阿裏數學競賽橢球問題係1948年的John Ellipsoid 的一個特例，可用幾何仿射變換的一些套路 ：）

繼續上回說到的：

https://bbs.wenxuecity.com/znjy/6897286.html

 

John Ellipsoid ：

https://en.wikipedia.org/wiki/John_ellipsoid?

 

John Ellipsoid 是說一般凸多麵體存在有一個（最小）包含橢球，和一個（最大）內充橢球，和這兩個橢球的比例關係。需要用到幾何仿射變換的一些套路來證明。這些數學是在AI 機器人方麵有實際應用的算法的。

這個套路實際上經常出現在高端數學競賽中，但一般多是涉及平麵幾何中的橢圓問題。幾何仿射變換下麵積的比例等，保持不變。 https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation

高端數學競賽中幾何仿射變換

https://www.math.cmu.edu/~ctj/Articles/affine-transformations.pdf

 

阿裏這個橢球題套路可以如下這樣的。根據專業數學家們的一些文獻的理解 直觀初等簡化，並非原創。專業數學家的證明是很嚴格在N 維空間上R集合搞來搞去的蠻抽象的。但其實質的套路就是大概如下。

1. 任何中心對稱的凸多麵體都可以由同麵數的中心對稱的正凸多麵體變換而得

任何中心對稱的凸多麵 《==》中心對稱正凸多麵體

2. 正方體（正6麵體）或更多的，任何中心對稱正多麵體 都有一個外接球半徑=R（頂點都在球麵上）和一個內切球半徑=r。注意“中心對稱” 排除了 正四麵體等非中心對稱的正凸形。所以正方體是被考慮的最少麵數的正多麵體。

3. 考察 比例 R/r ，即外接球和內切球的比例。很明顯麵數越多，內切球越接近外接球。正方體時，差別最大，R/r 是最大值sqrt(3)，R/r <=sqrt(3)。因而所有外接球的麵積/內切球麵積<=3 。但是正多麵體是包含內切球的，正多麵體麵積>內切球麵積，所以有，3X正多麵體麵積>外接球的麵積。 （ 也可以設r=1 為單位圓，R 由 sqrt(3) 隨麵數增多而遞減少，無窮數麵時 趨近 1 ） 

4. 通過反向仿射變換，

中心對稱正凸多麵體=>任何中心對稱的凸多麵

外接球變為=>外接橢球，內切球變為=>內切橢球。而且3X多麵體麵積>外接橢球的麵積。幾何仿射變換下麵積的比例等，保持不變。

 

另外，2維平麵上中心對稱凸多變形外接橢圓和內切橢圓的比例<=sqrt(2). 一般N維空間的結果是sqrt(N) - 專業數學家們的一些文獻結果

 

 

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• 能算出nvda啥時候賣最好嗎？ -avw- ♀ (0 bytes) () 06/18/2024 postreply 19:01:01

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