物理學之美：楊振寧的13項重要科學貢獻
本文作者： 施鬱（複旦大學物理學係教授）
引言
1928年，6歲的楊振寧在海灘撿貝殼，與眾不同地挑選極小卻精致的。異於常人的獨特的觀察力、品味和風格在他成年後的物理學生涯中不斷表現出來，成就了一位當代最卓越的理論物理學風格大師和物理學基本理論結構的設計師[1-8]。
2012年，90歲的楊振寧收到的一件生日[9]禮物是一個8cm×8cm×6.6cm的黑色立方體（見下圖）。立方體的底部刻著“恭祝/楊振寧教授/九十華誕/清華大學”，上平麵刻著杜甫詩句“文章千古事，得失寸心知”，而4個垂直平麵則從左側開始順時針依次刻著他對統計力學、凝聚態物理、粒子物理、場論等物理學4個領域的13項重要貢獻。這讓人聯想到所謂的朗道（Landau）十誡[10]。
“文章千古事，得失寸心知”這句詩是唐代詩人杜甫為自己的詩集所寫的序言，深得楊振寧喜愛。楊振寧曾經在自己的詩《讚陳氏集》中引用此句[8]。這個詩句也深刻反映了世紀物理大師楊振寧的研究心態，以至於被他用在自己的論文選集的序言中[3]。他在該書2005年再版序言中所說，這本論文選集記錄的是在物理學一個很激動人心的時代中，一個人的旅程。它同時也是一個關鍵參與者所記下的20世紀下半葉理論物理的發展史。選集中每篇論文都在作者心中有其位置，所以他談到自己的某篇文章時，經常熟悉地用該文在選集中的序號（出版年加上排序字母）來指稱，比如“80b”。下麵我們按立方體上的排列方式，分4個領域列出楊振寧的這13項重要貢獻以及相關論文在選集中的序號，然後分別作簡要的評述，最後再作進一步的討論。
（A）統計力學
A1. 1952 Phase Transition（相變理論）。論文序號: 52a，52b， 52c。
A2. 1957 Bosons（玻色子多體問題）: 論文序號: 57h， 57i，57q。
A3. 1967 Yang-Baxter Equation（楊-Baxter方程）。論文序號: 67e。
A4. 1969 Finite Temperature（1維δ函數排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴格解）。論文序號: 69a。
（B） 凝聚態物理
B1. 1961 Flux Quantization（超導體磁通量子化的理論解釋）。論文序號: 61c。
B2. 1962 ODLRO（非對角長程序）。論文序號: 62j。
（C） 粒子物理
C1. 1956 Parity Nonconservation （弱相互作用中宇稱不受恒）。論文序號: 56h。
C2. 1957 T，C and P （時間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對稱性）。論文序號:57e。
C3. 1960 Neutrino Experiment（高能中微子實驗的理論探討）。論文序號: 60d。
C4. 1964 CP Nonconservation（CP不守恒的唯象框架）。論文序號: 64f。
（D）場論
D1. 1954 Gauge Theory（楊-Mills規範場論）。論文序號: 54b， 54c。
D2. 1974 Integral Formalism（規範場論的積分形式）。論文序號: 74c。
D3. 1975 Fiber Bundle（規範場論與纖維叢理論的對應）。論文序號:75c。
2
分項評述
2.1相變理論
統計力學是楊振寧的主要研究方向之一。他在統計力學方麵的特色是對紮根於物理現實的普遍模型的嚴格求解與分析，從而漂亮地抓住問題的本質和精髓。這可以概括為: 原創、優雅、力量和物理。1952年楊振寧和合作者發表了3篇有關相變的重要論文。第一篇是他在前一年獨立完成的關於2維Ising模型的自發磁化強度的論文，得到了1/8這一臨界指數。這是楊振寧做過的最冗長的計算，是一個絕對的壯舉。Dyson稱其為“雅可比橢圓函數理論的大師式練習”[7]。Ising模型是統計力學裏最基本卻極重要的模型，但是它在理論物理中的重要性到1960年代才被廣泛認識。楊振寧的這篇文章以及張承修在其建議下所作的推廣給出了臨界指數普適性的最早跡象[4]。1952年，楊振寧還和李政道合作完成並發表了兩篇關於相變理論的論文，將對Ising模型的研究擴展到格氣模型，並嚴格計算出氣液相變的Maxwell圖。兩篇文章同時投稿和發表，發表後引起愛因斯坦的興趣。論文通過解析延拓的方法研究了巨配分函數的解析性質，發現它的根的分布決定了狀態方程和相變性質，消除了自1937年Mayor文章發表[11]之後一直爭論不斷的、對於同一相互作用下可存在不同熱力學相的疑惑，即“氣體分子如何‘知道’它們何時聚集成液體還是固體”[12]。楊和李的這兩篇論文的高潮是第二篇論文中的單位圓定理，它指出吸引相互作用的格氣模型的巨配分函數的零點位於某個複平麵上的單位圓上。在統計力學和場論中，這個理論精品就像一個小而精致的貝殼至今魅力不減。楊振寧本人稱其為“一個小珍品（a minor gem）”[4]。
2.2 玻色子多體問題
起源於對液氦超流的興趣，楊振寧在1957年左右與合作者發表或完成了一係列關於稀薄硬球玻色子多體係統的論文。這是一個數學上定義完善的模型。首先，他和黃克孫、Luttinger合作發表兩篇論文，將費米的贗勢法用到該領域。在寫好關於弱相互作用中宇稱是否守恒的論文後等待實驗結果的那段時間，楊振寧和李政道用雙碰撞方法首先得到了正確的基態能量修正，然後又和黃克孫、李政道用贗勢法得到同樣的結果。他們得到能量修正或者聲速漸進展開的前兩項, 其中最令人驚訝的是著名的平方根修正項，但當時無法得到實驗驗證。出乎他們的預料，50年後，這個修正項隨著冷原子物理學的發展而得到了實驗證實。
1992年，楊振寧被問到“選擇10到20年後變得重要的問題的能力”，他回答：“必須尋找與物理現象或者與物理學基本結構直接相關的課題。”[7]玻色子問題就是他這一方法論的一個很好的例子。
2.3 楊-Baxter方程
1960年代，出於對非對角長程序（off-diagonal long-range order）的興趣，楊振寧尋找具有這種長程序的模型。這個尋找將他引導到量子統計模型的嚴格解，並重燃他對Bethe假定的興趣，於是有了1967年的這項工作。這一年，楊振寧發現1維δ函數排斥勢中的費米子量子多體問題可以轉化為一個矩陣方程，後被稱為楊-Baxter方程（因為1972年Baxter在另一個問題中也發現這個方程）。同一年，楊振寧還寫了一篇於翌年發表的文章，進一步探討了此問題的S矩陣。楊振寧的這個工作打開了兩個領域的大門。一方麵，後來人們發現楊-Baxter方程在數學和物理中都是極重要的方程，與扭結理論、辮子群、Hopf代數乃至弦理論都有密切的關係，因而它成為一個重要領域。另一方麵，楊振寧當年討論的1維費米子問題近年來在冷原子的實驗研究中顯得非常重要，提供了分析許多1維實驗的基礎。而他在文中發明的嵌套Bethe假設方法次年被Lieb和伍法嶽用來解出了1維Hubbard模型。Hubbard模型後來成為高溫超導的很多理論研究的基礎。
2.4 1維δ函數排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴格解
1969年，楊振寧和楊振平將1維δ函數排斥勢中的玻色子問題推進到有限溫度。這是曆史上首次得到的有相互作用的量子統計模型在有限溫度（T>0）的嚴格解。關於這項工作，楊振寧在他1983年的論文選集中評論：“我們得以確立論文66e所依賴的嚴格性現在得到了回報。它使得我們牢牢抓住本問題的量子數I1、I2等等。這樣的理解所導致的安全感使我們能完成下一個跳躍，從而導致有限溫度問題的解決。某種意義上，它形成了起飛的穩固平台。”[4] 最近這個模型及其結果也在冷原子係統中得到實驗實現和驗證。
2.5 超導體磁通量子化的理論解釋
1961年夏，楊振寧訪問斯坦福大學。那裏的Fairbank和Deaver在實驗上發現超導環中磁通量以hc/2e為單位的量子化。楊振寧和Byers給出這一現象的正確理論解釋，證明了電子配對即可導致觀測到的現象，澄清了不需要引入新的關於電磁場的基本原理，並糾正了London和Onsager推理的錯誤。在這個工作中，作者將規範變換技巧運用於凝聚態係統中。相關的物理和方法後來在超導、超流、量子霍爾效應等問題的研究中廣泛應用。
2.6 非對角長程序
1962年，楊振寧提出非對角長程序的概念，從而統一刻畫超流和超導的本質，同時也深入探討了磁通量子化的根源。這是當代凝聚態物理的一個關鍵概念。楊振寧後來指出此文是“我一直所喜愛的文章，雖然意猶未盡。”[4] 1989到1990年，楊振寧在與高溫超導密切相關的Hubbard模型裏找到具有非對角長程序的本征態，並和張首晟發現了它的SO(4)對稱性。
2006年，因為氦3超流的理論工作而與他人分享2003年諾貝爾物理學獎的Leggett出版了一本關於各種量子凝聚的專著[13]，該書的序言包含以下說明：“我從一開始就采納首先由楊振寧闡明的觀點，即應該簡單地考慮在對所有粒子的行為平均之下，單粒子或者粒子對的行為，用術語說，就是單粒子或兩粒子密度矩陣。”
2.7 弱相互作用中宇稱不守恒
如果在楊振寧所有的論文和演講中找出一個主導性的基調，那就是對稱性。對稱性是物理學之美的一個重要體現。2002年在聯合國教科文組織舉行的理論物理大會的最後一個大會報告中，楊振寧指出對稱性是20世紀理論物理的主旋律之一[14]。
楊振寧對粒子物理的諸多貢獻表現出他對對稱性分析的擅長。他往往能準確利用對稱性，用優雅的方法很快得到結果，並且突出本質和巧妙之處。1950年，楊振寧關於π0衰變的論文以及他和Tiomno關於β衰變中相位因子的論文奠定了他在此領域中的領先地位。1956年，θ-τ之謎是粒子物理學中最重要的難題，當時普遍討論宇稱是否可以不守恒。楊振寧和李政道從θ-τ之謎這個具體的物理問題走到一個更普遍的問題，提出“宇稱在強相互作用與電磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也許不守恒”的可能，將弱相互作用主宰的衰變過程獨立出來，然後經具體計算，發現以前並沒有實驗證明在弱相互作用中宇稱是否守恒。他們更指出了好幾類弱相互作用關鍵性實驗，以測試弱相互作用中宇稱是否守恒。吳健雄於1956年夏決定做他們指出的幾類實驗中的一項關於60Co 的β衰變的實驗。次年1月，她領導的實驗組通過該實驗證明在弱相互作用中宇稱確實不守恒，引起全物理學界的大震蕩。因為這項工作，楊振寧和李政道獲得1957年的諾貝爾物理學獎。
回顧曆史，從經典物理以及晶體結構，到量子力學與粒子物理，對稱性分析是物理學中的有力工具。而量子力學的興起使得對稱性在物理學中占據重要地位。它將原子光譜中的量子數l和m解釋為轉動算符的本征值。到了1950年代，幾乎所有的量子數與對稱操作聯係在一起。宇稱與空間反演或鏡麵反射相聯係。因此宇稱守恒有著直覺上的吸引力，被當作自然的、神聖的，而且在實驗上非常有用，特別是在核物理的實驗分析方麵。所以不難理解，在這樣的氣氛下，1956年楊振寧和李政道建議檢驗弱相互作用中宇稱是否守恒的文章受到普遍的異議乃至嘲弄。同樣也不難理解，1957年初吳健雄宣布她的實驗結果後，楊振寧和李政道的這一文章當年即被嘉以諾貝爾獎。這個得獎速度創造了諾貝爾獎整個曆史上的記錄，至今未被打破，前無古人、後無來者。
2.8 時間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對稱性
質疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文預印本引起Oehme於1956年8月致信楊振寧提出弱相互作用中宇稱（P）、電荷共軛（C）、時間反演（T）三個分立對稱性之間的關係的問題。這導致楊振寧、李政道和Oehme發表論文57e，討論P、C、T各自不守恒之間的關係。此文對1964年所有的關於CP不守恒的理論分析有決定性的影響。
2.9 高能中微子實驗的理論探討
1960年，實驗物理學家Schwartz指出如何通過中微子束得到更多弱相互作用的實驗信息。李政道和楊振寧在理論上探討了高能中微子實驗的重要性。這是關於中微子實驗的第一個理論分析，引導出後來許多重要研究工作。
因為中微子束方法和μ中微子的發現而與Ledermann及Schwartz 共同獲得1988年諾貝爾物理學獎的Steinberger在2005年出版的自傳中指出：“這種實驗的物理意義在李和楊的論文中被列表討論，這個文章被證明是預知未來的……當中微子束和探測器越來越有力後,這些過程成為多年深入實驗的課題。”[15]
2.10 CP不守恒的唯象框架
1964年，Christenson、Cronin、Fitch和Turlay的實驗發現了CP不守恒。Cronin和Fitch因此獲得1980年的諾貝爾物理學獎。他們的實驗發現引發了很多理論文章。其中有眾多亂猜其根源的理論文章。楊振寧和吳大峻沒有理會那些脫離實際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中於未來實驗的仔細分析，建立了後來分析此類現象的唯象框架。這反映了楊振寧腳踏實地的作風，也明顯顯示出他受到的Fermi的影響[16]。
Cronin後來在1993年指出：“在1964年的所有這些理論文章中，隻有兩篇今天還被引用。其中之一是吳大峻和楊振寧的題為‘K0和反K0衰變的CP守恒的破壞的唯象分析’的文章。”[7] Cronin還指出這篇文章“在過去的29年中是實驗的指導。”[7]
與上述楊振寧與李政道和Oehme發表的論文一道，楊振寧和吳大峻1964年的這篇文章定義了這個領域使用至今的理論框架和術語。Steinberger在2005年的自傳中回憶，正是吳-楊文章啟發他去測量中性K介子衰變的主要參數[15]。
2.11 楊-Mills規範場論
這是楊振寧最大的貢獻。1954年，楊-Mills規範場論（即非阿貝爾規範場論）發表。在兩篇短文中，楊振寧和Mills將Weyl的阿貝爾規範理論推廣到非阿貝爾規範理論。這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過後來許多學者於1960到1970年代引入的自發對稱破缺與漸進自由的觀念，發展成今天的標準模型。這被普遍認為是20世紀後半葉基礎物理學的總成就，主導了長期以來基礎物理學的研究。
楊振寧和Mills進行這個推廣的動機清晰表達於他們1954年的第一篇短文。那是楊振寧在當年美國物理學會四月會議M會場所作報告的摘要，大概在四月一日之前作為會議摘要投稿。摘要寫道：
“電荷是電磁場的源。這裏的一個重要概念是規範不變性，它緊密相關於(1)電磁場的運動方程，(2)流密度的存在，(3)可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嚐試將這一規範不變性的概念推廣，以用於同位旋守恒。”[17]
因此楊振寧和Mills所做的是將電磁相互作用與阿貝爾規範場之間的緊密關係推廣到一種新的相互作用與非阿貝爾規範場之間的緊密關係。從數學觀點講，是從描述電磁學的阿貝爾規範場論到非阿貝爾規範場論的推廣。而從物理觀點上講，是用此種推廣發展出新的相互作用的基礎規則。也就是說，他們敲開了“對稱支配力量”這一原理的大門。
今天知道，在主宰世界的4種基本相互作用中，弱電相互作用和強相互作用都由楊-Mills理論描述，而描述引力的愛因斯坦的廣義相對論也與楊-Mills理論有類似之處。楊振寧稱此為“對稱支配力量”[4，8，14]。楊-Mills理論是20世紀後半葉偉大的物理成就，楊-Mills方程與Maxwell方程、Einstein方程共同具有極其重要的曆史地位。
楊-Mills理論有“開天辟地”的崇高地位，它的成功是物理學史上的一場革命。但是楊振寧的出發點並不是要搞革命，而是要在複雜的物理現象背後尋找一個原理，建立一個秩序。這種秩序的建立是楊振寧追求物理美的一個主要表現。作為保守的革命者[1]，他引起的革命是不得已而為之，是建設性的，而非破壞性的。但當革命性的思想確實需要時，他又果斷地采納。雖然最初得到楊-Mills規範理論時，規範粒子的質量問題不能解決，但物理直覺、理論的美以及對規範對稱性的重視使得楊振寧相信這個理論一定是正確的一步。
2.12 規範場論的積分形式
楊-Mills理論還把物理與數學的關係推進到一個新的水準。1970年左右，楊振寧致力於研究規範場論的積分形式，發現了不可積相位因子的重要性，從而意識到規範場有深刻的幾何意義。1974年他將這一發現成文發表。幾年後，在評述這篇論文時，楊振寧感懷：
“我的大多數物理同事對數學采取實用主義的態度。也許因為我父親的影響，我對數學有更多的欣賞。我欣賞數學家的價值判斷，我崇尚數學的美和力量：既有戰術操縱上的機智和複雜，也有戰略行動上的激動人心的掃蕩。而且，當然，奇跡中的奇跡，數學中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本結構！”[18]
2.13 規範場論與纖維叢理論的對應
1970年代早期，楊振寧意識到規範場的幾何意義以及規範理論的積分形式實際上是一個幾何的發展，因此他向J. Simons學習纖維叢理論。楊振寧和吳大峻最終意識到物理學家所謂的規範對應於數學家所謂的主坐標叢，而物理學家所謂的勢對應於數學家所謂的主纖維叢上的聯絡。1975年，他們發表了論文75c，用不可積相位因子的概念給出了電磁學以及楊-Mills場論的整體描述，討論了Aharonov-Bohm效應和磁單極問題，揭示了規範場在幾何上對應於纖維叢上的聯絡。這篇文章裏麵有一個“字典”，把物理學中規範場論的基本概念準確地“翻譯”成數學中纖維叢理論的基本概念，包括一個與規範場論中的源相對應的著名的問號。這個字典引起數學界的廣泛興趣，大大促進了數學與物理學以後幾十年的成功合作。
菲爾茲獎獲得者Atiyah寫道：“1977年以後我的興趣轉向規範理論以及幾何與物理的相互作用……1977年的激勵來自兩個源泉。一方麵，Singer告訴我楊-Mills方程，通過楊的影響，它正在向數學圈滲透。”[19]
3
討論
楊振寧是20世紀後半葉理論物理大師，具有極其鮮明獨特的研究風格和品味。無論是場論和粒子物理，還是統計力學與凝聚態物理，楊振寧的研究工作都體現了他對物理學理論的美的追求，一方麵與實驗事實緊密相關，一方麵又注重理論形式的美。這種追求和特征貫穿了他的整個研究生涯。從學生時代直到現在，楊振寧做研究不趕時髦，不隨大流，不落俗套，而是從物理現象和從自己的物理思想出發，作出深刻的發現，展示物理之美。有些工作的重要性因為得到實驗支持很快被承認，最著名的例子是關於弱相互作用中宇稱不守恒的工作；而有些工作的重要性經過很多年以後才被其他物理學家接受，成為相關領域的奠基石，最著名的例子就是楊-Mills規範場論。因為醉心於自己的追求，他會把一時還不能完善或尚未顯示出其重要性的想法放在一邊，等待時機成熟[20]。正所謂“文章千古事，得失寸心知”。
1954年，楊振寧和Mills從物理結構出發提出楊-Mills理論時，雖然知道這是一個極美的理論，但當時並沒有意識到它如此重要，更不了解規範場的幾何意義。楊振寧是物理學家，不是數學家，是從物理現象歸納基本理論，而這些基本理論的結構需要用數學表達。在追尋物理理論的美的過程中，他紮根於物理現實。但他又具有高超的數學能力，能夠欣賞數學之美。
值得注意的是，在楊振寧的13項重要貢獻中，三分之二以上是關於物理現象與代數或幾何的對稱性之間的關係。這表明了在楊振寧的思考中，對稱性占據中心地位。1999年，在石溪（Stony Brook）的一次學術會議上，楊振寧被稱為“對稱之王（Lord of Symmetry）”[21]。
在1980年發表於《今日物理》的一篇文章中，楊振寧提出“對稱支配力量”這一論斷[4]。今天可以清楚地看到： (1) 這個論斷簡潔地抓住了過去半個世紀理論物理主要的概念性進展，(2)這個論斷將繼續為理論物理的進步提供一般性指導。
楊振寧著重追尋“物”之“理”，設計物理學的基本理論結構。但他又深刻地認識到實驗現象是物理學之根本，十分關注新的實驗發現，富有成效地同實驗物理學家互動，對物理學各個領域保持興趣，包括一些看似較“小”但反映了物理學精神的問題，從中提煉出美妙的物理，而對一些研究“大”問題但猜測性太強的領域不感興趣。1970年代後，凝聚態物理的實驗新發現層出不窮，而高能物理的進步則倚賴於加速器的發展，因此他對凝聚態物理和加速器物理這兩個領域特別關注，並鼓勵青年人進入這些領域[3，7，8]。
楊振寧的風格和品味中很多成分出自多年前埋下的“小的種子”（seedling）[20，22]。他對對稱性的愛好與他天生的氣質和幼時的經曆不無關係，又與他本科生階段在吳大猷的引導下對分子光譜對稱性的學習以及在他父親引導下對群論的學習密切相關。而統計力學方麵的研究則起源於他碩士生階段受到的王竹溪的引導。在很多工作中表現出的數學能力和對數學美的欣賞，與他少年時期在其父親的影響下對數學的接觸分不開[8，18，20，22]。受Fermi的影響，楊振寧又對很多領域保持興趣。
科學家在科研上的風格與其作為一個人的個性往往很難分開。從楊振寧身上可以看到中西文化的交融，對社會進步的積極態度，天才與常人的結合，勤奮與智慧的結合，真誠實在，等等。這些都與他的學術風格有相通之處。
正如Dyson所說，“繼愛因斯坦和狄拉克之後，楊振寧教授是20世紀物理學的卓越風格大師。”[1] Dyson還指出：“楊振寧是我這一代物理學家的領頭鳥。”[2]
作者致謝：感謝楊振寧先生的討論並提供黑色立方體的照片。
注：本文綜合本人發表於物理（Vol 43, No.1, 57，2014)與Int. J. Mod. Phys. A （Vol 29, No. 17, 1475001，2014)的兩篇文章，曾發布於作者的科學網博客（2014.10.18）。
參考文獻：
[1] Dyson F. Int. J. Mod. Phys. A, 1999,14: 1455
[2] Dyson F. Notices of AMS, 2009, 56: 212
[3] Goldhaber A, Shrock R, Smith J, StermanG,van Niuwenhuizen P, Weisberger W.(Ed.) Symmetry and Modern Physics. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003.(文章作者: F. Dyson, J. Zinn-Justin, 張首晟, W.Ketterle, G. E. Brown等, M. Veltman, L. Alvarez-Gaumé, 丘成桐, B.Sutherland, A. Tonomura,E. D. Courant, 餘理華, 吳大峻, G.‘tHooft, M. Goldhaber, G. Sterman)
[4] Yang C N. Selected Papers 1945—1980with Commentary. W. H. Freeman and Company Publishers, 1983; 2005 Edition, WorldScientificPublishing Co. Pte. Ltd., 2005
[5] Yang C N. Selected Papers ⅡwithCommentary.World Scientific Publishing Co. Pte.Ltd., 2013
[6] 楊振寧著作目錄. 見http://www.phy.cuhk.edu.hk/people/Yang_pub_list.pdf
[7] Liu C S, Yau ST. (Ed.). Chen Ning Yang:A Great Physicist of the Twentieth Century. International Press, 1997 (文章作者: 沈君山, R. J. Baxter, G. E. Brown, A. H.Chamseddine和J. Frölich, 趙午, 喬玲麗, 鄭洪, 鄭國順, 陳省身, 鄒祖德, 朱經武, J. W.Cronin, B. S. Deaver Jr, M. Dresden, F. Dyson, D. Gross, 黃克孫, M. Jimbo, 高錕, 李炳安和鄧越凡, R. Mills, 聶華桐, J. Smoller, A. G.Wasserman, 丘成桐, B. Sutherland, E. Teller, 丁肇中, J. S. Toll, A. Tonomura, P. van Niewenhuizen, E. Witten, 吳健雄, 吳大峻, 顏東茂, 張奠宙)
[8] 張奠宙(編). 楊振寧文集. 上海: 華東師範大學出版社, 1998 (除楊振寧的文章外, 該文集也收入一些參考文獻[7]中的文章的中文版以及楊振平、楊振漢、楊振玉、聶華桐等人對楊振寧的描述)
[9] 楊振寧的生日是10月1日。楊綱凱發現，1954年楊振寧和Mills提出楊-Mills場論的論文(論文序號54c)和1956年楊振寧和李政道質疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文(論文序號56h)都發表於楊的生日(Young K. In: H. T. Nieh (Ed),Proc. Int.Sym. Frontiers of Science in Celebration of 80th Birthday of C. N.Yang. World Scientific, 2003. 522)。筆者發現，楊振寧另外還有6篇論文發表於他的生日：1948年關於核反應產生粒子的角分布的論文，即楊的博士論文的內容(論文序號48a)、 1960年和李政道合作的1篇關於玻色氣的論文(論文序號60a)、1962年關於非對角長程序的論文(論文序號62j)、與鄒祖德及趙午分別合作的3篇關於高能碰撞的論文(論文序號71c、74b、85c)。因此楊振寧共有8篇論文發表於他的生日。
[10] 1958年,蘇聯物理學家朗道50歲時收到的一個生日禮物是兩塊大理石板, 上麵模仿摩西十誡 (Ten Commandments) 刻著朗道的10項貢獻. 參閱 Kikoin I K. Landau’s tencommandments.In:Khalatnikov I M.(Ed.). Sykes J B. (Trans.). Landau, thePhysicist and the Man: Recollections of L.D. Landau.Pergamon Press,1989. 284. 可以用“楊振寧十三誡”與“朗道十誡”相對應. 但是“誡”字在語義上並不恰當.
[11] Mayor J. J.Chem. Phys., 1937, 5: 67
[12] Born M, Fuchs K. Proc. R. Soc.(London) A, 1938, 166:391
[13] Leggett A J.Quantum Liquids. OxfordUniversity Press, 2006.
[14] Yang C N. Int. J. Mod. Phys. A, 2003,18: 3263;已收入參考文獻[5]中
[15] Steinberger J. Learning aboutParticles – 50 Privileged Years. Springer, 2005
[16] Pais A. Inward Bound.Oxford UniversityPress, 1986.533
[17] Yang C N. Phys. Rev., 1954, 95: 631; 參考文獻[4]第171頁. 筆者翻譯
[18] Yang C N. 參考文獻[4]第74頁, 筆者翻譯
[19] Atiyah M. Collected Works: Volume 5:Gauge Theories. Oxford University Press, 1988.1
[20] 楊振寧. 物理, 2012, 41 (1): 1
[21] Jarlskog C. Speech at Chen Ning YangRetirement Symposium, 21-22 May 1999, 未發表.
[22] 施鬱,戴越. 物理,2011, 40 (8): 491
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