請教H1B-goverment agency和gap

我今年5月畢業，OPT6月生效，明年6月過期。文科專業，很難找工作，最近終於找到一個跟自己背景很match的工作，開始工作兩個星期了。但是現在我有兩個很嚴重的問題，很焦慮，所以來請教大家：
1。單位是government agency，不是完全的政府機關，但是一部分接受政府的fund，享受一些政府的待遇。以前他們沒招過外國人，所以當時他們問我的時候說assume我是有綠卡的，我當時說沒有綠卡，但是目前有工作許可（OPT）。我沒有直接說要H1B sponsorship，而是委婉地說要renew我的工作許可，但是我會去找律師來take care，公司隻需要出示一些文件。公司就說隻要我努力去辦就好了。現在我擔心的是，這種單位是不是根本就不sponsor H1B呢？哪兒可以查到麽？
2。OPT跟H1B生效期間，我會有3個多月的gap。我打算轉成H4，我跟雇主說過，可能明年有3個多月需要quit，從payroll係統裏麵徹底除掉，他們說希望不要把我terminate，但是也沒有說很具體。這個是不是唯一的辦法呢？
我問過一次律師，但是因為現在還沒開始交錢辦理，所以也沒有得到太詳細的答複，所以想看看大家有沒有什麽經驗。