簡介
洛倫茲變換（Lorentz transformation）是觀測者在不同慣性參照係之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德裏克·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。
理論提出
19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得了巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。
由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當隻在某個特定的慣性參照係中成立，這個參照係就是以太。其它參照係中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照係相對以太參照係的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗測量不到地球相對於以太參照係的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克耳孫-莫雷實驗的結果。根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，以太（即空間）長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上的光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。
解釋
狹義相對論中關於不同慣性係之間物理事件時空坐標變換的基本關係式。設兩個慣性係為S係和S′係，它們相應的笛卡爾坐標軸彼此平行 ，S′係相對於S係沿x方向運動 ，速度為v，且當t＝t′＝0時，S′係與S係的坐標原點重合，則事件在這兩個慣性係的時空坐標之間 的洛倫茲變換為 x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c為真空中的光速 。不同慣性係中的物理定律必須在洛倫茲變換下保持形式不變。
在相對論以前，H.A.洛倫茲從存在絕對靜止以太的觀念出發，考慮物體運動發生收縮的物質過程得出洛倫茲變換 。在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅看作是數學上的輔助手段，並不包含相對論的時空觀。愛因斯坦與洛倫茲不同 ，以觀察到的事實為依據，立足於兩條基本原理：相對性原理和光速不變原理，著眼於修改運動、時間、空間等基本概念，重新導出洛倫茲變換，並賦予洛倫茲變換嶄新的物理內容 。在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關係式，狹義相對論的運動學結論和時空性質，如同時性的相對性、長度收縮、時間延緩、速度變換公式、相對論多普勒效應等都可以從洛倫茲變換中直接得出。
洛倫茲變換的簡明推導
事實一
相對性原理。物理定律在所有的慣性係（慣性係就是能讓牛頓第一定律
狹義相對論
成立的參考係）中都是相同的。也就是說，不同慣性係的物理方程形式是相同的。比如，在低速條件下，牛頓三定律的公式在地球慣性係中是這樣寫的，在太陽慣性係中也是一樣的寫法
事實二
光速不變。在所有慣性係中，真空中的光速等於恒定值c。光速大小與參考係之間的相對運動無關，也與光源、觀察者的運動無關
推導過程
現在根據這兩個事實，推導坐標的變換式
設想有兩個慣性坐標係分別叫S係、S'係，S'係的原點O‘相對S係的原點O以速率v沿x軸正方向運動。任意一事件在S係、S'係中的時空坐標分別為（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。兩慣性係重合時，分別開始計時
若x=0，則x'+vt'=0。這是變換須滿足的一個必要條件，故猜測任意一事件的坐標從S'係到S係的變換為
x=γ(x'+vt') (1)
式中引入了常數γ，命名為洛倫茲因子
（由於這個變換是猜測的，顯然需要對其推導出的結論進行實驗以驗證其正確性）
在此猜測上，引入相對性原理，即不同慣性係的物理方程的形式應相同。故上述事件坐標從S係到S'係的變換為
x'=γ(x-vt) (2)
y與y'、z與z'的變換可以直接得出，即
y'=y (3)
z'=z (4)
把（2）代入（1），解t'得
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)
在上麵推導的基礎上，引入光速不變原理，以尋求γ的取值
設想由重合的原點O（O'）發出一束沿x軸正方向的光，設該光束的波前坐標為（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根據光速不變，有
X=cT (6)
X’=cT' (7)
（1）（2）相乘得
xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8)
以波前這一事件作為對象，則（8）寫成
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9)
（6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子
γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)
（10）代入（5），化簡得
t'=γ(t-vx/c^2) (11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S係到S'係的洛倫茲變換
x'=γ(x-vt)，
y'=y，
z'=z，
t'=γ(t-vx/c^2) (12)
根據相對性原理，由（12）得S'係到S係的洛倫茲變換
x=γ(x'+vt')，
y=y'，
z=z'，
t=γ(t'+vx'/c^2) (13)
下麵求洛倫茲變換下的速度變換關係
考慮分別從S係和S'係觀測一質點P的運動速度。設在S係和S'係中分別測得的速度為u(j，n，m)和u'(j'，n'，m')
由（12）對t'求導即得 S係到S'係的洛倫茲速度變換
j'=(j-v)/(1-vj/c^2)，
n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，
m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)
根據相對性原理，由（14）得S'係到S係的洛倫茲速度變換
j=(j'+v)/(1+vj'/c^2)，
n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1]，
m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)
洛倫茲變換結合動量定理和質量守恒定律，可以得出狹義相對論的所有定量結論。這些結論得到實驗驗證後，也就說明了狹義相對論的正確性
經典的洛倫茲變換
經典的洛倫茲變換指出：我們將求出相對論的變換公式，這些公式恰好是根據那個事件間的間隔不變的要求的。如果我們為了便於以後的敘述利用量τ= ict，那麽，正如在§1-2裏所看到的二事件間的間隔可以認為是在四度空間內的相對應的兩個世界點間的距離。因此我們可以說，所要求的變換，必須是使所有在四度空間x，y，z，τ內的距離不變的變換。但是這些變換僅僅包括坐標係統的平移與旋轉。其中，我們對於坐標軸對自己作平行移動並無興趣，因為這不過是將空間坐標的原點移
H.A.洛倫茲
動一下、並將時間的參考點改變一下而已。所以，所要求的變換，在數學上應當表示為四度坐標係統x，y，z，τ的旋轉。四度空間內的一切旋轉，可以分解為六個分別在六個平麵xy，yz，zx，xτ，τy，τz內的旋轉（正如在三度空間內的一切旋轉可以分解為xy，yz，zx三個平麵內的旋轉一樣）。其中，前三個旋轉僅僅變換空間坐標，它們和通常的空間旋轉相當。我們研究在xτ平麵內的旋轉，這時y與z坐標是不變的。令ψ為旋轉角，那麽，新舊坐標的關係就由以下二式決定：
x = x’cosψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’cosψ （1）
參見上圖：
我們現在要找出由一個慣性參考係統K到另一個慣性參考係統K’的變換公式，K’以速度V沿X軸對K作相對運動。在這種情況下，顯然隻有空間坐標x與時間坐標τ發生變化。所以這個變換必須有(1）式的形式。現在隻剩下確定旋轉角ψ的問題，而ψ又僅與相對速度V有關。我們來研究參考係統K’的坐標原點在K內的運動。這時，x’ = 0，而公式(1)可寫成：
x = –τ’sinψ； τ=τ’cosψ。 (2）
相除可得
x/τ= - tanψ (3）
但τ= ict，而 x/t顯然是K’ 對K的速度V。因此，
tanψ = iV/c (4)
由之得
sinψ= (iV/c)/(1-V2/c2)1/2，cosψ=1/(1-V2/c2)1/2 (5）
代入(2)，得：
x = (x’ - iVτ’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’，z = z’，
τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V2/c2)1/2 (6）
再將τ= ict，τ’ = ict’代入，最後得
x = (x’ + Vt’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’， z = z’，
t = (t’+ Vx’/c2)/(1-V2/c2)1/2 (7)
這就是所要求的變換公式。它們被稱為洛倫茲變換式，是今後討論的基礎。（參見《場論》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席茲著，任朗、袁炳南譯，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15頁）
正如所知，這一組關係式就是著名的“洛倫茲變換公式”，也是愛因斯坦狹義相對論的數學基礎。的確，按照這一組關係式，隻能得出：運動係上的時間坐標（r’）和空間坐標（t’），在運動中會產生“鍾慢尺縮”效應
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