七大數學難題4: 黎曼假設(素數分布直線)

       

　 難題四： 黎曼假設 (Riemann Hypothesis): 素數分布假設

什麽是黎曼假設,用我的話說就是, "在你過去所有的熟人中隨便抓兩個，那麽一定在眾多的人群中，你能找到一個人，其年紀正好界於兩者中間，並且三人的高度可以排成一條直線。"---找這個人可能比找黎曼點還難，但我們隻要信有這個人就得了....

19世紀德國的天才數學家黎曼(Riemann: 1826~1866),隻活到39歲，留下的論文不多，但篇篇都是經典。他最大的功績是開創了"非歐幾何"—黎曼幾何學。沒有說一個學數學的不知黎曼,就象沒有說一個學物理的不知費米一樣. 黎曼還為後人留下了一個150年未能解開的數學之謎。那就是:

黎曼假設：存在這樣一個方程z(s)=0, 其所有非平凡零點的實部都是1/2 .這個函數z(s)稱為” Riemann-zeta函數。

用數學家的話說, Riemann假設就是：存在一個複函數Riemann zeta函數z(s), s為複變量, 該函數可以定義於實半平麵R(s)＞1上，並且可表示為一個絕對收斂的級數。它可延拓到整個複平麵上，這一函數在負偶數－2，－4，…有零點，稱為平凡零點。Riemann猜想ζ(s)的非平凡零點的實部等於1/2。

Riemann-zeta函數與素數分布問題緊密相連，如果Riemann假設不成立，那目前認可的素數分布理論就完了, 必須另立爐灶, 打起鑼鼓從開張, 找別的出路。

素數: 從中學就知道了, 他具有不能表示為(除自身和1以外)兩個更小的數的乘積的特殊性質。例如，2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41,等等。在所有自然數中，素數的分布並無明顯的規則/模式可循。然而，黎曼發現，素數的頻率與一個精心構造的所謂”Riemann-Zeta函數z(s)”的性態緊密相關。 這就是著名的黎曼假設: “方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上”。多漂亮的結果, 比愛因斯坦的相對論公式還直接。數學家已經對前1,500,000,000個素數和方程的解進行過驗證。如果能證明它對於每一個有意義的解都成立, 那將對素數分布以極許多奧秘帶來福音。
　　
Riemann假設是泛函分析, 複變函數論,數論等很多純數學領域的理論基礎.又有人說,如果Riemann假設被證明了, 哥德巴赫猜想等問題也就解決了. 因此很多數學家認為，Riemann假設是純數學中最重要的未解決問題。

[楊子]

謝謝，我把說法改一下，應該好一些---但還是不大妥。不講“嚴格”數學，隻用“比喻”。你看能不能找到一個例子，讓不懂數學的人一看就知道是什麽？

[罷了]

老爸是搞數學的，所以給一個孩子取名為黎曼，另一個差點取名為柯西，因為生在文革隻能作罷。

很慚愧，黎曼交的朋友一點也不符合黎曼定理，把他過去所有的朋友排在一起，怎麽也成不了一條直線，而其所有非平凡零點的實部也不都是1/2 （有無窮大，無窮小，還有負數）。

黎曼所交的朋友倒是滿服從泊鬆分布的：時間間隔取得極短時，有0個或1個失效發生；出現一次失效的概率大小與時間間隔大小成正比，而與從哪個時刻開始算起無關；各段時間出現失效與否，是相互獨立的；其數學期望與方差相等（同為參數λ，E(X)=V(X)=λ）。

因為喜新厭舊，所以時間間隔越短失效也就越少，還在保鮮期之內嘛。朋友的近和遠及分手頻率絕對和從哪個時期開始結交無關；前一次分手和後一次分手之間絕對是毫無關係，相互獨立的。和異性朋友之間的關係更不能以上過幾次床來定親疏，數學期望與方差相等的情況是常常發生地。

可惜小弟學得是工程，對學數一知半解，若有不夠精細或缺乏邏輯之處，還望老兄海涵。