《科學理解的方法論 05》

我們可以就太陽係的發現曆史為例對人類認識過程進行梳理。演繹法依然是重要的手段。如果僅限於亞裏士多德的三段論邏輯推理，從大前提和小前提到結論，不會產生新的結果，培根說的不假。結論已經包含在大前提裏。但是演繹法不隻是邏輯，它還包括數學的整個體係。按康德的說法，邏輯和數學是在人類認識理性層麵上先驗的認知。它們獨立於也高於人類的經驗認知。事實上，邏輯學可以用數學的集合論來表述。自然界不存在數學裏抽象的點，線，麵， 和體。自然數也許有經驗上的聯係，但是自然界沒有分數，無理數，虛數，四元數，和矩陣。這些都是人類理性中抽象出來的邏輯單元。數學和邏輯實為一體。數學不僅僅規範了科學的邏輯演繹過程，而且將很多的科學概念轉換成變量。然後科學在變量的測量和變量之間量的關係的研究過程中獲得更多的知識。比如阿利斯塔克對日月地三體係統的觀測。又比如在牛頓力學體係裏，我們能夠得到以下知識。在均勻引力場裏的物體運動是拋物線。在點引力場裏，物體運動軌跡可以是開普勒描述的封閉式的橢圓，也可以是開放式的拋物線和雙曲線。甚至純粹數學裏的整數論裏對質數的研究所提供的知識和結果在現代密碼技術裏找到重要應用。

數學在現代人的觀念裏是由一套公理所演繹推理出來的一個知識體係。歐幾裏得幾何就是建立在五大公設基礎上的數學係統。三角的內角和一定是180度。數學在很多情況下是獨立的發展的。畢達哥拉斯學派發現了勾股定理，又從中導出了當時無法理解的無理數。這成為數學史上的第一次危機，也是數學發展的突破點。當高斯等人放棄歐幾裏得的第五公設，一個更普遍意義的非歐幾何出現了。三角的內角和可以大於或小於180度。由傳統的算術體係可以推廣到更普遍的有關群，環，和域的代數體係。數學的發展對科學非常關鍵。數學是科學抽象描述和演繹的工具。很多情況下，我們看看數學的發展超前於科學。比如，太陽係行星軌道用上古希臘人就知道的圓錐曲線。當閔可夫斯基了解到愛因斯坦的狹義相對論原理時笑著說，這不是我們早就知道的四維空間嗎？愛因斯坦的廣義相對論基於黎曼幾何。海森堡發現他量子理論裏位移和動量矢量操作不可交換後求助於矩陣。另一種情況，也是唯一的情況，就像牛頓同時提出力學運動力律和微積分。沒有後者，牛頓的偉大理論無法建立起來。也有這種情況，麥克斯韋先建立了電磁理論，然後吉布斯和赫維賽德發明了矢量分析，重新表述麥克斯韋方程。人們對電磁理論本質的理解從而更加清晰和深刻。或許，現代的科學發展正在等待數學上的突破。我們不得而知。

我不知道為什麽數學，作為先驗的知識，不是人類一開始就所知的，而是隨人類的進步而發展。也許是因為數學由人類的整體認知所局限，從而由小到大，由低級到高級發展。數學家希爾伯特曾想像出一番願景，期望有一個終極的公理化數學體係。所有的數學論述都可以從公理出發，通過演繹推論，最後被證明真偽。但是，哥德爾通過數學論證證明這樣的數學體係不存在。既然我們的數學認識不能夠完備，基於數學和邏輯的科學認識同樣也不可能完備。我們不可能對世界有最後終極的理解。

--寫於2022年6月28日（圖片來自網絡）