【教學目的】使學生了解一個隨機事件的發生既有隨機性，又在大量重複試驗中存在著一種
客觀規律性——頻率的穩定性，以引出隨機事件概率的意義和計算方法。
【教學重點和難點】深刻理解隨機事件在試驗中發生的可能性大小的刻劃方法，是用客觀存
在著的一個小於 1 的正數來表示。
【教學過程】
一、前言
從這節開始，大約用 12課時來學習一個新的數學分支——“概率論”初步。 “概率論”
是研究隨機現象規律性的科學，隨著現代科學技術的發展，“概率論”在自然科學、社會科
學和工農業生產中得到了越來越廣泛的應用。在現實世界中，隨機現象是廣泛存在的，而“概
率論”正是一門從數量這一側麵研究隨機現象規律性的數學學科。學習這一章之後對有些事
件的發生或不發生或發生的可能性是百分之幾有個估計和推算。這對是否能完成某一任務有
一定的了解。從而增強在工作中的主動性，減少在工作中的盲目性，使工作能達到預想的最
好結果。
二、新課引入
在實際生活中，往往在完全相同的綜合條件下出現的結果是不相同的。為了敘述的方
便，我們把條件每實現一次，叫做進行一次試驗，試驗的結果中所發生的現象叫做事件。由
於在一定的條件下某些結果是一定發生或一定不發生或可發生也可不發生，所以事件被分為
必然事件、不可能事件和隨機事件三種。
這節課要通過幾個實例說明現實生活中確實存在著以上三種事件；這節課還要通過實
例說明一個隨機事件的發生是存在著統計規律性的，一個隨機事件發生的頻率總是在某個常
數附近擺。我們給這個常數取一個名字，叫做這個隨機事件的概率。它從數量上反映了這個
事件發生的可能性的大小。
三、進行新課
1.事件：在一定的條件下所出現的某種結果叫做事件。
事件共分三種：必然事件記作 U（在一定的條件下必然要發生的事件），不可能事件記
作 V（在一定的條件下不可能發生的事件）、隨機事件記作 A、B等（在一定的條件下可能發
生也可能不發生的事件）。
2.隨機事件在一次試驗中是否發生不能事先確定，但是在大量重複試驗的情況下，它
的發生具有一定的規律性，或稱隨機事件頻率的穩定性，現在引出概率的統計定義：在 n
次重複進行同一試驗時，事件 A 發生的次數為 m 次，則稱事件 A 發生的頻率 m/n 為事件 A
的概率，記作 P（A）。
由於隨機事件 A 在各次試驗中可能發生，也可能不發生，所以它在 n 次試驗中發生的
次數（稱為頻數）m 可能等於 0（n 次試驗中 A 一次也不發生），可能等於 1（n 次試驗中 A
隻發生一次），……也可能等於 n（n 次試驗中 A每次都發生）。我們說，事件 A 在 n次試驗
中發生的頻數 m 是一個隨機變量，它可能取得 0、1、2、…、n 這 n+1 個數中的任一個值。
於是，隨機事件 A 的頻率 P（A）=m/n 也是一個隨機變量，它可能取得的值介於 0 與 1之間，
即 0≤P（A）≤1。特別，必然事件的概率為 1，即 P（U）=1；不可能事件的概率為0，即 P
（V）=0。這裏說明隨機事件的頻率究竟取得什麽值具有隨機性。然而，經驗表明，當試驗
重複多次時隨機事件的頻率又具有穩定性。除教材中拋擲錢幣的實驗結果外，這裏我們再舉
一個例子。
例 1、擲一枚骰子，“點數不超過 6”是一個
事件
2、擲一枚骰子，“點數為 8”是一個
事件
3、擲一枚骰子，“點數為 3”是一個
事件
4、指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件：
（1）如果 a，b 都是實數，那麽 a•b=b•a。
（2）八月的北京氣溫在攝氏零下 4℃。
（3）校對印刷廠送來的清樣，每一萬字中有錯、漏字 10 個。
3.利用概率的統計定義，在計算每一個隨機事件概率時都要通過大量重複的試驗，列
出一個表格，從表格中找到某事件出現頻率的近似值作為所求概率。這從某種意義上說是很
第 2 頁 繁瑣的。在下一節中介紹第二種求隨機事件概率的方法。
四、練習
練習題
某籃球運動員在最近的幾場大賽中罰球投籃的結果如下：
期望值
開放分類： 經濟學、人文科學、項目評估理論與方法、不確定性分析
在概率和統計學中，一個隨機變量的期望值（或期待值）是變量的輸出值乘以其機率的總和，換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變量的輸出值集合裏。
例如，美國賭場中經常用的輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的幾率都是相等的。賭注一般壓在其中某一個數字上，如果輪盤的輸出值和這個數字相等，那麽下賭者可以將相當於賭注35倍的獎金和原賭注拿回（總共是原賭注的36倍），若輸出值和下壓數字不同，則賭注就輸掉了。因此，如果賭注是1美元的話，這場賭博的期望值是：( -1 × 37/38 ) + ( 35 × 1/38 ), 結果是 -0.0526。也就是說，平均起來每賭一次就會輸掉5美分。
數學定義
如果X是在機率空間(Ω, P)中的一個隨機變量，那麽它的期望值 E(X) 的定義是：
E(X)=∫ΩXdp
並不是每一個隨機變量都有期望值的，因為有的時候這個積分不存在。如果兩個隨機變量的分布相同，則它們的期望值也相同。
如果 X 是一個離散的隨機變量，輸出值為 x1, x2, ...， 和輸出值相應的機率為p1, p2, ... （機率和為1）, 那麽期望值 E(X) 是一個無限數列的和。
上麵賭博的例子就是用這種方法求出期望值的。
如果X的機率分布存在一個相應的機率密度函數 f(x)，那幺 X 的期望值可以計算為：
這種算法是針對於連續的隨機變量的，與離散隨機變量的期望值的算法同出一轍，由於輸出值是連續的，所以把求和改成了積分。
特性
期望值 E 是一個線形函數
X 和 Y 為在同一機率空間的兩個隨機變量，a 和 b 為任意實數。
一般的說，一個隨機變量的函數的期望值並不等於這個隨機變量的期望值的函數。
在一般情況下，兩個隨機變量的積的期望值不等於這兩個隨機變量的期望值的積。特殊情況是當這兩個隨機變量是相互獨立的時候（也就是說一個隨機變量的輸出不會影響另一個隨機變量的輸出）。
期望值的運用
在統計學中，當估算一個變量的期望值時，一個經常用到的方法是重複測量此變量的值，然後用所得數據的平均值來作為此變量的期望值的估計。
在概率分布中，期望值和方差或標準差是一種分布的重要特征。
在經典力學中，物體重心的算法與期望值的算法十分近似。
對一隨機現象, 我們常想粗略地知道其值究竟多大? 期望值(expecation, 或稱expected
value, mean), 就是常被拿來扮演這種以一單一的值, 來代表一隨機現象中之變數大小的角色。
設 為一離散型的隨機變數, 且可能取值為 , 則 之期望值定義為
,
其中 表隨機變數 取值在 之機率值, 對 。
例如, 投擲一公正的骰子, 也就是1,2,3,4,5,6每個麵出現的機率皆為1/6, 令隨機變數 表
所出現之點數, 則 =1/6, , 因此 之期望值為
。
對一隨機變數而言,因無法掌握隨機的量之大小, 我們才想要有一代表值, 而期望值就是常被拿來
當做隨機變數之代表值, 期望值像是隨機變數分佈的一核心, 隨機變數的可能值, 散佈在期望值的
左右。其他亦常被拿來當做隨機變數之代表值的尚有中位數(median)及眾數(mode)。目前我們隻討論
期望值。
生活中的實例1
某商人在夜市擺一種遊戲, 袋中有紅球5個, 白球3個, 藍球2個, 抽獎者自袋中抽出一球, 若抽中
紅球可得10元, 抽中白球可得100元, 抽中藍球可得200元, 試問抽獎者可獲獎金的期望值。
[解]: 令隨機變數 =抽獎者獲得的獎金, 所以取值為10,100,200。則
:表抽中紅球的事件之機率=5/10=0.5,
:表抽中白球的事件之機率=3/10=0.3,
:表抽中黑球的事件之機率=2/10=0.2,
因此 之期望值為
,
所以抽獎者可獲得獎金的期望值為75元
隨堂練習1
投擲一公正的骰子一次, 若出現點數為偶數, 則可獲得與點數相同的錢數, 若出現點數為
奇數, 須賠與點數相同的錢數, 試求可獲得錢數的期望值。
[解]: 0.5元
生活中的實例2
甲、乙二人玩一遊戲, 由甲先付給乙10元, 然後自一袋裝有2白球及3黑球之袋中抽取一球, 若
取出白球, 則乙付給甲25元, 否則乙不付給甲任何錢。試求甲所淨得的錢之期望值。
[解]: 因抽出一球, 不是白球就是黑球, 所以樣本空間
={白球, 黑球}。
當甲抽出白球時, 甲自乙那邊獲得25元, 扣去原先給乙的10元, 則甲淨得15元;
當甲抽出黑球時, 甲自乙那邊獲得0元, 扣去原先給乙的10元, 則甲淨得-10元(即虧10元)。
令隨機變數 =甲所淨得的錢。 則 取值為15, -10 , 則
: 表甲抽出白球事件之機率=2/5=0.4,
:表甲抽出黑球事件之機率=3/5=0.6,
因此 之期望值為
所以甲所淨得的錢之期望值為0, 表示此遊戲對甲乙雙方均是公平的遊戲。
隨堂練習2
承上例, 若把袋中的球換成4個白球與1個黑球, 試求甲所淨得的錢之期望值。
[解]: 10元。
生活中的實例3
有五個選項的單選題, 每題答對給8分, 則答錯應倒扣幾分才公平。
[解]: 令隨機變數 =所得之分數, 並設答錯得 分(即倒扣 分), 則
: 表答對的事件之機率=1/5=0.2,
: 表答錯的事件之機率=4/5=0.8,
因此, 之期望值要等於0, 才合理, 所以
可得 , 所以要倒扣2分才合理。
