（三） 費馬-----黃裳
金庸先生的《射雕英雄傳》中，當時江湖五絕，南帝北丐、東邪西毒、中神通數次華山論劍，爭奪的就是一本名喚《九陰真經》的武林秘籍。此書得天下武學之精髓，習練者可立於不敗之身。而此秘籍的作者，便是黃裳。
此人雖然自身修為極其了得，然而他卻不是科班出身的大俠。原來當年宋徽宗政和年間，命普搜天下道家之書，作為合集雕刻出版。此時黃裳本一文官，被委派此任 務之後，整天擔心稍有紕漏即遭殺頭之罪，因而一直逐字逐句的研讀。進而悟得天下道學，以及武功中的高深道理。成為一個業餘出身，專業水準的高手。
皮埃爾.費馬(Pierre de Fermat, 1601－1665)就是數學江湖中的黃裳。他是整個數學史上最重要的業餘愛好者，沒有之一。在還未發生知識大爆炸之前的近代數學中，他至少對其中四個方 麵有著偉大的貢獻-----要知道，這就意味著他的工作幾乎涵蓋了當時數學的一切。如果把牛頓算作18世紀的數學家----他一生有三分之一的時間生活在 18世紀，那麽，盡管我們前麵見證了笛卡爾的偉大，我們還是要把【17世紀最偉大的數學家】這一桂冠，賜予費馬。
另一種說法是，作為一個【純數學家】，費馬將至少與牛頓相當。當然這是富有爭議的結論，然而可以與牛頓並駕齊驅的引起人們的爭執，這在科學史上也隻有約莫一打人有這樣的資格。
費馬的傑出還不盡於此。跟黃裳一樣，他也留下了一樣東西，一樣讓整個江湖為之奮鬥、為之爭論、為之拚搏的東西。這是一個數學命題，通常稱為【費馬大定理】 或者【費馬最後定理】(Fermat’s Last Theorem)。顯然，在定理前的那些形容詞，就能很好的說明這個命題所帶來的一切了。從來沒有其他數學命題被稱為“大的”，或者是“最後 的”-----人們一定潛意識中認為這是最後一個沒有得到證明的命題了。
費馬大定理或許不是世界上最難的難題，但絕對是世界上最有意義的難題之一。它具有小學生都能理解的形式與美，卻關係到一個極其普遍的性質，同時又具有火星 般的難度。希爾伯特曾說：“這是一隻下金蛋的母雞。”------意即在試圖證明費馬大定理的過程中，產生出來的那些新思想、新理論、新方法都是極其有意 義的。
這個定理牽涉到的故事，橫跨三個多世紀，其中包含了巨額獎金、絕望自殺、與世隔絕、爭吵補救等等一切八卦、故事、小說等所需要的一切猛料要素。某種意義上 說，就像《九陰真經》已經脫離黃裳，而作為江湖中的傳說而獨自存在一樣，費馬大定理被視為對人類智能的一種挑戰，已經脫離費馬，獨自構成了自己傳奇的篇 章。
關於它的整個故事，需要另一本書專門闡述才能淋漓盡致。因此我會在後來敘及費馬在數論領域的貢獻時，盡量簡要的介紹一些，除此之外，我們還是把目光轉回到費馬，以及他其他同樣偉大的工作上。
費馬1601年8月出生在法國的一個貴族家庭，靠近圖盧茲-----一個非常寧靜美麗的城市。他名字中的【de】即表明他是當時的【穿袍貴族】 (l’aristocratie de robe)，而這種頭銜大多是靠資產買來的，可以世襲並且不用交稅賦，這表明他家境的富裕。
然而，這也注定費馬要從事貴族的職業，履行所謂貴族的義務(Noblesse Oblige)。於是，從圖盧茲大學畢業後，費馬就成為了一個地方行政官員----相當於我們所說的公務員----過著四平八穩的生活，避開所有無意的爭執，一直到去世，都是這樣。
關於費馬學生時代的記錄非常少，因此我們並不知道他有沒有特殊的才能在學習中表現出來。但根據他之後取得的成就來看，費馬應當是十分出眾的。他的拉丁文、法文、西班牙文都是大師級的，他對其他歐洲大陸的語言也有著非凡的造詣，這可以從他之後的通信中看出來。
人文方麵，他對希臘和拉丁哲學進行了幾處重要的修正，他甚至能用好幾種語言寫出精美的詩。並且，他對文學作品的評析，也顯示了他熟練的文字技巧和精湛卓越的鑒賞能力。
如果說笛卡爾一生都在追求安寧，那麽費馬則是一生都在享受安寧。他連升遷也是慢條斯理，按部就班。他在1631年6月1日結了婚，17年後由接待官升為了 圖盧茲地方議會的議員，然後再在此職位上幹了17年，直到去世的那一天。他為官非常和善清廉，很受當地群眾歡迎，隻不過政績平平。然而，我們有充分的理由 相信，費馬一定是把他的才能都用到另一個領域了，議員對他來說，無非隻是一個頭銜而已。他也並不排斥自己的工作，在他看來，自己隻是一個沉迷在自己業餘愛 好中的普通官員。
我們要感謝上帝賜予的幸運，讓笛卡爾在戰鬥中活了下來；同時也要感謝他的公正，讓費馬有機會把他的天才留給數學。費馬作為一個平庸的行政官員，一直工作到1665年1月12日。當時，他還在處理卡特雷城的一件案子。兩天之後，他就在這座小城裏平靜的去世了。
雖然這個誠實、和氣、謹慎、正直的人一生沒有什麽波瀾，但他卻有著數學史上最美好的故事之一。
在我準備正式介紹費馬的工作時，我發現我還是漏了一些他的閑聞軼事----幸而還不算太多。其中比較搞笑的是，1652年費馬其實“死”過一次。這並不是什麽由死複生的神話，而是一個醫學奇跡加上一個糊塗的朋友所主演的一場喜劇。
彼時正是黑死病肆虐的時期，沒錯，就是電影《夜訪吸血鬼》中那場令人毛骨悚然的瘟疫。無數人在非常痛苦的情形下死去，渾身布滿黑斑----這就是俗稱的“鼠疫”。費馬很不幸也染上了這種致命的疾病，並且奄奄一息了。
於是他的一位朋友伯納德.梅當（Bernard Medon）對外宣布費馬已經死了。但費馬在當初的醫療條件下，居然又神奇的康複了過來。於是他這位性急的朋友隻好重新發過一份公告來糾正之前的失誤：” 很抱歉我前段時間曾通知您費馬逝世。他仍然活著，我們不再擔心他的健康。瘟疫已經不在我們中肆虐了。”
這一定是神之幹預。大概上帝也還想看到費馬的數學，所以他留下了我們的天才。從那之後，費馬更是低調。其實他之所以能做出那麽多工作，與他的工作也還是有 關係的。當時，國家要求所有地方的議員避開一切黨團的混戰和不必要的應酬，以避免在履行職責時受賄而墮落。話說這正類似於我們現在的【反腐倡廉】，費馬就 這樣得到了大把的空閑時間。
那時，整個法國做科學研究尤其是純理論研究的一項特點是盡量保密、拒絕交流。這是與現今完全相反的狀況。但他們是有理由的。首先17世紀的數學在社會上還 遠遠沒有如今的地位，絕大部分數學家----哪怕是職業數學家----都要為自己的經費，乃至生活費而奔忙。話說這跟國內現在的狀況也比較相象。在這種大 背景下，成果成了數學家自己用來交換生活質量的一種貨物，成了不能輕易示人的獨門手藝。
另一方麵，16世紀之前，絕大數學家前身都是Cossists。這是一種職業的名稱，受雇於商人和實業家，用來解決一些複雜的會計問題，相當於現在的精算 師。因此，數學和某些解題的方法就成了民間秘方一樣，不僅僅是他們謀生的手段，也給他們帶來獨一無二的聲譽。一般情況下，保密自己的成果已經是當時行業裏 不成文的規矩，一旦遭到破壞，往往帶來劇烈的爭吵甚至敵對。
一個顯著的例子就是關於卡爾達諾（Girolamo Cardano）的禁書《大衍術》(Ars Magna)。這本書主要描述了一些虛妄飄渺的煉金術和不著邊際的儀式，但也第一次引入了虛數的概念和討論了一些博弈的問題。在此之外，他還披露了一個可 以迅速求解3次方程的方法-----而這是他十年前從一個朋友塔爾塔利亞(Niccolo Tartaglia)那裏獲得的。結果，後者勃然大怒，斷絕了與卡爾達諾的所有關係，並掀起了非常激烈的爭吵。
總之，這樣的例子隻是讓當時的數學家們更加的守口如瓶。這時，還好有一個人改變了這一切。這個人在笛卡爾那章有過短暫的出場---所以可見每個龍套都不可以忽視，都有自己的貢獻與故事----這個小角色就是掌握笛卡爾在荷蘭行蹤的神父，梅森。
梅森作為一個數學愛好者，對數論有過一丁點兒貢獻；但作為一個規則破壞者，他對數學卻有著很大的貢獻。而且後來的種種情形顯示，梅森不遵守這種保密性，確實沒有任何私心。他數學上的才能也許很普通，然而其人格高貴並不遜於任何的大數學家。
由於梅森的神父身份，所以他和很多當時的大數學家都有頻繁的書信聯係----那個時候宗教就是高於一切的力量。他自己同時也研究數論，並向其他的修士和修 女講課。但當梅森在巴黎主持一個米尼姆修道會時，他看到那些與會的數學家們對自己的成果，總是吞吞吐吐，遮遮掩掩，仿佛一個青澀的姑娘。他感到很悲哀，並 下定決心要打破這種阻礙科學的堅冰。
他開始鼓勵數學家們交流自己的思想，促進互相的工作。同時，他定期安排會議----這個小組後來成了法蘭西學院的核心和前身-----而當有人因故缺席 時，他就會把此人的信件、或者是文章，公諸於眾，讓他的成果得以被小組所熟知，這樣其他人就可以從這裏繼續前進，去研究更深一步的問題。
雖然這種行為在我們現在看來非常理性的，然而在當時，尤其是一個穿修道袍的人神父，這樣做並不符合其職業道德。後來，笛卡爾便因此和梅森鬧翻了。但在笛卡爾遭到教廷的質疑時，梅森依然為他而辯護。
閑話休表，言歸正傳。當時費馬也與梅森神父保持著頻繁的書信聯係，但費馬的低調在整個數學史上都是最顯著的。他無論如何也不願意公開出版自己的任何成果和 發現，這可能是一種貴族的固執。同時也因為，公開發表和被人們承認對費馬來說毫無意義，他已經是一個成功的社會人士。
數學對他來說，尤其那些沒有被別人發現的美妙定理對他來說，是一生中重要的愉悅的來源，他可以在自己的時間裏做做數學就已經很滿足了。
雖然這種對數學的單純的追求和熱愛，如今依然值得我們提倡。但費馬確實沒有意識到，如果有用的數學研究和成果沒有被及時發表，那麽損失的，將不僅僅是個人的榮譽，而會拖慢整個時代數學前進的步伐。
但在梅森神父的組織下，費馬開始與其他人數學家通信了。這導致了兩個後果。一是好幾個人和他鬧僵了----並不是出於他的態度，費馬一直是一個謙謙有禮、 平和冷靜的紳士----而是費馬那種類似於【挑逗】的意味。而這也是他最大的一個特點。他總是喜歡敘述他最新的定理，但是不給出證明。我隻能說，這也許就 是費馬給他平淡的生活帶來的【天才惡作劇】吧。
他這種把解答藏起來的習慣，惹惱了不少同行，也引誘這無數的後來人，就是單憑著好奇心，也要去尋找他的證明。這其中就包括費馬大定理。而被挑逗到發飆的大 人物中，就有我們的軍人，笛卡爾。事實上，笛卡爾和費馬不止爭論過一次，而是好幾次。但後來的事實證明，費馬幾乎每次都是對的。我們的律師用沉著冷靜打敗 了急躁易怒的將軍。
笛卡爾有一次氣急敗壞的說：“費馬是個加斯科尼人，可我不是。”言下之意就是費馬無非是個“吹牛者”。雖然如此，費馬這種習慣對自己而言，還是有一定好處 的。這樣他就無需去再花上大量時間，來完善自己的解法，反而能更迅速的投入到下一個問題的思考。另一方麵，由於證明一旦公布，任何人都可以對其進行仔細的 研究和探討，那麽將其隱匿就意味著，無需承受那些出於嫉妒而挑刺的折磨。
雖然如此，費馬與其他人的通信依然帶來了好的成果-----他與帕斯卡的通信，讓兩人共同創立了【概率論】這門學科的理論基礎。而且，就費馬去世後出版的記錄來看，他完全有能力單獨完成這一工作。
然而，既然說到了帕斯卡，我們有必要略窺一下17世紀這個早逝的天才。他的一生，論傳奇性，絕對不遜於笛卡爾與費馬。
他在數學上的貢獻，不如笛卡爾和費馬這兩個同時代人。然而這是由於，他的驚人天賦並沒有完全用在數學領域上。我們不能說這是一種浪費，他也確實在實驗科 學、文學、神學宗教等方麵都做出了第一流的工作。然而若帕斯卡能夠保持他對數學的激情，和自己的身體健康久一些的話，我們的數學也許要前進好幾年。
而他的生活，則絕對是好萊塢大片。裏麵有天才、美女、酗酒、爭執（又是與笛卡爾，看來丫和同行關係不好）、宗教狂熱、英年早逝甚至有【兄妹亂/倫】。直至如今，帕斯卡也依舊是某些弗洛伊德主義者的研究對象。
帕斯卡(Blaise Pascal)，1623年6月19日出生於法國中南部的克萊蒙費朗(Clermont-Ferrand)。這個小城是中南部奧佛涅(Auvergne)的省府，很多建築由黑褐色Volvic火山岩建成，別有一番風味。
如果說笛卡爾和費馬這兩個法國同胞，人們對他們早期知道的並不多，而認為他們青少年時並沒有展現自己異於常人的才能，那麽帕斯卡就是數學史上確切記載的，第一個早慧型天才----就是我們現在所說的【神童】。
但同時，帕斯卡也是【數學天才總是容易早逝】這個說法的由來。他一共隻活了39年，不過後來大量的事實證明，這個論斷絕對是錯誤的。
帕斯卡童年的大部分軼事能流傳至今，得益於他那兩個寵愛他的姐妹，吉爾伯特(Gilberter)和雅克麗娜(Jacqueline)的大肆宣揚---- 其中後麵那個後來還與他有扯不清的曖昧關係。當然，帕斯卡完全值得這樣的宣揚，他的才智----如果我們客觀的評價----超過笛卡爾，甚至也許超過費 馬，然而他隻在一生中的前25年對科學保持了興趣---雖然概率論的創立發生在他31歲，然而那時他已經早就不把科學放在第一位了----而且還不是全力 以赴。
帕斯卡的父親是個艾帝納(Etienne Pascal)是克萊蒙主管稅收案件的最高法院院長，也是當時法國小有名氣的數學家和拉丁語學者。帕斯卡的母親安托瓦妮特(Antoinette Begone)在帕斯卡不到4歲就因病去世了。1631年，艾帝納全家遷徙到巴黎，並開始與法國其他科學家通信，其中包括大帕斯卡27歲的笛卡爾，射影幾 何的主要創立者之一德薩格(Girard Desargues)等等，後來這兩位與帕斯卡也都有交流。
一開始的時候，帕斯卡老爸並不希望他過早的接觸數學。大概是覺得未成年的孩子，如果一旦癡迷在數學中，則很容易用腦過多而傷害到他們的身體----可悲的 是，這個結論對帕斯卡來說，今後竟如魔咒般成為事實-----不過如同我前麵所說，帕斯卡這種人，是被數學所召喚，注定要研究數學，並成為一個偉大的數學 家的。
在很輕鬆的就掌握了古典文學之後，大約在帕斯卡12歲的時候，他的好奇心終於導致他做出了逆反的舉動。他纏著他老爸，無論如何也要知道，到底什麽是幾何？ 那時笛卡爾的成果還沒有廣泛傳播，於是幾何也就幾乎等於歐幾裏德的古典幾何。他爸抗不住孩子的熱忱，非常清晰的給帕斯卡上了一課。
然後，帕斯卡就完全著迷了。並且，他的傳說也就開始了。他僅僅聽了老爸的講述後，就完全依靠自己的創造力，沒有任何書本的提示，就證明了【三角形內角和等於兩個直角】。任何一個學過數學的人，都知道這樣的表現意味著什麽，何況是艾帝納那樣有數學涵養的專家。
他哭了，並且立馬意識到自己的兒子是個天生的數學家。接下來，《幾何原本》成了帕斯卡的第二本聖經。他時時刻刻都捧著它，以非常快的速度就完全掌握了裏麵 所有的內容。到14歲的時候，他已經被允許參加梅森神父----如果你們還記得他，就是那個科學隱私的破壞者----的討論小組。這是法蘭西科學院的開 端，所以相當於，帕斯卡曾是科學院所擁有的最年輕的會員。
想象一下如果是現代，14歲左右的孩子在幹什麽？打鬧，玩耍，看電視卡通，聽流行音樂。帕斯卡呢？他玩幾何，是的，幾何對他來說，從來就不是任務或者家庭作業，而是一種娛樂。
在精通了古典幾何之後，帕斯卡開始研究他最喜歡的【圓錐曲線】。大約2年後，他就做出了偉大的成果。這是整個幾何領域最美妙的一個定理，並且任何人都可以輕鬆理解，即現在被命名為的“帕斯卡定理”。
我們可以簡要的敘述一下這個定理。在這之前，我們先看看什麽是圓錐曲線。這樣想象，一個圓錐通過其頂點向兩方無限延伸，然後，用一個平麵去截這個圓錐，那 麽平麵在錐麵上截出的曲線，就叫【圓錐曲線】。它包含五種可能：1.圓 2.橢圓 3.雙曲線 4.拋物線 5.兩條相交的直線。
然後，我們的帕斯卡定理是說：任意一條圓錐曲線，比方說，一個圓，在它的邊上，任意標出6點ABCDEF。然後按次序把它們連起來，那麽我們就得到了一個 內接於圓的六邊形。然後選擇任意【三對】相對的邊，比方說，AB與DE,BC和EF,CD和FA是相對的邊。然後我們延長AB與DE,使它們相交於一點， 比方說A’；同樣的，我們使BC與EF相交於B’；CD與FA相交於C’。
那麽，帕斯卡的結論是，A’,B’,C’三點在一條直線上，即這三點共線。了解上述解釋之後，現在我們可以用一句話來概括這個定理了：“圓錐曲線內接六邊形的三雙對邊(所在直線)的交點共線。”
先不說這個定理如今的難度，但是它那奇妙的性質，首先它要求很少的條件。圓錐曲線，和曲線上的點，都是可以任意取的。然後共線也是幾何中最美妙的性質之 一。同時，定理還顯示，在圓錐投影下，這個性質是穩定的即不變的----而古典幾何裏圖形的【度量性質】並沒有這樣的穩定性。
而這一切，都是由一個16歲的少年發現的。更令人驚奇的是，帕斯卡在證明這個定理的過程中，用到了一種全新的幾何。（當然德薩格也用過，但對那個時代來說，這依然是全新的。）
他先證明了這個定理對一類圓錐曲線成立，比方說圓。然後他通過【投影】證明它對任意其他圓錐曲線也成立。那麽你會問，這種幾何新在哪裏？請注意，任何角 度，或者線段的長度，在這個定理裏都是無關緊要的。因而這不是【度量的幾何】，而是一種【畫法幾何】，或者叫做【射影幾何】。在帕斯卡的幾何裏，沒有“數 量”的概念----這就是它本質上與希臘幾何不同的地方。
這還沒有完。帕斯卡在證明這個定理之後，難以置信的迅速前進，寫出了他的第一本著作《關於圓錐曲線的短論》，裏麵包含了400多個關於圓錐曲線的命題。其 中包括我們在阿基米德那章提到過的阿波羅尼烏斯的絕大部分工作，也有德薩格的一些結論。在這個16歲孩子的書裏，這些都被作為一個完整係統的一部分，以推 論的形式而演繹得到。
這本書現在失傳了，但它在梅森的小組裏，迅速引起了軒然大波。笛卡爾又要登場鬧事了。
很顯然，帕斯卡《短論》中的幾何，受到了德薩格工作的影響。因而帕斯卡對這位導師亦非常讚賞和尊敬。這類全新的射影幾何，在處理某些透視問題時，是非常有 力的。進而對建築、工程方麵，也有極大的作用。-----笛卡爾這樣的人，不會不知道它的價值。當老帕斯卡把兒子的著作拿給笛卡爾看時，他很快就驚呆了。
一方麵，他給予了《短論》極高的評價，但同時，他堅決不信----直到最後也沒有信，就是軍人的固執-----這是一個16歲的孩子的成果。
帕斯卡對這種質疑感到非常惱怒。他反唇相譏笛卡爾的解析幾何，也並沒有什麽價值。----顯然這個結論近於荒謬，然而考慮到一個天才不被承認的憤怒，這個判斷也不算很過分。事情本來還要鬧下去，這個時候，老帕斯卡惹了麻煩。
也許帕斯卡老爸就是不知道“識時務者為俊傑”這樣的古話，丫筆直的脊梁得到了讚譽，然而卻要全家逃離巴黎。你說到底這到底是悲劇還是值得宣揚？事件的起 因，乃是在一件強行征稅的案子上，老帕斯卡要維護普通市民，而和紅衣主教黎賽留----沒錯，這家夥前麵也出場了，就是支持笛卡爾出版其著作的那位宗教老 大----鬧翻了。
要說老帕斯卡也是真有種，當時可是宗教統治一切的年代。而黎賽留正是整個法國教區的頭頭。結果紅衣主教一動怒，帕斯卡一家隻好跑路。但所謂“車到山前必有路”，於是有女兒---還是美女女兒----的老帕斯卡便“柳暗花明又一村”了。
據坊間傳言，為了挽救家庭的命運，帕斯卡的妹妹，那位美麗而風流的雅克麗娜，匿名參演了一場黎賽留喜歡看的戲，並且還非常出彩，非常拉風。
黎賽留君心大悅，就來問雅克麗娜芳名。這時，雅克麗娜看火候已到，便去掉馬甲，露出真名。紅衣主教並不是少林寺方丈，他被感動了，覺得有這麽好的女兒的 人，必然值得原諒。於是帕斯卡一家躲過了一劫，隻是得遷到法國西北部的魯昂(Rouen)----一個充滿藝術品的古城，約200年後還誕生了福樓拜這樣 的文學巨匠。這件事，讓我們知道兩個道理，一是東西方的老虎屁股都是摸不得的，二是東西方的美人計都是好使的。
搬到魯昂之後，帕斯卡和笛卡爾的爭吵暫時平息了下來。但這時，帕斯卡的健康狀況其實已經很糟了。他的消化係統和神經係統都非常脆弱，且輪流在白天和晚上值 班式的折磨他。然而他還是沉迷於科學之中。人有時候就是這樣奇怪的，嚴重的疾病和身體的痛苦，並沒有讓帕斯卡放棄科學。可是他人的言論就輕易的做到了這 點。
在18歲的時候，帕斯卡做出了曆史上第一台【計算器】，可以用來幫他父親處理一些稅務上的運算，主要是加法。直到如今還存有他的傑作，不過陳列於法國博物 館中。而這一貢獻，致使現今仍有一種計算機語言，叫帕斯卡語言。這是後輩們對先驅的致敬，而帕斯卡也完全值得這樣的誇獎。
隻是，在1646年的時候，帕斯卡一生一個真正的轉折點出現了。
他的一家開始信仰詹森教派(Jansenistic)，這是由一個叫科尼利恩斯.詹森(Cornelius Jansen)的荷蘭人所創建的教派。這個教派的信條既不是羅馬天主教，也不是新教。然而它最大的特點，就是苦修和偏激。一方麵，它的教義提倡每個信徒對 自己身體的苦修，要以一種難以忍受的虐待進行；另一方麵，它鼓吹對那些反對其教義的人，進行強烈的敵對和仇視。
很難想象，到底因為什麽樣的導火索，導致帕斯卡一家會去信仰這種可怕的教派。唯一的可能是，帕斯卡本身已經把疾病對他的折磨看成是一種苦修，因而覺得詹森 的教義特別的投緣。這樣一來，帕斯卡漸漸的，漸漸的要從精神上死亡了----雖然宗教也許多少促進了他今後在文學和哲學上的沉思----然而這種近乎病態 的信仰，確實慢慢導致了帕斯卡科學上的死亡。而他這時才23歲。
在魯昂帶了6年之後，老帕斯卡帶著全家返回到了巴黎。就在回到巴黎的第二年，帕斯卡就又做出了轟動歐洲學界的成果。他對托裏拆利 （Torricelli,1608-1647）的大氣壓力理論進行了研究，並做了不少實驗。他得到了一個現在小學生都知道的自然知識，即：“隨著海拔高度 的上升，大氣壓力總是下降的”，並由此改良了托裏拆利的水銀氣壓計。
這些都是對物理學的偉大貢獻，然而卻導致了笛卡爾的再次質疑。
原來笛卡爾早在之前，就有過這個“氣壓計實驗”的想法，並在與梅森神父的通信中討論過此事。於是，本來就和帕斯卡不合的笛卡爾開始懷疑年輕人剽竊了他的思 想。這換作是今天，帕斯卡鐵定要學術聲譽掃地。但還好笛卡爾也沒有什麽事實證據，加上帕斯卡之前的天才顯示，他這樣的人，是不會也不需要去模仿他人的。
但吵歸吵，紳士的風度還是不能丟。於是，笛卡爾在1648年----就是他去北歐的前一年----還特地從荷蘭趕到巴黎，來拜訪帕斯卡一家，希望能緩和一 下氣氛。畢竟大家同在梅森小組討論了那麽多年，好歹既是同事也是同行，再說兩個天才，搞得那麽僵畢竟不好。可是，笛卡爾又沒想到，這時候帕斯卡一家已經在 詹森教派中越陷越深了。
如果大家還記得，前麵說到，笛卡爾是信耶穌學會的----一個溫和的教派。恰好正是詹森教派最為看不順眼的那種死對頭。要說笛卡爾膽子也真是大，畢竟抗過槍，明知詹森教派對耶穌學會的仇恨甚至多於魔鬼仇恨聖水，他也還是敢闖這個虎穴龍潭。
總之，這次拜訪非常失敗，以激烈的爭吵結束。但笛卡爾畢竟是個老紳士，何況他對帕斯卡的天才還是很尊重的。於是，他在離開的時候，依然給了帕斯卡健康方麵 的忠告：比如像他那樣，每天上午在床上躺到11點再起來----話說這也是我們現代人普遍的願望，還有就是要有規律有節製的飲食，甚至還開了個有些諷刺性 但還算是友善的玩笑，叫帕斯卡除了牛肉【汁】什麽都不要吃。
帕斯卡到底是年輕人，火氣大，他全盤拒絕了這個“敵人”的建議。E.T.貝爾有句話說得很有意思：在帕斯卡完全缺乏的其他東西中，有一樣是幽默。而在陷入詹森教派之後，他正逐漸失去的，遠比這多得多。
1648年，帕斯卡一家又搬回了克萊蒙，這次住了兩年。這其間，雅克麗娜計劃進入波羅亞爾的修道院，那裏是詹森教派的中心。她開始說服她的哥哥，帕斯卡，與她一起與塵世決絕，去修道院裏把自己的所有通過苦修來奉獻給上帝。
然而此時的帕斯卡，似乎正在身體方麵自暴自棄。他酗酒，想用酒精帶來好的睡眠，然而同時在女色中流連忘返，這對他的脾胃又傷害巨大。據坊間傳言，就在這兩年間，他和他妹妹有某種說不清的關係----以致於他後來迫於壓力，把妹妹送進了波羅亞爾，自己卻依然呆在外麵。
這對科學來說，還是幸運的。帕斯卡在創造力和智力上還沒有死亡，他還可以做出一流的工作。1650年，帕斯卡一家再度遷回巴黎，第二年老帕斯卡就去世了。 帕斯卡現在就成了一家之主。他做的第一件事，就是去跟笛卡爾競爭。在聽說了解析幾何被請到北歐的皇宮，成為了那位年輕女王的教師時，帕斯卡頓時覺得不公。
他和笛卡爾一方麵互相看不起，另一方麵又互相較勁。帕斯卡寫了封非常謙卑的信給克裏斯蒂娜女王，並送上了自己製作的計算器。我們不知道女王的反應如何，反正最後的結果是，帕斯卡並沒有去北歐頂替可憐的笛卡爾。
1654年，是帕斯卡一生中科學事業的轉折點。在這一年，他和費馬的通信，共同創造了概率論的基礎，但同時，到該年年底時，帕斯卡正式進入了他妹妹所在的 修道院。從此，我們的天才帕斯卡，所有的精力都用到了哲學和神學上。我無意詆毀他在這兩方麵的偉大，然而他那驚人的智力，從此就告別了科學----除了 1659年的擺線研究的短暫閃光----帕斯卡對數學的貢獻，已經到此為止了。
我們無法責備他。他做到了他能做的一切，沒人可以要求更多。他的《思想錄》(Pensees)和《致外省人書》(Lettres Provinciales)不僅在哲學和神學方麵有極大的指導力，同時也是文學和辯論技巧方麵的傑作典範。而我們隻能做這樣並沒有太大意義的假設：如果帕 斯卡這樣的頭腦，能夠保持對科學的一貫興趣，他會做出什麽樣的結果？
我們先來看看他最後的閃光，關於擺線(Cycloid)的優美發現。然後再回到我們原本的主角---費馬同學的身上，一起簡述一下他們對概率論的貢獻。荷 馬的史詩《伊利亞特》(The Iliad)中寫到古希臘美女海倫是特洛伊戰爭的導火索，而單單是她的美麗就使“以前艘戰船下水”----這就是我們所說的“傾國傾城”-----而擺 線，就被人們稱為【幾何學中的海倫】。
其定義由現實的事件出發的：即一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線。這條曲線有很多極其優美的甚至令人吃驚的性質。首先，它的 長度，以及與水平線截成的麵積，居然都與π沒有關係。比如，它的長度，是旋轉圓直徑的4倍，麵積則是旋轉圓麵積的3倍。
同時，如果你把這擺線倒過來放置----它會像一隻碗----然後在上麵的任何一顆小珠子，無論其具體位置在哪，都會在【相同的時間】裏滑到最底部。這就是擺線的【等時性】。而這點，使得它被廣泛應用在今天的鍾表製作上。
另外，在伯努力家族的章節中，我們還會看到，擺線還具有【最速降線】(brachistochrone)的性質，簡言之就是，一個質點，從一個給定點下落 到另一個給定點，如果後麵這個點不在前點的垂直下方----如果在垂直下方，那就自由下落好了-----那麽，這個質點沿著什麽樣的曲線下降，會使得所需 時間最短呢？（不計摩擦力）
首先令人非常驚訝的是，答案不是直線。而根據古典幾何，兩點之間直線雖然隻有一條，但曲線卻有無數條。伽利略曾以為這曲線會是圓，然而他錯了，答案正是擺線。這個對“最速降線”的研究，後來還導致了【變分學】的創立。不過此乃後話，按下不表。
且說帕斯卡自進入修道院以後，就認為科學研究都是不好的事，不純潔的事。因為讓人無法集中精力苦修和禱告，因而對精神和靈魂是有害的。但是當數學的美真正綻放它的光輝時，帕斯卡就言了。他發現，每當他想著擺線，一些腦人的病痛就暫停了。
於是，帕斯卡覺得這一定是神諭，是上帝在告訴他，思考科學也許不是對聖靈的褻瀆。這讓他更加投入的研究擺線，達到了廢寢忘食的地步。不久，他就以阿莫斯.德通威爾(Amos Dettonville)的筆名發表了自己的成果。
從那之後，帕斯卡就完完全全在數學上死亡了。他的身體也日漸消瘦，健康狀況也達到了一生的最低點。他幾乎已經整晚不能睡覺，每天劇烈的頭痛就像五萬隻蚊子 在飛來飛去，而且還伴隨有牙痛、胃痛。----可惜他也沒有藍天六必治牙膏。於是，1662年8月19日，帕斯卡終於在巨大的痛苦中，離開了人世，去投奔 他信仰的上帝。
他是值得任何人崇拜和尊敬的一個天才，他事實上也做到了天才該做的一切。
經過漫長的插敘之後，下麵我們正式回到費馬，來看看他和帕斯卡到底如何一起創造了【概率論】，以及這門學科給後世帶來的，幾乎延展到日常生活的每一個方麵的深遠影響。
其實早在遠古，古希臘人就討論過偶然性和必然性的問題。而事實上，現今生活中，我們也有著本能一般的能力，來判斷某些事情到底發生與否----前提是這些事情存在“可能性”。
而這其實貫穿了我們日常活動中的很大一部分，比如，你在過馬路時，看到遠方有車輛駛來。那麽，你便會根據車距、車速、馬路的寬度、自己的行走速度等等，對安全與否有個大致的判斷-----雖然這種直覺並不見的總是對的。
因此，人們對於【可能性事件】的研究，一直模糊不清，而有限的討論也僅僅局限於哲學的範疇。直到1654年，當時的巴黎上流社會正盛行以娛樂為目的賭博遊戲----其中有些成為了現在【博弈論】的一部分。
其中一名名叫安托瓦尼.貢博（Antoinie Gombaud）的梅雷騎士(Chevalier de Mere)經人介紹認識了帕斯卡，然而他作為一個職業賭徒，正沉迷於一種點數遊戲。順便說一句，此人是路易十四宮廷的紅人，也正因為此，帕斯卡對他的提問 也格外重視。他所喜歡的賭博遊戲的規則有些類似於如今的24點，即哪個賭徒先得到一定的點數，則獲勝得到全部賭金。
然而，貢博在一次賭博中，因為要務必須馬上離開，那麽賭局就被提前中斷了。在這種情況下，如果把錢全部給那個點數最多的賭徒，大家都不滿意。因為點數多並 不意味著這個人更容易贏。於是，貢博就把“如何更加公平合理的分配賭金”問題，留個了帕斯卡。因為他聽說帕斯卡是個數學家，在那種年代，數學家在普通公眾 心中，大概類似於職業解題家的雜耍者。
帕斯卡在與費馬的通信中談到了這個問題，他倆都獨立而迅速的發現，這個問題本身的解答並不太難。通過計算遊戲所有的可能，並對每一種可能的結果推導出它出現的幾率，然後根據這個幾率來分配賭金，就可以完美的解決貢博騎士的難題。
然而，帕斯卡與費馬的互相交流，激起兩人對問題進一步的挖掘。天才們很快意識到，對更複雜和更微妙的類似問題的解答，是非常有趣而有意義的。----這也正是數學家的一個特征，他們很難被一個特定的問題所滿足，他們所追求的，正是具有【普遍意義】的答案。
很快，帕斯卡和費馬就奠定了【組合分析】的基礎，以及概率論中最重要的一個基本概念----【數學期望】。所謂組合分析，即找出做一件事情有多少種方法，或者某件事情發生有多少種可能。顯然，它與概率論可以說是密不可分的。幾乎所有的概率計算都要牽涉到組合數學。
帕斯卡在這樣的計算中，大量運用了一個算術三角形----亦即我們所稱的【楊輝三角形】。即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
這個三角形從頭兩行以後的各行，除了首尾的兩個1，其他的數字都是由上一行左右相鄰的兩個數相加而得來。同時，它第n行中的數也就是(1+x)的n次方 按二項式定理展開的係數。此三角形的應用非常廣泛，其性質也非常奇妙。不少古人很早就知道了它，但獨創性的把其運用到概率論中，帕斯卡是第一人，因而之後 西方也以帕斯卡三角形命名它。----除開意大利人稱其為【塔塔利亞三角形】（Triangolo di Tartaglia）。
費馬的工作則在於，他創造性的把賭徒獲勝的概率(費馬本人並未使用概率一詞)和賭金相乘，得到的數字作為衡量一名賭徒的期望獲得值----而這正是了現今我們所用的【數學期望】(mathematical expectation)的概念雛形。
帕斯卡把這個概念曾記錄在他的思想錄裏，並用來論證宗教信仰的價值：在他看來，哪怕通過虔誠的苦修而獲得永恒幸福的概率非常小，但是永恒幸福本身的價值是無限大，所以宗教是值得人們信仰的----這理論本身不是嚴密的，然而帕斯卡心甘情願的相信它。
和所有新生的學科一樣，在得到高速發展的同時，概率論也得到了部分的質疑。1657年，惠更斯（Christiaan Huygens）發表了《論賭博中的計算》，使得概率論係統進一步完善和被廣大數學界所知。
然而，概率本身也帶來了很多奇妙的----甚至於直覺相悖的結論----這就導致了當時的宗教法庭對這一理論持懷疑態度。三個實際後，貝特蘭羅素的一句調 侃也許更為恰當描述了這種科學與直覺之間的矛盾：“我們怎麽可以談論【機會】的【規律】呢？機會不正是規律的對立麵嗎？”
最著名的例子之一就是生日悖論（Birtheday Paradox）。它並非嚴格意義上的邏輯悖論，其本身並不能導致什麽矛盾的結論----然而，它的結論，基於數學的理性的計算，與我們的感性認識，有著如此大的差距，以致於好多人一開始都無法相信它的正確性。
其中一種表述是：一個23人的房間中，有2個人同一天生日的可能性超過50％。那麽也就是說，當有人跟你打賭一個足球場上（包括裁判）在內，有沒有兩人同 生日時，你一定要押肯定的那一邊，贏麵才會比較大。這個問題，憑直覺似乎是不正確的，區區23人的生日，放到一年365天這樣的大區間裏，撞車的幾率應該 是小得可憐的23/365=6.3％。
更驚奇的是，在23人的時候，這個概率還隻是略微大於50％，然而當人數增加到57人時，有兩人生日相同的可能性已經達到97％，接近於必然了。具體的計 算方法有多種，以經典的組合分析為手段的話，我們往往考慮這類問題的反麵----即23人中，沒有兩人同一天生日的概率。
具體的等式在此不再贅述，有興趣的人可以作為一道習題研解。不少教科書上都有詳細解答。但正確的答案和直覺之間的巨大差距，可以用下麵一幅圖來更直觀的表示。
其中綠色的曲線，即表示在n人中，存在兩人相同生日的概率。可見它的增長非常不平緩，隨著n的增大----即人數的增加，概率會如直升機般飛速上升，到 了60左右已經就非常接近於1.0；呃；而藍色的直線（圖上稍有彎曲）表示我們直覺上的概率（是n的一次即線性函數），同時，它也表示，在n個人中，有人 【與你同一天生日】的概率。它的上升速度相對就要平緩得多。
那麽，為什麽我們會有如此錯覺的原因也就很明顯了。人們在看到類似“有人生日相同”的問題時，總是下意識的替換為“與我生日相同”，那麽其實處理的，就已然不是一個問題，故有天壤之別。
而隻有概率論，才能解開這種錯誤的麵紗，並予以類似問題真正正確的理論支持。到了現代，這個分支的應用已經遍及我們日常生活的許多方麵，生物及物理方麵的 測量，銀行及保險業的大量數據統計，等等。雖然這門學科的起源來自於一個卑微的問題，但正是這些微不足道的例子，導致了數學上許多學科的誕生，讓天才和後 來的繼承者們發現了其內部的深奧的，一般性原理。
除了奠定了概率論的基礎，費馬在解析幾何和微積分領域也做出了開創性的偉大工作。然而，他在解析幾何中創造的手法，和笛卡爾有本質的不同。這當然關係到兩 人的哲學觀。笛卡爾是一個實用主義者，他甚至覺得歐幾裏德幾何中，那種依賴於圖形的巧思般解法，是對想象力的一種浪費。----沒錯，笛卡爾是個激進的改 革者，他批判了古希臘的幾何。
因此，他把代數用於幾何，完全是雙方取長補短的一種手段，並且主要目的是用來創造一種具有【一般性】的方法，可以來批量解決作圖問題和其他幾何問題。其結 果是，這種混合，使得解析幾何稱為具有廣闊開發前景的學科，但同時導致了包括牛頓在內的一些人的批評----雖然有些人也使用這個工具。不過此乃後話，暫 且不表。
而費馬這個純樸的老實人，卻不是這樣。在他的小冊子《平麵和立體的軌跡引論》(Ad Lacos Planos et solidos Isagoge)中，有這樣的敘述：隻要在最後的方程裏出現了兩個未知量，我們就能得到一個軌跡，並描繪出一條直線或者曲線。這比笛卡爾7年後的成果更加 直白，雖然費馬並不使用負坐標。但在後麵的例子充分顯示費馬完全理解坐標軸，他也允許它們做平移或旋轉，以此來得到一些更加複雜的曲線方程。
費馬在思想上，是古希臘幾何的繼承者。他借用韋達(Vieta)的代數解決幾何方法，對阿波羅尼烏斯的幾何，做了一種重新表述。在這一步上，費馬的傳統也許使他的解析幾何不如笛卡爾那樣有革命性，但他在之後的爭論中再一次的顯示了他的寬厚。
當笛卡爾發表了其《幾何》之後，關於解析幾何發現優先權的爭論，就在當時的學界持續了將近十年。顯然的，我們的神童帕斯卡等人支持費馬，而德薩格等人則支持笛卡爾。笛卡爾這個人吵架是家常便飯，因而打嘴仗是相當了得。
他諷刺的稱費馬為極大和極小大臣----費馬曾發表論文《求極大值和極小值的方法》(Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam)，並說費馬欠了他的債。費馬雖然有朋友幫他還擊，但在1660年的一篇文章中，費馬卻宣稱他是如此的佩服笛卡爾的天才，雖然後者的工作裏 有一些錯誤---費馬所指出的並且確實如此，但他這些錯誤甚至比絕大部分人沒有錯誤的工作，而更有價值。而以現代觀點來看，費馬在解析幾何中的強調軌跡， 可以說是更超前於那個年代的天才火花。
而在幾何的研究中，費馬很自然的會遇到求切線、求最大值最小值等問題----而這些正是微積分的起源之一。但鑒於篇幅，我們把這些放到牛頓的章節中再詳細敘述。
概率論、解析幾何和微積分，任一方麵的成果都足以讓費馬留名青史。然而，這些都還不是費馬最熱愛的，他最熱愛----同時也是他最傑出---的領域就是“數學的皇後”，【算術】或者叫【數論】。
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金庸先生的《射雕英雄傳》中，當時江湖五絕，南帝北丐、東邪西毒、中神通數次華山論劍，爭奪的就是一本名喚《九陰真經》的武林秘籍。此書得天下武學之精髓，習練者可立於不敗之身。而此秘籍的作者，便是黃裳。
此人雖然自身修為極其了得，然而他卻不是科班出身的大俠。原來當年宋徽宗政和年間，命普搜天下道家之書，作為合集雕刻出版。此時黃裳本一文官，被委派此任 務之後，整天擔心稍有紕漏即遭殺頭之罪，因而一直逐字逐句的研讀。進而悟得天下道學，以及武功中的高深道理。成為一個業餘出身，專業水準的高手。
皮埃爾.費馬(Pierre de Fermat, 1601－1665)就是數學江湖中的黃裳。他是整個數學史上最重要的業餘愛好者，沒有之一。在還未發生知識大爆炸之前的近代數學中，他至少對其中四個方 麵有著偉大的貢獻-----要知道，這就意味著他的工作幾乎涵蓋了當時數學的一切。如果把牛頓算作18世紀的數學家----他一生有三分之一的時間生活在 18世紀，那麽，盡管我們前麵見證了笛卡爾的偉大，我們還是要把【17世紀最偉大的數學家】這一桂冠，賜予費馬。
另一種說法是，作為一個【純數學家】，費馬將至少與牛頓相當。當然這是富有爭議的結論，然而可以與牛頓並駕齊驅的引起人們的爭執，這在科學史上也隻有約莫一打人有這樣的資格。
費馬的傑出還不盡於此。跟黃裳一樣，他也留下了一樣東西，一樣讓整個江湖為之奮鬥、為之爭論、為之拚搏的東西。這是一個數學命題，通常稱為【費馬大定理】 或者【費馬最後定理】(Fermat’s Last Theorem)。顯然，在定理前的那些形容詞，就能很好的說明這個命題所帶來的一切了。從來沒有其他數學命題被稱為“大的”，或者是“最後 的”-----人們一定潛意識中認為這是最後一個沒有得到證明的命題了。
費馬大定理或許不是世界上最難的難題，但絕對是世界上最有意義的難題之一。它具有小學生都能理解的形式與美，卻關係到一個極其普遍的性質，同時又具有火星 般的難度。希爾伯特曾說：“這是一隻下金蛋的母雞。”------意即在試圖證明費馬大定理的過程中，產生出來的那些新思想、新理論、新方法都是極其有意 義的。
這個定理牽涉到的故事，橫跨三個多世紀，其中包含了巨額獎金、絕望自殺、與世隔絕、爭吵補救等等一切八卦、故事、小說等所需要的一切猛料要素。某種意義上 說，就像《九陰真經》已經脫離黃裳，而作為江湖中的傳說而獨自存在一樣，費馬大定理被視為對人類智能的一種挑戰，已經脫離費馬，獨自構成了自己傳奇的篇 章。
關於它的整個故事，需要另一本書專門闡述才能淋漓盡致。因此我會在後來敘及費馬在數論領域的貢獻時，盡量簡要的介紹一些，除此之外，我們還是把目光轉回到費馬，以及他其他同樣偉大的工作上。
費馬1601年8月出生在法國的一個貴族家庭，靠近圖盧茲-----一個非常寧靜美麗的城市。他名字中的【de】即表明他是當時的【穿袍貴族】 (l’aristocratie de robe)，而這種頭銜大多是靠資產買來的，可以世襲並且不用交稅賦，這表明他家境的富裕。
然而，這也注定費馬要從事貴族的職業，履行所謂貴族的義務(Noblesse Oblige)。於是，從圖盧茲大學畢業後，費馬就成為了一個地方行政官員----相當於我們所說的公務員----過著四平八穩的生活，避開所有無意的爭執，一直到去世，都是這樣。
關於費馬學生時代的記錄非常少，因此我們並不知道他有沒有特殊的才能在學習中表現出來。但根據他之後取得的成就來看，費馬應當是十分出眾的。他的拉丁文、法文、西班牙文都是大師級的，他對其他歐洲大陸的語言也有著非凡的造詣，這可以從他之後的通信中看出來。
人文方麵，他對希臘和拉丁哲學進行了幾處重要的修正，他甚至能用好幾種語言寫出精美的詩。並且，他對文學作品的評析，也顯示了他熟練的文字技巧和精湛卓越的鑒賞能力。
如果說笛卡爾一生都在追求安寧，那麽費馬則是一生都在享受安寧。他連升遷也是慢條斯理，按部就班。他在1631年6月1日結了婚，17年後由接待官升為了 圖盧茲地方議會的議員，然後再在此職位上幹了17年，直到去世的那一天。他為官非常和善清廉，很受當地群眾歡迎，隻不過政績平平。然而，我們有充分的理由 相信，費馬一定是把他的才能都用到另一個領域了，議員對他來說，無非隻是一個頭銜而已。他也並不排斥自己的工作，在他看來，自己隻是一個沉迷在自己業餘愛 好中的普通官員。
我們要感謝上帝賜予的幸運，讓笛卡爾在戰鬥中活了下來；同時也要感謝他的公正，讓費馬有機會把他的天才留給數學。費馬作為一個平庸的行政官員，一直工作到1665年1月12日。當時，他還在處理卡特雷城的一件案子。兩天之後，他就在這座小城裏平靜的去世了。
雖然這個誠實、和氣、謹慎、正直的人一生沒有什麽波瀾，但他卻有著數學史上最美好的故事之一。
在我準備正式介紹費馬的工作時，我發現我還是漏了一些他的閑聞軼事----幸而還不算太多。其中比較搞笑的是，1652年費馬其實“死”過一次。這並不是什麽由死複生的神話，而是一個醫學奇跡加上一個糊塗的朋友所主演的一場喜劇。
彼時正是黑死病肆虐的時期，沒錯，就是電影《夜訪吸血鬼》中那場令人毛骨悚然的瘟疫。無數人在非常痛苦的情形下死去，渾身布滿黑斑----這就是俗稱的“鼠疫”。費馬很不幸也染上了這種致命的疾病，並且奄奄一息了。
於是他的一位朋友伯納德.梅當（Bernard Medon）對外宣布費馬已經死了。但費馬在當初的醫療條件下，居然又神奇的康複了過來。於是他這位性急的朋友隻好重新發過一份公告來糾正之前的失誤：” 很抱歉我前段時間曾通知您費馬逝世。他仍然活著，我們不再擔心他的健康。瘟疫已經不在我們中肆虐了。”
這一定是神之幹預。大概上帝也還想看到費馬的數學，所以他留下了我們的天才。從那之後，費馬更是低調。其實他之所以能做出那麽多工作，與他的工作也還是有 關係的。當時，國家要求所有地方的議員避開一切黨團的混戰和不必要的應酬，以避免在履行職責時受賄而墮落。話說這正類似於我們現在的【反腐倡廉】，費馬就 這樣得到了大把的空閑時間。
那時，整個法國做科學研究尤其是純理論研究的一項特點是盡量保密、拒絕交流。這是與現今完全相反的狀況。但他們是有理由的。首先17世紀的數學在社會上還 遠遠沒有如今的地位，絕大部分數學家----哪怕是職業數學家----都要為自己的經費，乃至生活費而奔忙。話說這跟國內現在的狀況也比較相象。在這種大 背景下，成果成了數學家自己用來交換生活質量的一種貨物，成了不能輕易示人的獨門手藝。
另一方麵，16世紀之前，絕大數學家前身都是Cossists。這是一種職業的名稱，受雇於商人和實業家，用來解決一些複雜的會計問題，相當於現在的精算 師。因此，數學和某些解題的方法就成了民間秘方一樣，不僅僅是他們謀生的手段，也給他們帶來獨一無二的聲譽。一般情況下，保密自己的成果已經是當時行業裏 不成文的規矩，一旦遭到破壞，往往帶來劇烈的爭吵甚至敵對。
一個顯著的例子就是關於卡爾達諾（Girolamo Cardano）的禁書《大衍術》(Ars Magna)。這本書主要描述了一些虛妄飄渺的煉金術和不著邊際的儀式，但也第一次引入了虛數的概念和討論了一些博弈的問題。在此之外，他還披露了一個可 以迅速求解3次方程的方法-----而這是他十年前從一個朋友塔爾塔利亞(Niccolo Tartaglia)那裏獲得的。結果，後者勃然大怒，斷絕了與卡爾達諾的所有關係，並掀起了非常激烈的爭吵。
總之，這樣的例子隻是讓當時的數學家們更加的守口如瓶。這時，還好有一個人改變了這一切。這個人在笛卡爾那章有過短暫的出場---所以可見每個龍套都不可以忽視，都有自己的貢獻與故事----這個小角色就是掌握笛卡爾在荷蘭行蹤的神父，梅森。
梅森作為一個數學愛好者，對數論有過一丁點兒貢獻；但作為一個規則破壞者，他對數學卻有著很大的貢獻。而且後來的種種情形顯示，梅森不遵守這種保密性，確實沒有任何私心。他數學上的才能也許很普通，然而其人格高貴並不遜於任何的大數學家。
由於梅森的神父身份，所以他和很多當時的大數學家都有頻繁的書信聯係----那個時候宗教就是高於一切的力量。他自己同時也研究數論，並向其他的修士和修 女講課。但當梅森在巴黎主持一個米尼姆修道會時，他看到那些與會的數學家們對自己的成果，總是吞吞吐吐，遮遮掩掩，仿佛一個青澀的姑娘。他感到很悲哀，並 下定決心要打破這種阻礙科學的堅冰。
他開始鼓勵數學家們交流自己的思想，促進互相的工作。同時，他定期安排會議----這個小組後來成了法蘭西學院的核心和前身-----而當有人因故缺席 時，他就會把此人的信件、或者是文章，公諸於眾，讓他的成果得以被小組所熟知，這樣其他人就可以從這裏繼續前進，去研究更深一步的問題。
雖然這種行為在我們現在看來非常理性的，然而在當時，尤其是一個穿修道袍的人神父，這樣做並不符合其職業道德。後來，笛卡爾便因此和梅森鬧翻了。但在笛卡爾遭到教廷的質疑時，梅森依然為他而辯護。
閑話休表，言歸正傳。當時費馬也與梅森神父保持著頻繁的書信聯係，但費馬的低調在整個數學史上都是最顯著的。他無論如何也不願意公開出版自己的任何成果和 發現，這可能是一種貴族的固執。同時也因為，公開發表和被人們承認對費馬來說毫無意義，他已經是一個成功的社會人士。
數學對他來說，尤其那些沒有被別人發現的美妙定理對他來說，是一生中重要的愉悅的來源，他可以在自己的時間裏做做數學就已經很滿足了。
雖然這種對數學的單純的追求和熱愛，如今依然值得我們提倡。但費馬確實沒有意識到，如果有用的數學研究和成果沒有被及時發表，那麽損失的，將不僅僅是個人的榮譽，而會拖慢整個時代數學前進的步伐。
但在梅森神父的組織下，費馬開始與其他人數學家通信了。這導致了兩個後果。一是好幾個人和他鬧僵了----並不是出於他的態度，費馬一直是一個謙謙有禮、 平和冷靜的紳士----而是費馬那種類似於【挑逗】的意味。而這也是他最大的一個特點。他總是喜歡敘述他最新的定理，但是不給出證明。我隻能說，這也許就 是費馬給他平淡的生活帶來的【天才惡作劇】吧。
他這種把解答藏起來的習慣，惹惱了不少同行，也引誘這無數的後來人，就是單憑著好奇心，也要去尋找他的證明。這其中就包括費馬大定理。而被挑逗到發飆的大 人物中，就有我們的軍人，笛卡爾。事實上，笛卡爾和費馬不止爭論過一次，而是好幾次。但後來的事實證明，費馬幾乎每次都是對的。我們的律師用沉著冷靜打敗 了急躁易怒的將軍。
笛卡爾有一次氣急敗壞的說：“費馬是個加斯科尼人，可我不是。”言下之意就是費馬無非是個“吹牛者”。雖然如此，費馬這種習慣對自己而言，還是有一定好處 的。這樣他就無需去再花上大量時間，來完善自己的解法，反而能更迅速的投入到下一個問題的思考。另一方麵，由於證明一旦公布，任何人都可以對其進行仔細的 研究和探討，那麽將其隱匿就意味著，無需承受那些出於嫉妒而挑刺的折磨。
雖然如此，費馬與其他人的通信依然帶來了好的成果-----他與帕斯卡的通信，讓兩人共同創立了【概率論】這門學科的理論基礎。而且，就費馬去世後出版的記錄來看，他完全有能力單獨完成這一工作。
然而，既然說到了帕斯卡，我們有必要略窺一下17世紀這個早逝的天才。他的一生，論傳奇性，絕對不遜於笛卡爾與費馬。
他在數學上的貢獻，不如笛卡爾和費馬這兩個同時代人。然而這是由於，他的驚人天賦並沒有完全用在數學領域上。我們不能說這是一種浪費，他也確實在實驗科 學、文學、神學宗教等方麵都做出了第一流的工作。然而若帕斯卡能夠保持他對數學的激情，和自己的身體健康久一些的話，我們的數學也許要前進好幾年。
而他的生活，則絕對是好萊塢大片。裏麵有天才、美女、酗酒、爭執（又是與笛卡爾，看來丫和同行關係不好）、宗教狂熱、英年早逝甚至有【兄妹亂/倫】。直至如今，帕斯卡也依舊是某些弗洛伊德主義者的研究對象。
帕斯卡(Blaise Pascal)，1623年6月19日出生於法國中南部的克萊蒙費朗(Clermont-Ferrand)。這個小城是中南部奧佛涅(Auvergne)的省府，很多建築由黑褐色Volvic火山岩建成，別有一番風味。
如果說笛卡爾和費馬這兩個法國同胞，人們對他們早期知道的並不多，而認為他們青少年時並沒有展現自己異於常人的才能，那麽帕斯卡就是數學史上確切記載的，第一個早慧型天才----就是我們現在所說的【神童】。
但同時，帕斯卡也是【數學天才總是容易早逝】這個說法的由來。他一共隻活了39年，不過後來大量的事實證明，這個論斷絕對是錯誤的。
帕斯卡童年的大部分軼事能流傳至今，得益於他那兩個寵愛他的姐妹，吉爾伯特(Gilberter)和雅克麗娜(Jacqueline)的大肆宣揚---- 其中後麵那個後來還與他有扯不清的曖昧關係。當然，帕斯卡完全值得這樣的宣揚，他的才智----如果我們客觀的評價----超過笛卡爾，甚至也許超過費 馬，然而他隻在一生中的前25年對科學保持了興趣---雖然概率論的創立發生在他31歲，然而那時他已經早就不把科學放在第一位了----而且還不是全力 以赴。
帕斯卡的父親是個艾帝納(Etienne Pascal)是克萊蒙主管稅收案件的最高法院院長，也是當時法國小有名氣的數學家和拉丁語學者。帕斯卡的母親安托瓦妮特(Antoinette Begone)在帕斯卡不到4歲就因病去世了。1631年，艾帝納全家遷徙到巴黎，並開始與法國其他科學家通信，其中包括大帕斯卡27歲的笛卡爾，射影幾 何的主要創立者之一德薩格(Girard Desargues)等等，後來這兩位與帕斯卡也都有交流。
一開始的時候，帕斯卡老爸並不希望他過早的接觸數學。大概是覺得未成年的孩子，如果一旦癡迷在數學中，則很容易用腦過多而傷害到他們的身體----可悲的 是，這個結論對帕斯卡來說，今後竟如魔咒般成為事實-----不過如同我前麵所說，帕斯卡這種人，是被數學所召喚，注定要研究數學，並成為一個偉大的數學 家的。
在很輕鬆的就掌握了古典文學之後，大約在帕斯卡12歲的時候，他的好奇心終於導致他做出了逆反的舉動。他纏著他老爸，無論如何也要知道，到底什麽是幾何？ 那時笛卡爾的成果還沒有廣泛傳播，於是幾何也就幾乎等於歐幾裏德的古典幾何。他爸抗不住孩子的熱忱，非常清晰的給帕斯卡上了一課。
然後，帕斯卡就完全著迷了。並且，他的傳說也就開始了。他僅僅聽了老爸的講述後，就完全依靠自己的創造力，沒有任何書本的提示，就證明了【三角形內角和等於兩個直角】。任何一個學過數學的人，都知道這樣的表現意味著什麽，何況是艾帝納那樣有數學涵養的專家。
他哭了，並且立馬意識到自己的兒子是個天生的數學家。接下來，《幾何原本》成了帕斯卡的第二本聖經。他時時刻刻都捧著它，以非常快的速度就完全掌握了裏麵 所有的內容。到14歲的時候，他已經被允許參加梅森神父----如果你們還記得他，就是那個科學隱私的破壞者----的討論小組。這是法蘭西科學院的開 端，所以相當於，帕斯卡曾是科學院所擁有的最年輕的會員。
想象一下如果是現代，14歲左右的孩子在幹什麽？打鬧，玩耍，看電視卡通，聽流行音樂。帕斯卡呢？他玩幾何，是的，幾何對他來說，從來就不是任務或者家庭作業，而是一種娛樂。
在精通了古典幾何之後，帕斯卡開始研究他最喜歡的【圓錐曲線】。大約2年後，他就做出了偉大的成果。這是整個幾何領域最美妙的一個定理，並且任何人都可以輕鬆理解，即現在被命名為的“帕斯卡定理”。
我們可以簡要的敘述一下這個定理。在這之前，我們先看看什麽是圓錐曲線。這樣想象，一個圓錐通過其頂點向兩方無限延伸，然後，用一個平麵去截這個圓錐，那 麽平麵在錐麵上截出的曲線，就叫【圓錐曲線】。它包含五種可能：1.圓 2.橢圓 3.雙曲線 4.拋物線 5.兩條相交的直線。
然後，我們的帕斯卡定理是說：任意一條圓錐曲線，比方說，一個圓，在它的邊上，任意標出6點ABCDEF。然後按次序把它們連起來，那麽我們就得到了一個 內接於圓的六邊形。然後選擇任意【三對】相對的邊，比方說，AB與DE,BC和EF,CD和FA是相對的邊。然後我們延長AB與DE,使它們相交於一點， 比方說A’；同樣的，我們使BC與EF相交於B’；CD與FA相交於C’。
那麽，帕斯卡的結論是，A’,B’,C’三點在一條直線上，即這三點共線。了解上述解釋之後，現在我們可以用一句話來概括這個定理了：“圓錐曲線內接六邊形的三雙對邊(所在直線)的交點共線。”
先不說這個定理如今的難度，但是它那奇妙的性質，首先它要求很少的條件。圓錐曲線，和曲線上的點，都是可以任意取的。然後共線也是幾何中最美妙的性質之 一。同時，定理還顯示，在圓錐投影下，這個性質是穩定的即不變的----而古典幾何裏圖形的【度量性質】並沒有這樣的穩定性。
而這一切，都是由一個16歲的少年發現的。更令人驚奇的是，帕斯卡在證明這個定理的過程中，用到了一種全新的幾何。（當然德薩格也用過，但對那個時代來說，這依然是全新的。）
他先證明了這個定理對一類圓錐曲線成立，比方說圓。然後他通過【投影】證明它對任意其他圓錐曲線也成立。那麽你會問，這種幾何新在哪裏？請注意，任何角 度，或者線段的長度，在這個定理裏都是無關緊要的。因而這不是【度量的幾何】，而是一種【畫法幾何】，或者叫做【射影幾何】。在帕斯卡的幾何裏，沒有“數 量”的概念----這就是它本質上與希臘幾何不同的地方。
這還沒有完。帕斯卡在證明這個定理之後，難以置信的迅速前進，寫出了他的第一本著作《關於圓錐曲線的短論》，裏麵包含了400多個關於圓錐曲線的命題。其 中包括我們在阿基米德那章提到過的阿波羅尼烏斯的絕大部分工作，也有德薩格的一些結論。在這個16歲孩子的書裏，這些都被作為一個完整係統的一部分，以推 論的形式而演繹得到。
這本書現在失傳了，但它在梅森的小組裏，迅速引起了軒然大波。笛卡爾又要登場鬧事了。
很顯然，帕斯卡《短論》中的幾何，受到了德薩格工作的影響。因而帕斯卡對這位導師亦非常讚賞和尊敬。這類全新的射影幾何，在處理某些透視問題時，是非常有 力的。進而對建築、工程方麵，也有極大的作用。-----笛卡爾這樣的人，不會不知道它的價值。當老帕斯卡把兒子的著作拿給笛卡爾看時，他很快就驚呆了。
一方麵，他給予了《短論》極高的評價，但同時，他堅決不信----直到最後也沒有信，就是軍人的固執-----這是一個16歲的孩子的成果。
帕斯卡對這種質疑感到非常惱怒。他反唇相譏笛卡爾的解析幾何，也並沒有什麽價值。----顯然這個結論近於荒謬，然而考慮到一個天才不被承認的憤怒，這個判斷也不算很過分。事情本來還要鬧下去，這個時候，老帕斯卡惹了麻煩。
也許帕斯卡老爸就是不知道“識時務者為俊傑”這樣的古話，丫筆直的脊梁得到了讚譽，然而卻要全家逃離巴黎。你說到底這到底是悲劇還是值得宣揚？事件的起 因，乃是在一件強行征稅的案子上，老帕斯卡要維護普通市民，而和紅衣主教黎賽留----沒錯，這家夥前麵也出場了，就是支持笛卡爾出版其著作的那位宗教老 大----鬧翻了。
要說老帕斯卡也是真有種，當時可是宗教統治一切的年代。而黎賽留正是整個法國教區的頭頭。結果紅衣主教一動怒，帕斯卡一家隻好跑路。但所謂“車到山前必有路”，於是有女兒---還是美女女兒----的老帕斯卡便“柳暗花明又一村”了。
據坊間傳言，為了挽救家庭的命運，帕斯卡的妹妹，那位美麗而風流的雅克麗娜，匿名參演了一場黎賽留喜歡看的戲，並且還非常出彩，非常拉風。
黎賽留君心大悅，就來問雅克麗娜芳名。這時，雅克麗娜看火候已到，便去掉馬甲，露出真名。紅衣主教並不是少林寺方丈，他被感動了，覺得有這麽好的女兒的 人，必然值得原諒。於是帕斯卡一家躲過了一劫，隻是得遷到法國西北部的魯昂(Rouen)----一個充滿藝術品的古城，約200年後還誕生了福樓拜這樣 的文學巨匠。這件事，讓我們知道兩個道理，一是東西方的老虎屁股都是摸不得的，二是東西方的美人計都是好使的。
搬到魯昂之後，帕斯卡和笛卡爾的爭吵暫時平息了下來。但這時，帕斯卡的健康狀況其實已經很糟了。他的消化係統和神經係統都非常脆弱，且輪流在白天和晚上值 班式的折磨他。然而他還是沉迷於科學之中。人有時候就是這樣奇怪的，嚴重的疾病和身體的痛苦，並沒有讓帕斯卡放棄科學。可是他人的言論就輕易的做到了這 點。
在18歲的時候，帕斯卡做出了曆史上第一台【計算器】，可以用來幫他父親處理一些稅務上的運算，主要是加法。直到如今還存有他的傑作，不過陳列於法國博物 館中。而這一貢獻，致使現今仍有一種計算機語言，叫帕斯卡語言。這是後輩們對先驅的致敬，而帕斯卡也完全值得這樣的誇獎。
隻是，在1646年的時候，帕斯卡一生一個真正的轉折點出現了。
他的一家開始信仰詹森教派(Jansenistic)，這是由一個叫科尼利恩斯.詹森(Cornelius Jansen)的荷蘭人所創建的教派。這個教派的信條既不是羅馬天主教，也不是新教。然而它最大的特點，就是苦修和偏激。一方麵，它的教義提倡每個信徒對 自己身體的苦修，要以一種難以忍受的虐待進行；另一方麵，它鼓吹對那些反對其教義的人，進行強烈的敵對和仇視。
很難想象，到底因為什麽樣的導火索，導致帕斯卡一家會去信仰這種可怕的教派。唯一的可能是，帕斯卡本身已經把疾病對他的折磨看成是一種苦修，因而覺得詹森 的教義特別的投緣。這樣一來，帕斯卡漸漸的，漸漸的要從精神上死亡了----雖然宗教也許多少促進了他今後在文學和哲學上的沉思----然而這種近乎病態 的信仰，確實慢慢導致了帕斯卡科學上的死亡。而他這時才23歲。
在魯昂帶了6年之後，老帕斯卡帶著全家返回到了巴黎。就在回到巴黎的第二年，帕斯卡就又做出了轟動歐洲學界的成果。他對托裏拆利 （Torricelli,1608-1647）的大氣壓力理論進行了研究，並做了不少實驗。他得到了一個現在小學生都知道的自然知識，即：“隨著海拔高度 的上升，大氣壓力總是下降的”，並由此改良了托裏拆利的水銀氣壓計。
這些都是對物理學的偉大貢獻，然而卻導致了笛卡爾的再次質疑。
原來笛卡爾早在之前，就有過這個“氣壓計實驗”的想法，並在與梅森神父的通信中討論過此事。於是，本來就和帕斯卡不合的笛卡爾開始懷疑年輕人剽竊了他的思 想。這換作是今天，帕斯卡鐵定要學術聲譽掃地。但還好笛卡爾也沒有什麽事實證據，加上帕斯卡之前的天才顯示，他這樣的人，是不會也不需要去模仿他人的。
但吵歸吵，紳士的風度還是不能丟。於是，笛卡爾在1648年----就是他去北歐的前一年----還特地從荷蘭趕到巴黎，來拜訪帕斯卡一家，希望能緩和一 下氣氛。畢竟大家同在梅森小組討論了那麽多年，好歹既是同事也是同行，再說兩個天才，搞得那麽僵畢竟不好。可是，笛卡爾又沒想到，這時候帕斯卡一家已經在 詹森教派中越陷越深了。
如果大家還記得，前麵說到，笛卡爾是信耶穌學會的----一個溫和的教派。恰好正是詹森教派最為看不順眼的那種死對頭。要說笛卡爾膽子也真是大，畢竟抗過槍，明知詹森教派對耶穌學會的仇恨甚至多於魔鬼仇恨聖水，他也還是敢闖這個虎穴龍潭。
總之，這次拜訪非常失敗，以激烈的爭吵結束。但笛卡爾畢竟是個老紳士，何況他對帕斯卡的天才還是很尊重的。於是，他在離開的時候，依然給了帕斯卡健康方麵 的忠告：比如像他那樣，每天上午在床上躺到11點再起來----話說這也是我們現代人普遍的願望，還有就是要有規律有節製的飲食，甚至還開了個有些諷刺性 但還算是友善的玩笑，叫帕斯卡除了牛肉【汁】什麽都不要吃。
帕斯卡到底是年輕人，火氣大，他全盤拒絕了這個“敵人”的建議。E.T.貝爾有句話說得很有意思：在帕斯卡完全缺乏的其他東西中，有一樣是幽默。而在陷入詹森教派之後，他正逐漸失去的，遠比這多得多。
1648年，帕斯卡一家又搬回了克萊蒙，這次住了兩年。這其間，雅克麗娜計劃進入波羅亞爾的修道院，那裏是詹森教派的中心。她開始說服她的哥哥，帕斯卡，與她一起與塵世決絕，去修道院裏把自己的所有通過苦修來奉獻給上帝。
然而此時的帕斯卡，似乎正在身體方麵自暴自棄。他酗酒，想用酒精帶來好的睡眠，然而同時在女色中流連忘返，這對他的脾胃又傷害巨大。據坊間傳言，就在這兩年間，他和他妹妹有某種說不清的關係----以致於他後來迫於壓力，把妹妹送進了波羅亞爾，自己卻依然呆在外麵。
這對科學來說，還是幸運的。帕斯卡在創造力和智力上還沒有死亡，他還可以做出一流的工作。1650年，帕斯卡一家再度遷回巴黎，第二年老帕斯卡就去世了。 帕斯卡現在就成了一家之主。他做的第一件事，就是去跟笛卡爾競爭。在聽說了解析幾何被請到北歐的皇宮，成為了那位年輕女王的教師時，帕斯卡頓時覺得不公。
他和笛卡爾一方麵互相看不起，另一方麵又互相較勁。帕斯卡寫了封非常謙卑的信給克裏斯蒂娜女王，並送上了自己製作的計算器。我們不知道女王的反應如何，反正最後的結果是，帕斯卡並沒有去北歐頂替可憐的笛卡爾。
1654年，是帕斯卡一生中科學事業的轉折點。在這一年，他和費馬的通信，共同創造了概率論的基礎，但同時，到該年年底時，帕斯卡正式進入了他妹妹所在的 修道院。從此，我們的天才帕斯卡，所有的精力都用到了哲學和神學上。我無意詆毀他在這兩方麵的偉大，然而他那驚人的智力，從此就告別了科學----除了 1659年的擺線研究的短暫閃光----帕斯卡對數學的貢獻，已經到此為止了。
我們無法責備他。他做到了他能做的一切，沒人可以要求更多。他的《思想錄》(Pensees)和《致外省人書》(Lettres Provinciales)不僅在哲學和神學方麵有極大的指導力，同時也是文學和辯論技巧方麵的傑作典範。而我們隻能做這樣並沒有太大意義的假設：如果帕 斯卡這樣的頭腦，能夠保持對科學的一貫興趣，他會做出什麽樣的結果？
我們先來看看他最後的閃光，關於擺線(Cycloid)的優美發現。然後再回到我們原本的主角---費馬同學的身上，一起簡述一下他們對概率論的貢獻。荷 馬的史詩《伊利亞特》(The Iliad)中寫到古希臘美女海倫是特洛伊戰爭的導火索，而單單是她的美麗就使“以前艘戰船下水”----這就是我們所說的“傾國傾城”-----而擺 線，就被人們稱為【幾何學中的海倫】。
其定義由現實的事件出發的：即一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線。這條曲線有很多極其優美的甚至令人吃驚的性質。首先，它的 長度，以及與水平線截成的麵積，居然都與π沒有關係。比如，它的長度，是旋轉圓直徑的4倍，麵積則是旋轉圓麵積的3倍。
同時，如果你把這擺線倒過來放置----它會像一隻碗----然後在上麵的任何一顆小珠子，無論其具體位置在哪，都會在【相同的時間】裏滑到最底部。這就是擺線的【等時性】。而這點，使得它被廣泛應用在今天的鍾表製作上。
另外，在伯努力家族的章節中，我們還會看到，擺線還具有【最速降線】(brachistochrone)的性質，簡言之就是，一個質點，從一個給定點下落 到另一個給定點，如果後麵這個點不在前點的垂直下方----如果在垂直下方，那就自由下落好了-----那麽，這個質點沿著什麽樣的曲線下降，會使得所需 時間最短呢？（不計摩擦力）
首先令人非常驚訝的是，答案不是直線。而根據古典幾何，兩點之間直線雖然隻有一條，但曲線卻有無數條。伽利略曾以為這曲線會是圓，然而他錯了，答案正是擺線。這個對“最速降線”的研究，後來還導致了【變分學】的創立。不過此乃後話，按下不表。
且說帕斯卡自進入修道院以後，就認為科學研究都是不好的事，不純潔的事。因為讓人無法集中精力苦修和禱告，因而對精神和靈魂是有害的。但是當數學的美真正綻放它的光輝時，帕斯卡就言了。他發現，每當他想著擺線，一些腦人的病痛就暫停了。
於是，帕斯卡覺得這一定是神諭，是上帝在告訴他，思考科學也許不是對聖靈的褻瀆。這讓他更加投入的研究擺線，達到了廢寢忘食的地步。不久，他就以阿莫斯.德通威爾(Amos Dettonville)的筆名發表了自己的成果。
從那之後，帕斯卡就完完全全在數學上死亡了。他的身體也日漸消瘦，健康狀況也達到了一生的最低點。他幾乎已經整晚不能睡覺，每天劇烈的頭痛就像五萬隻蚊子 在飛來飛去，而且還伴隨有牙痛、胃痛。----可惜他也沒有藍天六必治牙膏。於是，1662年8月19日，帕斯卡終於在巨大的痛苦中，離開了人世，去投奔 他信仰的上帝。
他是值得任何人崇拜和尊敬的一個天才，他事實上也做到了天才該做的一切。
經過漫長的插敘之後，下麵我們正式回到費馬，來看看他和帕斯卡到底如何一起創造了【概率論】，以及這門學科給後世帶來的，幾乎延展到日常生活的每一個方麵的深遠影響。
其實早在遠古，古希臘人就討論過偶然性和必然性的問題。而事實上，現今生活中，我們也有著本能一般的能力，來判斷某些事情到底發生與否----前提是這些事情存在“可能性”。
而這其實貫穿了我們日常活動中的很大一部分，比如，你在過馬路時，看到遠方有車輛駛來。那麽，你便會根據車距、車速、馬路的寬度、自己的行走速度等等，對安全與否有個大致的判斷-----雖然這種直覺並不見的總是對的。
因此，人們對於【可能性事件】的研究，一直模糊不清，而有限的討論也僅僅局限於哲學的範疇。直到1654年，當時的巴黎上流社會正盛行以娛樂為目的賭博遊戲----其中有些成為了現在【博弈論】的一部分。
其中一名名叫安托瓦尼.貢博（Antoinie Gombaud）的梅雷騎士(Chevalier de Mere)經人介紹認識了帕斯卡，然而他作為一個職業賭徒，正沉迷於一種點數遊戲。順便說一句，此人是路易十四宮廷的紅人，也正因為此，帕斯卡對他的提問 也格外重視。他所喜歡的賭博遊戲的規則有些類似於如今的24點，即哪個賭徒先得到一定的點數，則獲勝得到全部賭金。
然而，貢博在一次賭博中，因為要務必須馬上離開，那麽賭局就被提前中斷了。在這種情況下，如果把錢全部給那個點數最多的賭徒，大家都不滿意。因為點數多並 不意味著這個人更容易贏。於是，貢博就把“如何更加公平合理的分配賭金”問題，留個了帕斯卡。因為他聽說帕斯卡是個數學家，在那種年代，數學家在普通公眾 心中，大概類似於職業解題家的雜耍者。
帕斯卡在與費馬的通信中談到了這個問題，他倆都獨立而迅速的發現，這個問題本身的解答並不太難。通過計算遊戲所有的可能，並對每一種可能的結果推導出它出現的幾率，然後根據這個幾率來分配賭金，就可以完美的解決貢博騎士的難題。
然而，帕斯卡與費馬的互相交流，激起兩人對問題進一步的挖掘。天才們很快意識到，對更複雜和更微妙的類似問題的解答，是非常有趣而有意義的。----這也正是數學家的一個特征，他們很難被一個特定的問題所滿足，他們所追求的，正是具有【普遍意義】的答案。
很快，帕斯卡和費馬就奠定了【組合分析】的基礎，以及概率論中最重要的一個基本概念----【數學期望】。所謂組合分析，即找出做一件事情有多少種方法，或者某件事情發生有多少種可能。顯然，它與概率論可以說是密不可分的。幾乎所有的概率計算都要牽涉到組合數學。
帕斯卡在這樣的計算中，大量運用了一個算術三角形----亦即我們所稱的【楊輝三角形】。即
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這個三角形從頭兩行以後的各行，除了首尾的兩個1，其他的數字都是由上一行左右相鄰的兩個數相加而得來。同時，它第n行中的數也就是(1+x)的n次方 按二項式定理展開的係數。此三角形的應用非常廣泛，其性質也非常奇妙。不少古人很早就知道了它，但獨創性的把其運用到概率論中，帕斯卡是第一人，因而之後 西方也以帕斯卡三角形命名它。----除開意大利人稱其為【塔塔利亞三角形】（Triangolo di Tartaglia）。
費馬的工作則在於，他創造性的把賭徒獲勝的概率(費馬本人並未使用概率一詞)和賭金相乘，得到的數字作為衡量一名賭徒的期望獲得值----而這正是了現今我們所用的【數學期望】(mathematical expectation)的概念雛形。
帕斯卡把這個概念曾記錄在他的思想錄裏，並用來論證宗教信仰的價值：在他看來，哪怕通過虔誠的苦修而獲得永恒幸福的概率非常小，但是永恒幸福本身的價值是無限大，所以宗教是值得人們信仰的----這理論本身不是嚴密的，然而帕斯卡心甘情願的相信它。
和所有新生的學科一樣，在得到高速發展的同時，概率論也得到了部分的質疑。1657年，惠更斯（Christiaan Huygens）發表了《論賭博中的計算》，使得概率論係統進一步完善和被廣大數學界所知。
然而，概率本身也帶來了很多奇妙的----甚至於直覺相悖的結論----這就導致了當時的宗教法庭對這一理論持懷疑態度。三個實際後，貝特蘭羅素的一句調 侃也許更為恰當描述了這種科學與直覺之間的矛盾：“我們怎麽可以談論【機會】的【規律】呢？機會不正是規律的對立麵嗎？”
最著名的例子之一就是生日悖論（Birtheday Paradox）。它並非嚴格意義上的邏輯悖論，其本身並不能導致什麽矛盾的結論----然而，它的結論，基於數學的理性的計算，與我們的感性認識，有著如此大的差距，以致於好多人一開始都無法相信它的正確性。
其中一種表述是：一個23人的房間中，有2個人同一天生日的可能性超過50％。那麽也就是說，當有人跟你打賭一個足球場上（包括裁判）在內，有沒有兩人同 生日時，你一定要押肯定的那一邊，贏麵才會比較大。這個問題，憑直覺似乎是不正確的，區區23人的生日，放到一年365天這樣的大區間裏，撞車的幾率應該 是小得可憐的23/365=6.3％。
更驚奇的是，在23人的時候，這個概率還隻是略微大於50％，然而當人數增加到57人時，有兩人生日相同的可能性已經達到97％，接近於必然了。具體的計 算方法有多種，以經典的組合分析為手段的話，我們往往考慮這類問題的反麵----即23人中，沒有兩人同一天生日的概率。
具體的等式在此不再贅述，有興趣的人可以作為一道習題研解。不少教科書上都有詳細解答。但正確的答案和直覺之間的巨大差距，可以用下麵一幅圖來更直觀的表示。
其中綠色的曲線，即表示在n人中，存在兩人相同生日的概率。可見它的增長非常不平緩，隨著n的增大----即人數的增加，概率會如直升機般飛速上升，到 了60左右已經就非常接近於1.0；呃；而藍色的直線（圖上稍有彎曲）表示我們直覺上的概率（是n的一次即線性函數），同時，它也表示，在n個人中，有人 【與你同一天生日】的概率。它的上升速度相對就要平緩得多。
那麽，為什麽我們會有如此錯覺的原因也就很明顯了。人們在看到類似“有人生日相同”的問題時，總是下意識的替換為“與我生日相同”，那麽其實處理的，就已然不是一個問題，故有天壤之別。
而隻有概率論，才能解開這種錯誤的麵紗，並予以類似問題真正正確的理論支持。到了現代，這個分支的應用已經遍及我們日常生活的許多方麵，生物及物理方麵的 測量，銀行及保險業的大量數據統計，等等。雖然這門學科的起源來自於一個卑微的問題，但正是這些微不足道的例子，導致了數學上許多學科的誕生，讓天才和後 來的繼承者們發現了其內部的深奧的，一般性原理。
除了奠定了概率論的基礎，費馬在解析幾何和微積分領域也做出了開創性的偉大工作。然而，他在解析幾何中創造的手法，和笛卡爾有本質的不同。這當然關係到兩 人的哲學觀。笛卡爾是一個實用主義者，他甚至覺得歐幾裏德幾何中，那種依賴於圖形的巧思般解法，是對想象力的一種浪費。----沒錯，笛卡爾是個激進的改 革者，他批判了古希臘的幾何。
因此，他把代數用於幾何，完全是雙方取長補短的一種手段，並且主要目的是用來創造一種具有【一般性】的方法，可以來批量解決作圖問題和其他幾何問題。其結 果是，這種混合，使得解析幾何稱為具有廣闊開發前景的學科，但同時導致了包括牛頓在內的一些人的批評----雖然有些人也使用這個工具。不過此乃後話，暫 且不表。
而費馬這個純樸的老實人，卻不是這樣。在他的小冊子《平麵和立體的軌跡引論》(Ad Lacos Planos et solidos Isagoge)中，有這樣的敘述：隻要在最後的方程裏出現了兩個未知量，我們就能得到一個軌跡，並描繪出一條直線或者曲線。這比笛卡爾7年後的成果更加 直白，雖然費馬並不使用負坐標。但在後麵的例子充分顯示費馬完全理解坐標軸，他也允許它們做平移或旋轉，以此來得到一些更加複雜的曲線方程。
費馬在思想上，是古希臘幾何的繼承者。他借用韋達(Vieta)的代數解決幾何方法，對阿波羅尼烏斯的幾何，做了一種重新表述。在這一步上，費馬的傳統也許使他的解析幾何不如笛卡爾那樣有革命性，但他在之後的爭論中再一次的顯示了他的寬厚。
當笛卡爾發表了其《幾何》之後，關於解析幾何發現優先權的爭論，就在當時的學界持續了將近十年。顯然的，我們的神童帕斯卡等人支持費馬，而德薩格等人則支持笛卡爾。笛卡爾這個人吵架是家常便飯，因而打嘴仗是相當了得。
他諷刺的稱費馬為極大和極小大臣----費馬曾發表論文《求極大值和極小值的方法》(Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam)，並說費馬欠了他的債。費馬雖然有朋友幫他還擊，但在1660年的一篇文章中，費馬卻宣稱他是如此的佩服笛卡爾的天才，雖然後者的工作裏 有一些錯誤---費馬所指出的並且確實如此，但他這些錯誤甚至比絕大部分人沒有錯誤的工作，而更有價值。而以現代觀點來看，費馬在解析幾何中的強調軌跡， 可以說是更超前於那個年代的天才火花。
而在幾何的研究中，費馬很自然的會遇到求切線、求最大值最小值等問題----而這些正是微積分的起源之一。但鑒於篇幅，我們把這些放到牛頓的章節中再詳細敘述。
概率論、解析幾何和微積分，任一方麵的成果都足以讓費馬留名青史。然而，這些都還不是費馬最熱愛的，他最熱愛----同時也是他最傑出---的領域就是“數學的皇後”，【算術】或者叫【數論】。
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