數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
數學是從數字的角度來描述自然現像；按照現實的需求，至今已發展出了五大分支：
幾何：為了直接丈量土地而產生的《歐幾裏德幾何》。為了間接測量而生的《仿射、投影幾何》。無窮遠處的《非歐幾何》。精準定位的《解析幾何》。極值化的《微分幾何》。最一般空間上的《拓撲學》。模形式化的《代數幾何》。
代數：研究數字及變量運算規則的《初等代數》。研究一般代數結構（群、環、域、模等）的《抽像代數》。研究有限維向量空間的《線性代數》（《高等代數》則包含多項式的理論）。研究整數性質的《數論》。方程的根式解由《伽羅華理論》否定。《組合數學》研究計數與組合設計。《圖論》或者《離散數學》純粹是為了好玩而已。
分析：《微積分》，這是人類數學認識史上的第三次、也是最後一次飛躍：極限概念的引進。《實分析》推廣了度量的概念。《複分析》讓一切求根問題得以解決（盡管隻是理論上的）。《微分方程》給出了一類函數方程的解法（盡管不是全部的解）。《泛函分析》高度概括了經典分析的結果，無窮維空間的性質也被徹底揭示。《張量分析》是為了滿足物理需求而人為組數的結果。
數學基礎：包括《邏輯學》、《遞歸論》《集合論》、《範疇論》、《可計算性理論》、《證明理論》、《構造數學》。
應用數學：《概率論》，《統計學》（含《隨機過程》），《博弈論》，《係統和控製理論》，《數學規劃》，《運籌學》，《數值分析》，《數學物理》，《計算生物化學》，《計量語言學》，《計算機科學》，沒完沒了。
為什麽要設這麽多科？因為要研究的對象太多。主要的數學對象有數、集合、空間、函數或對應；怎麽不說形狀呢？那不過是一種對應關係。數有多種：單個的數，包括自然數、整數、有理數、實數、複數、四元數、八元數，任何二的冪次都有對應的一種數；組合的數，有向量、理想、矩陣、張量、可數維度的級數（或乘積）、連續維度的積分、超連續基數的表示式。
集合就不止是超連續基數的範圍了：你把任何東東放在一起，都可以叫做一個集合；唯一的要求是，得有一個確定的規則，可以判定任何一個東東是不是在這個集合裏，甚至隻是一定的可能性在此集合裏。數學裏的集合，就跟物理中的物體一樣廣泛，根本就不可能列舉，有的甚至都不可描述：人類的科學太微不足道了。
空間是具有一定結構的對象的集合、或者集合的集合。這些對象之間存在某種關聯；結構指的就是對象之間的相互關係。在物理、化學中，可能是它們之間有某種相互作用力、或者有發生某種化學反應的趨勢。在數學中，關係是完全抽象的：可能是順序關係（或者位置關係、包含關係？），連接（或者靠近）關係，合並或者分離關係，變換（或者運算）關係。任何一種關係，都需要一些公理來控製、規範，空間才會達到某種暫時的穩定性，那怕是曇花一現，也才算是存在過。
不同的空間之間，肯定存在某種聯係；基於這樣一條公設：任何存在，都有因果。八杆子打不著的，八百杆子、八萬杆子肯定夠得著！數學上就人為地構造了兩個空間之間的對應、或者變換規則；那些稱之為函數的，就是把一個個體對應到一個數而已。那些稱之為變換或者算子的，就是把一個東西變換成另外一個東西。幾何裏的n維流形，就是從n維空間裏的一個區域到m (≥ n) 空間裏的一個映射。任何集合的構造，都可以用映射來表示。
數學工作者們要做什麽呢？教師自然是把已知的東西，一代代往下傳；若偶爾有點新發現，則會成名成家、向數學家的行業靠攏。數學家們則是查缺補漏：已有各對象之間的關係都弄清楚了嗎？出現新的研究對象沒有？它與已有對象有什麽關係？更重要的是，開創新的研究方法；可各門學科都有自己的方法；要掌握已有的方法，就得花費好一陣子的功夫。
- 配方法；
- 歸納法；
- 換元法；
- 窮舉法；
- 演繹法（套公式）；
- 補集法（間接計數法）；反證法；
- 倒推法；
- 待定係數法；
- 分組、按位相加法；
- 用抽屜原理證明存在性；
- 求公因式的輾轉相除法（整數、多項式、矩陣、任何整環）；
- 卷積（叉積）法（數列、遞歸）；
- 數列的積分表示法；
- 不可約數式的判定方法；
- 解三次方程的Cardano方法；
- Tschimhausen變換法；
- 多項式插值法；
- 有限差分法；
- 拆項法（部分分式分解法）；
- 解一般方程的二分法；
- 牛頓法（解方程、數值分析）；
- Fermat最速下降法（不定方程）；
- 圓法（解不定方程）；
- 模化法（同餘式約簡）；
- 解差分方程的Laplace方法；
- 高斯消元法；
- 矩陣的行（列）變換法；
- 逆變換法（數列、函數、積分、級數）；
- 基底表示法；
- Gram-Schmidt正交化算法；
- 原子、分子軌道的線性組合方法（化學）；
- 微元法；
- 湊全微分法（可先乘以一個因子）；
- 上、下極限（積分）夾逼法；
- 用中值（介值）定理證明存在性；
- Dijkstra算法（圖論中求最短路徑）；
- 位相法（估計大參數積分）；
- Lagrange 乘子法（求條件極值）；
- 線性規劃的單純形法；
- 求最優函數的變分法；
- 最小二乘法（統計、函數逼近）；
- 正交分解法；
- 擾動法（泛函分析、量子理論）；
- 活動標架法（微分幾何）；
- 特征值法（解差分、微分方程，矩陣、線性變換的對角化）
- 分離變量法（解微分方程）；
- 變係數法；
- 首次積分法（解微分方程）；
- Green 函數（構造邊值問題的解）；
- 勢函數方法；
- 圍道積分法（複變函數）；
- 矩法估計（統計、理化）；
- 極大似然法；
- Monte Carlo方法（統計，計量理化）；
- 不動點方法（泛函分析推存在唯一性）；
這裏列舉的，肯定不是全部已知的；而且，隻要還會出現新的問題，就會有新的方法被發明出來。問題的結果，隻能說是被發現；但是，方法，一定是真正的發明。在學校裏學習現有知識時，隻要掌握了相關的方法，就沒有學不會的東西。再難的問題，隻要有一定的理解能力，都可以解決。
