無知當論據嗎？後來在“集合論”課堂上聽到羅素悖論、“康托爾對應”，便有些幸災樂禍：數學這個假模假式的“邏輯論證的精確體係”，原來還惹出了這麽多無法自圓其說的東西。及至後來選修非歐幾何，發現隨著“第五公理”的修改，三角形內角和竟然就可以等於（歐氏幾何）、小於（羅氏幾何）、大於（黎曼幾何）180度，卻都能在不同的領域實際運用……這些不務正業的“注意力溜號”，使我對“客觀真理”、“揭示自然規律”等等“哲學說法”產生深深的懷疑，成為我日後接受波普爾、庫恩等人的科學哲學的思想基礎，並由此而“自然而然”地接受了在現代和後現代哲學中至關重要的多元思想。從這個角度來說，誤打誤撞進了數學係，倒吸收了非常重要的思想營養！
當然，說“數學的非邏輯性”，並非否定邏輯在數學中的重要性，而是指在非常深刻的基礎理論中，數學的邏輯結構是有問題的。這給我一個啟示：那貌似嚴謹異常的數學，尚且要建基於直覺對經驗的大膽歸納之上，尚且能容忍模糊和違反邏輯，要在其發展進程中把嚴謹和精確性的追求放在功用的有效性之下，那麽。在其他領域內過分強調邏輯性，豈不是有點削足適履的味道嗎？
邏輯固然是重要的，但它僅僅是一種整理和展開思維的工具，更多地隻是用於對創造的驗證，而很難勝任創造性的工作。如果注意到“無定義概念的重要性”，以及“數學在很大程度上無視邏輯學的基本要求”等觀點，再大膽地往前走一步，甚至可以說：創造精神的源頭是非邏輯的。當歌德說出他那句膾炙人口的名言——“理論是灰色的，而生活之樹常青”——時，他是不是也揣著這種直覺呢？
2007-11-20
（《數學：確定性的喪失》 M·克萊因著 湖南科技出版社1997年版）
作者：石地
數學的“非邏輯”啟示
——讀M·克萊茵《數學：確定性的喪失》
在人的思維過程中，邏輯當然是重要的。一篇邏輯上出錯的論文，或者一通邏輯混亂的高談闊論，必然會影響論述效果，甚至讓人懷疑言說者的基本思維能力。但是，在很多時候，人的思維又確實是非邏輯的：某一瞬間你想幹什麽，多半不是邏輯推理的產物；什麽東西好吃或不好吃，誰能進行邏輯的論證？你喜歡或厭惡某人某事，通常也不會來一通邏輯論證……不僅在日常生活中，就是在很多動用理性認真思考的場合，也是如此。若君不信，請看這本《數學：確定性的喪失》。
這是著名的數學思想研究者M·克萊茵出版於八十年代的名著，它在疏理數學發展史的過程中發現，在各種創造性的數學研究中成果而且篇章目錄中，在最基礎的層麵上起決定作用的往往不是邏輯，而是“現實的需要和天才的直覺”——威廉·盧雲·哈密發現的“四元數”，居然“不符合乘法交換律，似乎破壞了數學知識中一個最基本的原則”；虛根“僅僅因為數學理論上的需要”，就無視“不可能有數被平方成負數”的現實，在數學的領地登堂入室；而“等量相加其和相等”，明顯違背許多顯見的理化事實（如不同液體的混合、長期接觸的某些物質間的滲透現象等等），但它就是數學公理；在微積分學科中起著奠基作用的“無窮小”，一會是零，一會不是零，明顯違背同一律，牛頓和萊布尼茲都給不出圓滿的解釋；哥德爾不完備性定律甚至證明了公理體係的基礎的不可證明性；就連長期以來被數學家們視為當然的討論前提的“閔氏空間”，實際上也是古希臘人還不知道地球曲率而產生的錯覺……作者通過大量的引經據典，揭示了一個與“常識”相反的事實：從托勒密、笛卡爾到彭加勒、伽羅瓦、布爾巴基學派，數學家們自己對數學的邏輯基礎的懷疑也是源遠流長的。阿達馬就在《數學領域中的創造心理》中說過：“在創造過程中，所有的數學家實際上都避免使用準確的語言，而用的是含糊的、可見或可能摸到的印象……所有這些新的公理化結構和嚴密化，所做的無非是證明了數學家所知道的那些東西確實如此。這意味著數學並非建立在邏輯之上而是建立在健全的直覺之上。嚴密化不過是對直覺承認的東西加以確認。邏輯隻是數學家們想要保證思想健康和強壯的衛生手段而已。”無獨有偶，愛因斯坦也說過這樣的話：“寫下來的詞句或說出來的語言，在我的思維機製裏不起任何作用。……那些似乎可用來作為思維元素的心理實體，是一些能夠‘隨意地’使之再現並且結合起來的符號和多少有點清晰的印象。對我來說，這些元素是視覺性的，也有一些是肌肉型的。隻有在第二階段，才有必要費神地去尋求慣用的詞或其他記號。”
就連本書的許多章節的標題，也明確無誤地強調著“數學的非邏輯基礎”——什麽“一門邏輯學科的非邏輯發展”，什麽“非邏輯性：通往天堂之門”，還有“直覺主義：數學家的美妙合唱”……可以說，這本書對迷信邏輯、尤其是盲目崇拜數學的精確推理的人來說，無疑是一帖清醒劑：在我們的創造性思維活動中，模糊的直覺起著絕不壓於邏輯推理的作用，數學這座似乎由邏輯推理構建起來的莊嚴大廈，在它的基礎中確實有著大量非邏輯的因素。
數學之於我，完全是一場誤會：當年高考時，父親有感於“解放以後文人都沒好下場”的現實，堅決要我報理工科。那時父親長期受壓，心情抑鬱，肝硬化已達“四指”並有輕微腹水，我不敢惹父親生氣，就報了數學係。自作聰明地想：馬克思都說“數學是思維的體操”，我先到數學係去操練操練，今後再往文史哲轉。進了校門，才知道事情絕非那麽簡單。那些功課一門比一門抽象，對一個沒有興趣的學習者來說，上課無異受刑。於是常常在課堂上開小差，對神聖的數學頗有不敬：老師講“函數曲線”，我在底下想：憑什麽就能“以平滑的曲線連接散點”——心電圖、布朗運動、電子嬗變等等，其活動軌跡不都是亂跳的嗎？概率課老師講“等概率假設”，我又大不以為然：“沒有理由認定硬幣的國徽麥穗哪一麵出現的可能性大”，就敢假定兩種可能性一樣大，這不是拿無知當論據嗎？後來在“集合論”課堂上聽到羅素悖論、“康托爾對應”，便有些幸災樂禍：數學這個假模假式的“邏輯論證的精確體係”，原來還惹出了這麽多無法自圓其說的東西。及至後來選修非歐幾何，發現隨著“第五公理”的修改，三角形內角和竟然就可以等於（歐氏幾何）、小於（羅氏幾何）、大於（黎曼幾何）180度，卻都能在不同的領域實際運用……這些不務正業的“注意力溜號”，使我對“客觀真理”、“揭示自然規律”等等“哲學說法”產生深深的懷疑，成為我日後接受波普爾、庫恩等人的科學哲學的思想基礎，並由此而“自然而然”地接受了在現代和後現代哲學中至關重要的多元思想。從這個角度來說，誤打誤撞進了數學係，倒吸收了非常重要的思想營養！
當然，說“數學的非邏輯性”，並非否定邏輯在數學中的重要性，而是指在非常深刻的基礎理論中，數學的邏輯結構是有問題的。這給我一個啟示：那貌似嚴謹異常的數學，尚且要建基於直覺對經驗的大膽歸納之上，尚且能容忍模糊和違反邏輯，要在其發展進程中把嚴謹和精確性的追求放在功用的有效性之下，那麽。在其他領域內過分強調邏輯性，豈不是有點削足適履的味道嗎？
邏輯固然是重要的，但它僅僅是一種整理和展開思維的工具，更多地隻是用於對創造的驗證，而很難勝任創造性的工作。如果注意到“無定義概念的重要性”，以及“數學在很大程度上無視邏輯學的基本要求”等觀點，再大膽地往前走一步，甚至可以說：創造精神的源頭是非邏輯的。當歌德說出他那句膾炙人口的名言——“理論是灰色的，而生活之樹常青”——時，他是不是也揣著這種直覺呢？
2007-11-20
（《數學：確定性的喪失》 M·克萊因著 湖南科技出版社1997年版）
