火箭方程與火箭預算

火箭方程是俄羅斯科學家Konstantin Tsiolkovsky獨立地推導並於1903年發表的。早在1810年，英國數學家William Moore推出了這個方程；後來，美國人Robert Goddard 和德國工程師Herman Oberth分別於1912年和1920年也獨立地推出了它。因為Tsiolkovsky首次應用它來回答火箭能否達到空間旅行所需的速度，火箭方程又稱為Konstantin Tsiolkovsky 火箭方程。火箭方程的具體形式如下：

 

Vf-V0=Ve*ln(M0/Mf)

 

V0，M0分別是火箭在點火時的初始速度，初始質量；

Vf，Mf 分別是火箭在燃燒完成時的達到的速度，剩餘質量；

Ve 是火箭的燃燒氣體噴出的速度。

 

火箭方程可以用來計算火箭在推進劑用完時，火箭的載荷(包括本級火箭的空重，下一級火箭及其載荷)能達到的速度。它沒有考慮重力和空氣阻力引起的速度衰減。重力和空氣阻力引起的速度衰減與火箭推進劑的燃燒時間有關，火箭推進劑燒完所需的時間越長，重力和空氣阻力引起的速度衰減越大。一般地，對每級火箭，重力和空氣阻力引起的速度衰減大致為1.5-2km/s。每級火箭的Vf減去1.5-2km/s，就得到火箭實際所能達到的速度。

 

例子一，星艦集成發射係統。

 

助推器(booster super heavy)：總重3600噸, 空重200噸，Ve=3.4km/s。

星艦 (starship)：總重1300噸, 空重100噸，Ve=3.7km/s。 

 

假設讓星艦最後留下50噸推進劑，那麽，助推火箭的M0=4900噸，Mf=1500噸，Ve=3.4km/s；二級火箭的M0=1300噸，Mf=150噸，Ve=3.7km/s；由火箭方程可以算出帶有50噸推進劑的星艦的Vf=12.02km/s。

 

由於用了火箭兩級，由重力和空氣阻力引起的速度衰減至少3km/s。所以，帶有50噸推進劑的星艦實際所能達到的速度不超過9.02公裏/秒。

 

星艦集成發射係統在2023年11月18日進行的第二次飛行試驗的結果：助推器火箭燃燒了160秒，升到67公裏的高度，速度達到1.57 公裏/秒；星艦部分的火箭燃燒了約313秒，最後升到148公裏的高度，速度達到6.69公裏/秒。

 

例子二，Artemis I 發射係統。

 

助推器(booster)：總重1460噸, 空重182噸，Ve=2.64km/s。

核心級 (core stage)：總重1073噸, 空重85噸，Ve=4.43km/s。 

二級(ICPS))：總重32噸, 空重3.5噸，Ve=4.565km/s。

載荷(spacecraft Orion)：重27噸。

 

那麽，助推火箭的M0=2592噸，Mf=1313噸，Ve=2.64km/s；核心級火箭的M0=1132噸，Mf=144噸，Ve=4.43km/s；二級火箭的M0=59噸，Mf=30.5噸，Ve=4.565km/s；由火箭方程可以算出載荷宇宙飛船Orion的Vf=13.94km/s。

 

由於用了火箭三級，由重力和空氣阻力引起的速度衰減至少4.5km/s。所以，宇宙飛船Orion實際所能達到的速度不超過9.44公裏/秒。

 

上述數據來自英文維基百科，其中，Ve都選用真空值或一組發動機中的最大值。這樣，Ve的選取又使求出的Vf偏大。

 

以地球半徑為6378公裏，月球與地球的質心距離為384399公裏。根據能量守恒定律，在離地麵1000公裏的高度，以10.3公裏/秒的速度飛行的飛行器，將動能全部轉化為引力勢能，這個飛行器就能飛到月球的高度。

 

由此可見，星艦集成發射係統與Artemis I 發射係統都隻能將宇宙飛船(分別是帶有50噸推進劑的星艦和Orion)送到離地麵不超過1000公裏的高度，各自的速度分別為不超過9.02公裏/秒和不超過9.44公裏/秒。也就是說，星艦集成發射係統與Artemis I 發射係統都隻能將宇宙飛船送入小於1000公裏x 378000公裏的橢圓形軌道。

 

當宇宙飛船沿橢圓軌道上升到離地麵接近378000公裏的最高點後，將沿這個橢圓軌道的另一邊返回到近地軌道的高度。如果不點燃宇宙飛船上的火箭作再入大氣層，宇宙飛船將沿這個橢圓軌道繼續飛行。直到下一輪返回到近地軌道的高度，如果點燃宇宙飛船上的火箭作再入大氣層，宇宙飛船將結束軌道飛行，降落地麵。

 

把火箭方程倒過來就得到火箭預算公式：

 

M0=Mf*exp{(Vf-V0)/Ve}

 

火箭預算公式可以用來計算火箭至少需要填充多少質量的推進劑。如果要把一個質量為Mf的載荷從零加速到Vf的速度，由火箭燃燒氣體噴出的速度 Ve 就可求出火箭起飛時的質量M0。M0-Mf 就是至少需要填充的推進劑的質量。

 

火箭預算公式可以用來計算在月球表麵起飛所需要的火箭推進劑的質量。月球表麵的逃逸速度是2.38公裏/秒。月球引力的減速作用，按地球的六分之一計算，應大致為0.25-0.33公裏/秒。這樣，可以設定從月球表麵起飛的Vf= 2.38公裏/秒。

 

如果宇宙飛船是從離月球表麵500公裏高的軌道上降落著陸的，這一高度的軌道速度是1.48 公裏/秒，著陸過程可以簡化為把1.48 公裏/秒的軌道速度減少到零。這樣，可以設定從月球表麵著陸的Vf= 0公裏/秒，V0= -1.48公裏/秒。

 

例子三，星艦 (starship)空重100噸，也就是Mf=100噸，Ve=3.7km/s。根據火箭預算公式，可以求出M0=190.3噸。因此，至少需要90.3噸的推進劑，才能將空的星艦從月球表麵升起轉軌離開。

 

如果預留50噸火箭推進劑用於以後再入地球大氣層，那麽，起飛過程的Mf=150噸，可以求出起飛過程的M0=285.4噸。因此，至少需要135.4噸的推進劑，才能將帶有50噸推進劑的星艦從月球表麵升起轉軌離開。

 

要把帶有185.4噸推進劑的星艦從500公裏高的軌道上降落著陸，著陸過程的Mf=285.4噸，那麽，可以求出著陸過程的M0=425.8噸。也就是說，星艦在進入月球軌道時，至少要攜帶325.8噸的火箭推進劑，其中，140.4噸用於著陸，135.4噸用於起飛，50噸用於再入地球大氣層。這還沒有計入從地球橢圓軌道變軌到月球軌道，以及從月球軌道變軌回到地球橢圓軌道所需要的火箭推進劑。

 

如果把例子一中的二級火箭的Mf從150噸變到425.8噸，由火箭方程重新計算得到帶有325.8噸推進劑的星艦的Vf=8.16km/s。校正由重力和空氣阻力引起的速度衰減後，帶有325.8噸推進劑的星艦實際所能達到的速度隻有不超過5.16公裏/秒。

 

例子四， Orion幹重15.485噸，也就是Mf=15.485噸；Orion的火箭是AJ10，其Ve=3.13km/s。 根據火箭預算公式，可以求出M0=33.2噸。因此，至少需要17.715噸的推進劑，才能將Orion從月球表麵升起轉軌離開。

 

Artemis I 發射係統的載荷(spacecraft Orion)總重27噸，減去幹重15.485噸，它攜帶的火箭推進劑不超過11.515噸。這11.515噸的火箭推進劑不夠在月球表麵起飛所需的至少17.715噸推進劑，可以假設11.515噸的火箭推進劑是為再入地球大氣層準備的。這樣，起飛過程的Mf=27噸，重新計算後得到，起飛過程的M0=57.76噸，因此，在月球表麵起飛至少需30.76噸推進劑。

 

如果要Orion從500公裏高的軌道上降落著陸後的餘重為57.76噸，也就是說，著陸過程的Mf=57.76噸，那麽，可以求出著陸過程的M0=92.68噸。也就是說，Orion在進入月球軌道時，至少要攜帶77.195噸的火箭推進劑，其中，34.94噸用於著陸，30.76噸用於起飛，11.515噸用於再入地球大氣層。這裏也沒有計入從地球橢圓軌道變軌到月球軌道，以及從月球軌道變軌回到地球橢圓軌道所需要的火箭推進劑。

 

如果把例子二中的載荷(spacecraft Orion)的重量從27噸變到92.68噸，由火箭方程重新計算得到帶有77.195噸推進劑的Orion的Vf=10.64km/s。校正由重力和空氣阻力引起的速度衰減後，重92.68噸的Orion實際所能達到的速度隻有不超過6.14公裏/秒。

 

由此可見，例子一和例子二的發射係統甚至不能把425.8噸的星艦和92.68噸的Orion發射到地球的低地軌道。

 

如果估算一下兩次變軌所需的火箭推進劑，星艦和Orion進入橢圓軌道時的重量至少分別是588.7噸和131.3噸。根據火箭預算公式，如果保持每級火箭增加的速度和燃燒氣體噴出的速度相同，最後一級火箭的Mf的比值和發射前的M0的比值相同。因此，就可以預算一下需要多大的火箭發射係統，才能把588.7噸的星艦和131.3噸的Orion發射到的高度和速度，與例子一和例子二的發射係統把150噸的星艦和27噸的Orion發射到的高度和速度相同。

 

對於星艦集成發射係統，這個比值是588.7/150=3.9；而對於Artemis block one發射係統，這個比值是(131.3+3.5)/(27+3.5)=4.4。也就是說，所需的星艦的發射係統的大小是例子一中的星艦集成發射係統的四倍；所需的Orion的發射係統的大小是例子二中的Artemis block one發射係統的四倍多。