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來源: 黑色的公爵於 2013-05-26 03:11:41 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀：次 (12104 bytes)

近聞美國華人數學家張益唐的故事有感。

素數不再孤單——孿生素數和一個執著的數學家張益唐的傳奇

http://blog.sina.com.cn/s/blog_c24597bf0101bazy.html

致謝：本文得益於許多人的幫助，在此一並表示感謝：丘成桐教授提議用以上的標題
，William Dunham教授提供了關於孿生素數猜想曆史的資料，葛立明教授提供了張益唐
的簡曆，鄭紹遠教授指出Soundararajan的文章，楊樂教授提供了有關潘承彪教授的資
料，王元教授提供了孿生素數猜想有關成果的詳細資料，John Coates教授認真閱讀本
文，給出了重要的修改意見並提供高斯關於素數定理的信件。

數學是什麽？克羅內克（Kronecker）曾說：“上帝創造了整數，其餘一切都是人造的
。”那什麽構成了整數？答案是素數！事實上，每個整數都能唯一地寫成若幹素數的乘
積。自古埃及（約公元前3000年）起，人類就已經對素數著迷。如今，大素數在現代密
碼學中起著重要作用。

兩千多年前，歐幾裏得證明存在無窮多的素數，但是人們觀察到素數出現的頻率越來越
小。著名的孿生素數猜想斷言存在最極端的例外，也就是說，存在無窮多的間隔為2的
素數對。在這個古老問題上首次取得突破性進展的是中國數學家張益唐，他證明了存在
無窮多個間隔小於7000萬的素數對。

素數

素數的探尋之路艱辛漫長卻興味盎然，張益唐的傳奇故事感人至深又鼓舞人心。從某種
意義上來說，素數的曆史是數學史的精致縮影，很多重要的數學家都被其吸引。

在歐幾裏得證明素數有無窮多以後，關於素數的文字記載陷入停滯，直到17世紀，費馬
指出所有可以寫成$2^{2^n}+1$形式的數（$n$為自然數）都是素數。費馬並沒有給出證
明，但是他驗證了$nleq4$時的情形。費馬的工作激發了歐拉和其他很多學者的興趣。
例如，歐拉發現，下一個費馬數$2^{2^5}+1$不是素數。這表明隻在少量實驗之上斷言
一般情形的風險。歐拉研究了素數的很多不同方麵，例如，他和哥德巴赫在1742年的通
信促使哥德巴赫猜想成為數論領域的主要問題之一。在他的回複中，歐拉寫道：“每個
偶數都是兩個素數之和。我認為這是一個完全正確的定理，雖然我還無法給出證明。”

關於素數的分布也是一個自然而且重要的問題，有很多學者研究過這個問題。18世紀末
，通過詳細的計算，勒讓德和高斯獨立地猜測素數定理：當$x$趨於無窮大時，$pi(x)$
和$x/ln x$的比值趨向於$1$。高斯從未發表過他的猜想（雖然在哥廷根圖書館中一封
日期為1849年的高斯的長信明確記錄了他的這一發現），而勒讓德發表了他的研究成果
。高斯的一位年輕同事，狄利克雷發現了素數定理的一個等價公式。1850年，切比雪夫
證明了素數定理的一個弱形式--計數函數$pi(x)$的增長階滿足素數定理的預測。作為
推論，他證明對任意整數$ngeq2$,$n$和$2n$之間至少存在一個素數。

這些圖片是高斯1849年寫給一個以前的學生的關於素數定理的信件，現保存於哥廷根大
學圖書館。（由John Coates教授提供）

雖然之前zeta函數在歐拉和切比雪夫的論文中被應用於素數研究，黎曼是真正將zeta函
數作為複函數引入並建立了素數分布和黎曼zeta函數零點位置的密切聯係。數論和複分
析的交融徹底改變了數論。而黎曼關於黎曼zeta函數零點的假設現在依然還是一個公開
問題，並且可能是數學上最著名的問題。

在1859年的一篇論文中，黎曼勾勒出一個通過黎曼zeta函數證明素數定理的綱領。受此
啟發，阿達瑪和普森（de la Vall'ee Poussin）在1896年分別獨立完成素數定理的證
明。

素數擁有一種非凡的特質：他們同時具備規則和無序（或隨機）的行為。比如，素數定
理表明他的總體增長符合一個簡單函數關係，但是他們之間的間隔卻異常複雜和隨機（
或混亂）。素數定理的一個直接推論是素數之間的平均間隔趨於無窮大（或者說素數在
整數中的密度趨向於零）。理解這些間隔的行為是一個自然而有趣的問題。（在某種意
義上，這也反映出理解素數計數函數$pi(x)$漸近展開的剩餘項是很困難的問題。如黎
曼所指出的，這與黎曼zeta函數的零點有關。）

素數的間隔

關於素數間隔研究的曆史？1849年，波利尼亞克（Alphonse de Polignac, 1817—1890
）猜測任意偶數都是無窮多個相鄰素數對的間隔。這個猜想對應於2的特殊情形，就是
存在無窮多孿生素數。格萊舍（James W. L. Glaisher, 1848—1928）列舉了$10^5$以
內的所有孿生素數，並得出結論“毫無疑問孿生素數有無窮多，如何證明之是很有意思
但卻並不容易的問題。”格萊舍曾獲得劍橋大學1887年數學學位考試第二名（Second
Wrangler），曾擔任擔任皇家天文學會主席，還是著名哲學家維特根斯坦（Ludwig
Wittgenstein, 1889—1951）的老師。

這是孿生素數猜想可查的最初起源。由於其表述簡單自然，我們有理由懷疑這個問題可
能被更早的學者，甚至是古希臘的數學家思考過。但是根據數學史學家，特別是研究歐
拉工作的學者的觀點，歐拉的工作中沒有討論過孿生素數。既然歐拉以博學高產聞名於
世，我們幾乎可以認定波利尼亞克是最早提出孿生素數問題的數學家。

許多數學家都研究過這個表述極為簡潔的孿生素數猜想。雖然間隔2是數學家們所期望
的，但是任何比來自素數定理所蘊含的間隔更小的估計都很有價值。任何關於這些間隔
的描述或分布規律都是重要而有趣的1。

關於素數的間隔，我們已經得到許多部分的和帶額外條件限製的結果，以及許多列舉孿
生素數對的數值工作。其貢獻者包括Hardy, Littlewood, Siegel, Selberg, Rankin
, Vinogradov,
華羅庚, Erd"os, Bombieri, Brun, Davenport, Rademacher, R'enyi, 王元, 陳景
潤, 潘承洞, Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, Huxley, Maier, Granville,
Soundararajan等著名數學家。事實上，我們很難說出過去100年中有哪個解析數論學家
沒有直接或間接的研究過孿生素數猜想。當然還有許多業餘數學家的不懈努力。

一個重要和鼓舞人心的結果在2009年被Goldston, Pintz和Yildirim證明。從某種意義
上說，他們的結果是首破堅冰之作。他們證明雖然素數的間隔在平均意義上趨於無窮大
，但實際卻可以非常小。這被認為是這個問題80年來最傑出的工作 [2， p. 1]。假設
關於算術級數素數分布的Elliott-Halberstam猜想成立，他們可以證明存在無窮多間隔
小於16的素數對。

在 [1， p. 822]中，他們還提出如下問題“是否能用我們的方法無條件的證明存在無
窮多的間隔固定的素數對？”雖然他們的結果看似距離這個問題“隻有頭發絲那麽細”
[1， P.822]，但是困難依然巨大。

該如何應用或改進 [1， p. 822]的結論？也許這正是張益唐工作的起點。這個問題的
困難在 [1， p. 819]中有精辟的描述：“這個問題不僅困難，而且它在大多數這個領
域的數學家中背負著‘毫無解決希望’的名聲，我們不知道任何不借助額外條件的方法
可以對付這個問題。”

事實上，在張益唐的工作出來之前，這個領域的幾乎所有專家都認為這個問題有著不可
逾越的困難。在Soundararajan [1，p. 17]{so}看來，“首先，也即最重要的，是考慮
能否無條件的證明有界素數間隔的存在性。在目前看來，回答是否定的，但是也許這個
方法的某些變例會行得通。”

研究素數最基本或者說僅有的方法就是篩法。但是要從目前已知的眾多有著微妙差別的
篩法中找出能夠有效應用於某個具體問題的篩法，是一門藝術。我們需要實實在在的原
創思想來打破表麵上的僵局。在這個問題上鑽研了3年之後，2012年7月，張益唐在訪問
科羅拉多州的朋友期間，終於捕獲了關鍵的靈感。他解決了 [1，Question 1]中的問題
。在某種意義上，正是一貫的堅持和信念，使他在世界頂尖專家都無能為力的難題上取
得了成功。

2013年5月13日，張益唐受丘成桐教授邀請，在哈佛大學作了一個報告。在報告中，他
首次向學術界宣布了他在文章 [5]中證明的裏程碑式的定理：“ 存在無窮多間隔小於7
千萬的素數對。”

這標誌著解析數論這個古老的學科又翻過了一個絢爛的華章，並預示著下一個新紀元的
到來。

張益唐的學術生涯

張益唐的學術生涯是典型和非典型的結合，或許就像他所熱愛的素數。1978年張益唐考
入北京大學，1982年畢業時他被認為是當時最優秀的學生2。隨後的1982年至1985年，
他在潘承彪指導下繼續在北京大學攻讀碩士學位，因此他也成為了華羅庚（1910-1985
）的門生之一3。

1991年張益唐在普渡大學獲得博士學位之後4，他沒能找到大學的正式教職。之後他從
事過各種各樣的工作，當過會計，也在快餐店打過工。但是數學始終是他的摯愛。1999
年到2005年，他作為代課老師在新罕布什爾大學教授課程。2005年至今，張益唐在新罕
布什爾大學擔任講師。張益唐是一個非常優秀的授課教師，受到學生的高度評價。從某
種意義上說，目前為止，張益唐從來沒有獲得過正式的數學研究職位。正因為如此，他
能在這樣一段艱苦而漫長的歲月裏堅持不懈地執著鑽研數學界最具挑戰性難題的舉動才
更令人感動和印象深刻（例如黎曼zeta函數零點分布和孿生素數猜想）。他的堅持印證
了一句中國俗語："皇天不負有心人！"

張益唐的博士論文研究著名的關於多項式映照的雅克比猜想，這個猜想至今依然未被證
明，它也因為有眾多錯誤的證明而愈加著名。在獲得博士學位之後到取得孿生素數研究
的重大突破之前的這段時間裏，張益唐隻在著名的《杜克數學期刊》上發表了一篇論文
《關於$zeta'(s)$ 在臨界線附近的零點》（``On the zeros of $zeta'(s)$ near
the critical line''）。這篇論文的研究內容是黎曼zeta函數及其導數的零點以及零
點之間的距離。1985年，張益唐在中國頂尖數學雜誌之一《數學學報》上發表了另一篇
關於黎曼zeta函數零點的論文。

也許有必要指出這些零點的間距和孿生素數密切相關 [3，p. 2]：“關於素數對$p$和$
p+2k$（$2k$為偶數）出現頻率的精確認識對黎曼zeta函數零點坐標的空間分布有著微
妙的蘊意....另一方麵來說，特異（基本不可能）零點模式在zeta類函數意味著存在無
窮多的孿生素數。”

在當今這個一切都是批量生產的文化環境下，一個人究竟應該或者能夠創造出多少成果
，這個問題或許值得我們深思。這讓人聯想到托爾斯泰的著名短篇小說《一個人需要多
少土地》。這篇小說裏的土地讀者可以自行可以替換成其他任何你想追求的東西。

文章的數量和篇幅是否是有效的衡量標準呢？或許我們應該始終牢記，時間是檢驗一切
的最佳標準！

也許不是每個人都熟悉黎曼猜想，但是每個學過微積分的學生一定都聽說過黎曼和以他
的名字命名的積分。絕大多數數學家都會同意黎曼是曆史上最偉大的數學家之一。但是
可能很少有人知道，黎曼一生隻發表了5篇數學文章和4篇物理文章。（伽羅華一生中發
表的文章更少，但他並不是一個全職數學家，而且在很年輕的學生時期就去世了。）

素數並不孤獨

素數的概念也是感性化的。素數是整數裏的一些單獨的數，但對於某些素數（或許對某
些人也一樣）來說，有一個如同孿生素數那樣的親密夥伴就足夠了。這種特殊的感情在
保羅·喬爾達諾的小說《素數的孤獨》裏有著很好的描述。我們來引用這本書裏的一段
話: 素數“是多疑而孤獨的數，這是馬蒂亞（小說中的主人公）認為素數奇妙的原因。
有時他覺得素數是在不經意間形成數列，它們是被束縛了，就像一串項鏈上的珍珠。有
時他又覺得素數原本更希望能和其它普通的數一樣，但是因為某些原因，它們不能成為
普通的數....有些素數甚至更加獨特。數學家們稱之為孿生素數：成對的素數彼此相近
，幾乎相鄰，但是他們之間始終為一偶數所隔，無法觸及。”

張益唐使人們回想起幾代中國學生心目中的英雄人物之一陳景潤，以及他在著名的哥德
巴赫猜想上所取得的成果。陳景潤和張益唐都是孤獨而堅持不懈地鑽研著數論方麵的艱
深難題，他們都為祖國，尤其是中國數學界贏得了巨大的榮耀。

當然，陳景潤的故事對於每個中國學生來說都耳熟能詳。趣味數學書《遇見哥德巴赫猜
想》
作者多夏狄斯（Apostolos Doxiadis）用帶有浪漫主義的細膩筆觸描寫了一個數學家鑽
研哥德巴赫猜想的故事。（順便說一句，小說中的主人公比德羅斯叔叔從獲得博士學位
以後到開始轉向哥德巴赫猜想研究的這段時間內隻發表了一篇論文。）

參考文獻：

[1] D. Goldston, J. Pintz, C. Yldrm, Primes in tuples. I., Ann. of Math. (
2) 170 (2009), no. 2, 819--862.

[2] D. Goldston, J. Pintz, C. Yldrm, Primes in tuples. II., Acta Math.
204 (2010), no. 1, 1--47.

[3] Y. Zhang, On the zeros of $zeta'(s)$ near the critical line, Duke
Math. J. 110 (2001), no. 3, 555--572.

[4] K. Soundararajan, Small gaps between prime numbers: the work of Goldston
-Pintz- Yldrm, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 44 (2007), no. 1, 1--18.

[5] Y. Zhang, Bounded gaps between primes, preprint, 2013, 56 pages.