【金碧輝煌的聖殿（5. perfectly squared）】

金碧輝煌的聖殿（5. perfectly squared）

 

本篇可以稱為“外一篇”，因為它不涉及歐幾裏得幾何的內容，跟公理、定理無關。但它的確是關於幾何圖形的，內容也相當神奇且美觀。所以它跟Morley’s trisector theorem 和John’s theorem一樣，在我家的牆壁上占有一席之地。

整整一百年前的1923年，在波蘭的University of Lwoów，有兩個學習數學的學生Zbigniew Moroń和Wladyslaw Orlicz。他們在課上聽教授說起完美矩形（perfect rectangle，或稱squared rectangle)的問題。這個問題早就有人提出來，但無人能解決。

問題是這樣的：是否存在整數邊長m x n的矩形，它能被分割成多個不同大小整數邊長的正方形？在這個問題中，“不同大小整數邊長”是關鍵。假如有一個2 x 3的矩形，我們當然能把它分成六個1 x 1的正方形，一點意思都沒有。

兩個年輕人興致勃勃地開始研究這個問題，但過了一段時間，他們就得出結論，這恐怕和許多表麵上看似簡單的數論問題一樣，其實是極為困難的。Orlicz放棄了，他後來成了大學教授；Moron（唉，這個詞在英文裏的意思太不好了！）繼續堅持，他一輩子當中學數學老師。在苦苦探索了兩年（不算太長）後，他就有了突破。1925年，他用波蘭語發表了論文《論將矩形分解為正方形》。而且，他一下子發現了兩個這樣的長方形，如下圖所示：

矩形A 邊長為 65x47，是10階（order，即組成它的正方形的數目）。這個矩形就是在我家牆上掛的那個；矩形B 邊長為33x32，它很像正方形，但不是。它隻有9階。Reichert 和 Toepkin 在1940 年證明，9階是完美矩形的最小階數。少於9個正方形是不可能拚成一個矩形的。也就是說，Moron在一開始發現的那個33 x 32的矩形，已經是最簡單的完美矩形。

在得到一個完美矩形以後，你可以在任何一邊添加相同邊長的正方形，進而無限擴大矩形。通過交替邊繼續這個過程，加入的正方形邊長可以得到斐波那契數列（Fibonacci sequence）。不論起始的完美長方形的邊長是什麽，隻要交替擴展下去，相鄰兩項的比值將趨近黃金分割值 0.618... , 這是很有意思的現象。

隨後的幾年，越來越多的完美矩形被發現了（不是以上麵那種以無限交替重複方式得到）。僅一位日本老兄安倍路生（Michio Abe）就發現了600多個。於是有人就問，是否存在完美正方形（perfect square，或squared square）呢，即是否存在整數邊長的正方形，它能被分割成多個不同大小整數邊長的正方形呢？人們尋找了一段時間，沒有答案。於是有人懷疑這樣的正方形是不存在的。

在尋找的過程當中，有人提出了一個思路：如果存在任何一個 a x b 的矩形，它不僅是完美矩形，而且可以有兩種方式拚成，那麽邊為 (a+b) x (a+b) 的正方形就一定是完美正方形。

照著這個路子，德國人Roland Sprague去構架和尋找。終於，他在1939年發現，以1885 x 2320 為邊長的矩形可以用兩種（上圖的X 和 X’）方式構成為完美矩形，這樣，一個邊長為4205（=1885 + 2320）的完美正方形就找到了，它由55個小正方形組成（圖Y）。隨後，其他人通過類似的方法，又得到了一些更簡單的完美正方形。

到了1962年， 荷蘭數學家Arie Duijvestijn證明，不存在低於 21 階的完美正方形。然而這個21階的完美正方形在哪裏呢？又過了16年，到了1978年，這個唯一的階數最小的正方形，被Duijvestijn 找到了。這是一個 112 × 112 的完美正方形（圖A）。此外，人們還找到了三個邊長更短（均為110），階數為22 和23的完美正方形。其中兩個還是由Duijvestijn貢獻的（即圖B和D）。

有人可能會進一步想，如果擴展到3維空間會怎麽樣呢？一個邊長為整數的長方體或正方體，是否可以被邊長為整數的不同的大小的正方體完全填充呢？其實，你隻要發揮一點兒空間想象力，這個問題的答案出奇地明確！

 

寫到這裏，這個幾何係列文章就告一段落了。日前，我突然想到，其實我自己也有一個手工幾何作品呢，我都幾乎忘記了。

這是一個木製的jigsaw puzzle，它是整整20年前，我為兒子周歲做的生日禮物。經過了這麽多年，雖然有些磨損，但色彩還是那樣的鮮亮。我不知道這個禮物對孩子後來到底產生了什麽影響。但我精心設計、做出這樣一個東西，也仿佛是給自己的一份禮物。在後來的歲月裏，我陪他走過了迥然不同於一般孩子的、跌宕起伏的人生道路。最終，他站立起來，走出家門，以他的方式去獨立麵對這個世界了。今天，看著這個jigsaw puzzle，想到在3000英裏外的那個沉默而忙碌的孩子，我心中百感交集……

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【金碧輝煌的聖殿（5. perfectly squared）】 - 唐宋韻 - ♂   (7018 bytes) (2614 reads) 12/10/2023  17:09:02 (8)

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[唐宋韻]

回複 '梧桐之丘' 的評論 :
謝謝梧桐兄。五味雜陳，一言難盡。

[梧桐之丘]

深沉的感情，深沉的愛。好文。