【金碧輝煌的聖殿（3. Johnson’s theorem）】

唐宋韻 · 2023-11-15 15:18:11Z

【金碧輝煌的聖殿（3. Johnson’s theorem）】簡介

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金碧輝煌的聖殿 （3. Johnson’s theorem）

掛在我家牆上的幾何圖案中，有一個是在正方形的鏡框裏麵。這個幾何圖形包含四個圓，（我認為）極其優美。它顯示的是Johnson’s theorem。

《幾何原本》寫於公元前4世紀，此後的幾何規律和定理又被一代代數學家和愛好者不斷發現和證明。一些有相當難度、很隱蔽的規律，比如下圖所示的“歐拉線定理”，也被歐拉這樣的天才數學家在260年前發現並證明了—

然而這座“金礦”似乎總有開采不完的金子。上一篇我們聊了Morley’s trisector theorem，它是在19世紀的最後一年，即1899年被揭示的。那麽，到了20世紀，還能不能有那樣簡明而優美的發現呢？沒問題！

Johnson’s Theorem 發表於1916年，已經是20世紀了。它是這樣表述的：“如果三個半徑同為r的圓經過一公共點H，那麽經過另外三個交點的圓的半徑也是r 【Given three circles of equal radii r that all pass through a common point H, then the circle through their other three intersections has the same radius r.】換句話說，以另外三個交點為頂角的三角形，其外接圓與原先那三個圓是全等的。簡單不簡單？

發表這個定理的，是美國數學家Roger Johnson。他1913年獲得哈佛大學數學博士學位，不久以後進入紐約的Hunter College數學係。他後來長期擔任係主任直到退休。Roger Johnson不是大數學家，他一生僅發表十幾篇論文（包括上圖中所示的僅一頁的關於該定理的論文 A circle theorem。）但他的一部探討歐式幾何複雜問題的專著Modern Geometry - An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (Houghton Mifflin, 1929) 卻在幾十年裏頗歡迎。現在這本書的全文都可以在網上閱讀。

這篇小論文最後一段的討論，其口氣很有意思：我這發現啊，“appear to be new”，可是它如此簡單，明確，兩千多年來難道所有的人都忽視了？我有點兒心虛啊。讀者們，你們如果發現我不是原創，請報告…… 這種論文的寫法今天肯定是沒有的。

上麵兩個圖看起來有些深奧，其實隻是前麵那個圖稍加擴展。圖A顯示了第五個圓，它是以三個圓的交點H為圓心，作一個圓，經過另外三個圓的圓心，顯然這個圓的半徑也是r，所以這個圖中五個圓的半徑都相同。圖B我不細解釋了。有一點幾何童子功的網友馬上就能看出來，那個紅色大圓的半徑為2r。那三個半徑為r的圓無論怎樣移動，隻要有共點H，它們始終都是與大圓內切的。

上麵這個圖，進一步表現這個幾何結構的特點：無論是把六個相關的點連成兩個中心對稱的全等三角形，還是連成如立方體的透視圖，深層次的規律是“萬變不離其宗”的。以橙紅色代表的Johnson環的半徑為r是不變的。

說到這裏，故事並沒有完...... Johnson的論文發表後又過了很多年，人們才發現，這個規律其實早在之前八年，即1908年，已經被一個叫Gheorghe Titeica的羅馬尼亞人發現並證明了。我本人在知道這件事以後，一開始以為這位Titeica先生是羅馬尼亞的某個偏遠地區的小鎮做題家，沒有話語權，讓美國佬Johnson占了便宜。

我完全錯了。Titeica是羅馬尼亞著名數學家。他在法國獲得博士學位（法國的數學在18-19世紀是世界上最牛的），他是羅馬尼亞微分幾何（differential geometry）的奠基人，他在羅馬尼亞國家科學院長期擔任高職，他是羅馬尼亞數學學會的主席。作為知名學者，他還是國際數學大會（ICM）幾何分支的主席。他發表過幾百篇論文，學生中也出了著名數學家，他兒子是知名量子物理學家，而且他本人還是小提琴高手，他牛得很。

有一天他拿著一枚5-lei 硬幣，畫了3個共點的圓，突然意識到還有一個全等的圓隱含在裏麵，他畫了出來。至於證明，對他來說實在是小菜一碟。這個平麵幾何的小問題，簡單又直觀，他根本不認為是什麽大的發現。恰巧這時候羅馬尼亞的《數學學報》（Gazeta Matematica）有一個開放性的數學競賽，讓參賽者自己提出命題並證明。當時在布加勒斯特大學當教授的Titeica，就把自己剛剛發現的“the five-lei coin problem”加上證明，用羅馬尼亞語撰寫後遞交上去了。那是1908年。

Titeica教授在數學方麵的貢獻，根本不以這個“小兒科”發現說事兒。1961年羅馬尼亞為他專門發行了一枚郵票，是表彰他在微分幾何方麵的成就和他的leadership。Titeica也不爭什麽名分，倒是數學愛好者們常有不平。Roger Johnson雖然是獨立發現了相同的規律，但Gheorghe Titeica畢竟比他早8年，也是（用非英語）記錄在案的。若稱該定理為Titeica-Johnson’s Theorem 應該更公平。我同意這一點。

到了1999年（Titeica已經去世整整60年了），第40屆“國際數學奧林匹克”（IMO）在羅馬尼亞舉行。那神秘的第四個圓再次靜悄悄地浮出水麵，嵌入大會的Logo（見上）。我認為這個極好的設計 — 第一，第四個圓正好用到“40”裏；第二，這是羅馬尼亞學者首先發現的；第三，這是屬於基礎數學範疇，與IMO正相配；第四，定理簡明、圖形優美、Logo設計相當美觀！