《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？(中）

《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？(中）


數學不再是一個真理體係。這是何等令人沮喪的事情啊！歐氏幾何竟然是建立在一個有嚴重缺陷的邏輯基礎之上的。而現代數學分析是建立在算術與代數的虛構的邏輯上。雖然嚴謹的思想家們承認必須擯棄數學是現實世界的真理的主張，但許多數學家仍然信奉原來的觀念。

數學仍在發展，盡管它的某些方麵不合邏輯。並且它在物理世界上的應用仍然成就輝煌。

當一種觀念改變了人們的主要看法時，人們的表現通常是：一部分人完全不理會其觀念的內容；另一部分人試圖另尋出路；還有一部分人試圖修複缺失的東西。為了修複數學有缺陷的基礎，數學界分裂為邏輯主義派和直覺主義派。邏輯派認為所有的數學都可由邏輯推導出來。羅素就屬於邏輯主義派。他早年屬於柏拉圖主義者。他試圖把數學建立在嚴密的邏輯基礎之上。他和懷特海合著的三卷巨著《數學原理》就是這一嚐試。

羅素的努力最後失敗了。我們所說的失敗是指他未達到原來的目標。當然，失敗不意味著羅素的工作毫無意義。羅素所用的公理是“合理”否，甚至它們是否是公理，數學家們都達不成一致意見。打個比喻：邏輯主義派想找出一個剛體的山穀修一道不漏水的大壩，結果發現任何壩體都漏水，且地下的基岩竟是沼澤一樣的塑體。到了晚年，羅素自己已不相信數學能從邏輯中導出。

邏輯派對公眾影響很大的一點是“羅素悖論”。這個悖論簡單說，就是：一個集合的元素不可以包括該集合。否則，將帶來邏輯矛盾。它可用一種變形的形式表達（僅指它的邏輯關係，不是指其內容）：“凡規則都有例外。”（你可以變出許多命題：“我說的全是謊話”。“世界上沒有正確的東西。”……）若命題中的“凡規則”包括了自身，則它既不真也不能假——排中律被違反了。其實，“解決的辦法”是：命題敘述的內容不可反身到自身，否則，將帶來邏輯矛盾。電腦是一個技術工具，它不允許也不能忽略矛盾。若你編一段程序，內循環程序又包括了整個外循環程序段，那個程序要麽不能工作，要麽進入無窮循環。這取決於你寫的代碼。若該程序開始運行，你隻要“殺死”該程序，才能停止它“瘋狂”地運行。這是“羅素悖論”的一個“體現”。羅素自己就說過：“我們可以發現，在一切邏輯的悖論裏都有一種反身的自指，這種反身的自指應該根據同樣的理由加以指斥。那是說，它包含講那個總體的某種東西（這種東西有時總體中的一分子）。如果這個總體已經固定了，這種東西才有明確的意義。”

蜘蛛網上常有人將類似的悖論變種拿來，還認為自己是發現了新大陸。其實，那是新“發明”自行車，且該車的是方形的。

直覺主義者是屬於另找出路的一派。他的觀點是：數學是人的直覺所創造的。克羅內克說過一句話可謂代表：“上帝創造了整數，其餘的都是人的創造。”支持直覺主義的事實是：許多在數學這塊板上鑽過若幹大小洞的人都知道，幾乎全部的數學定理都是在各種思考方式下找到的，“證明”是後加上去的。愛因斯坦說過：從特殊到一般是靠直覺起作用。他可沒說什麽邏輯。當然，反對直覺主義的理由是：人的直覺經常出錯。像“在某區間上處處連續，但處處不可導”的“病態函數”著實使許多數學家多少有點吃驚。還有一點，即使你是最堅定的直覺主義者，你若在論文中說：“根據本人的直覺，得到如下的結論：……”這樣的論文是不會被接受的。還有更重要的一點是：根據直覺主義的觀點，數學許多的部分要被廢棄。排中律不能用於無限的集合中。

直覺主義者認為數學是人的創造。他們的某些對手也承認這一點。有人會想，既然數學是人的創造，那數學研究不就太簡單了嗎？我們的回答是：你來試試便知道了。

希爾伯特所領導的形式主義派認為：數學不是一種邏輯的結果，而是一種自然存在的法則。對待數學的可靠的方法是不把它當作實際知識，而是當作一種形式上的法則。數學思想的要素就是符號和符號組合或串聯而成的命題。看來，他們是要調和邏輯派和直覺派的矛盾。今天所有的數學書中充滿著各種符號，就是這一派的影響的體現。

另一派是策梅羅創建的集合論公理化派。顧名思義，這一派是要把集合論公理化。它想把前三者的某些東西結合起來。它的追隨者最多。今天的高中生都要學一點集合論，就是這一派的功勞。某些沒有曆史感的曆史學家經常在曆史中找什麽公理化思想就是受這一派的影響。

這幾派互相攻擊，有時也互相取所長。倒也相安無事。

但對數學進行了一場毀滅性打擊的是哥德爾。