數學是從數字的角度來描述自然現像;按照現實的需求,至今已發展出了五大分支: 幾何:為了直接丈量土地而產生的《歐幾裏德幾何》。為了間接測量而生的《仿射、投影幾何》。無窮遠處的《非歐幾何》。精準定位的《解析幾何》。極值化的《微分幾何》。最一般空間上的《拓撲學》。模形式化的《代數幾何》。 代數:研究數字及變量運算規則的《初等代數》。研究一般代數結構(群、環、域、模等)的《抽像代數》。研究有限維向量空間的《線性代數》(《高等代數》則包含多項式的理論)。研究整數性質的《數論》。方程的根式解由《伽羅華理論》否定。《組合數學》研究計數與組合設計。《圖論》或者《離散數學》純粹是為了好玩而已。 分析:《微積分》,這是人類數學認識史上的第三次、也是最後一次飛躍:極限概念的引進。《實分析》推廣了度量的概念。《複分析》讓一切求根問題得以解決(盡管隻是理論上的)。《微分方程》給出了一類函數方程的解法(盡管不是全部的解)。《泛函分析》高度概括了經典分析的結果,無窮維空間的性質也被徹底揭示。《張量分析》是為了滿足物理需求而人為組數的結果。 數學基礎:包括《邏輯學》、《遞歸論》《集合論》、《範疇論》、《可計算性理論》、《證明理論》、《構造數學》。 應用數學:《概率論》,《統計學》(含《隨機過程》),《博弈論》,《係統和控製理論》,《數學規劃》,《運籌學》,《數值分析》,《數學物理》,《計算生物化學》,《計量語言學》,《計算機科學》,沒完沒了。 為什麽要設這麽多科?因為要研究的對象太多。主要的數學對象有數、集合、空間、函數或對應;怎麽不說形狀呢?那不過是一種對應關係。數有多種:單個的數,包括自然數、整數、有理數、實數、複數、四元數、八元數,任何二的冪次都有對應的一種數;組合的數,有向量、理想、矩陣、張量、可數維度的級數(或乘積)、連續維度的積分、超連續基數的表示式。 集合就不止是超連續基數的範圍了:你把任何東東放在一起,都可以叫做一個集合;唯一的要求是,得有一個確定的規則,可以判定任何一個東東是不是在這個集合裏,甚至隻是一定的可能性在此集合裏。數學裏的集合,就跟物理中的物體一樣廣泛,根本就不可能列舉,有的甚至都不可描述:人類的科學太微不足道了。 空間是具有一定結構的對象的集合、或者集合的集合。這些對象之間存在某種關聯;結構指的就是對象之間的相互關係。在物理、化學中,可能是它們之間有某種相互作用力、或者有發生某種化學反應的趨勢。在數學中,關係是完全抽象的:可能是順序關係(或者位置關係、包含關係?),連接(或者靠近)關係,合並或者分離關係,變換(或者運算)關係。任何一種關係,都需要一些公理來控製、規範,空間才會達到某種暫時的穩定性,那怕是曇花一現,也才算是存在過。 不同的空間之間,肯定存在某種聯係;基於這樣一條公設:任何存在,都有因果。八杆子打不著的,八百杆子、八萬杆子肯定夠得著!數學上就人為地構造了兩個空間之間的對應、或者變換規則;那些稱之為函數的,就是把一個個體對應到一個數而已。那些稱之為變換或者算子的,就是把一個東西變換成另外一個東西。幾何裏的n維流形,就是從n維空間裏的一個區域到m (≥ n) 空間裏的一個映射。任何集合的構造,都可以用映射來表示。 數學工作者們要做什麽呢?教師自然是把已知的東西,一代代往下傳;若偶爾有點新發現,則會成名成家、向數學家的行業靠攏。數學家們則是查缺補漏:已有各對象之間的關係都弄清楚了嗎?出現新的研究對象沒有?它與已有對象有什麽關係?更重要的是,開創新的研究方法;可各門學科都有自己的方法;要掌握已有的方法,就得花費好一陣子的功夫。 - 配方法;
- 歸納法;
- 換元法;
- 窮舉法;
- 演繹法(套公式);
- 補集法(間接計數法);反證法;
- 倒推法;
- 待定係數法;
- 分組、按位相加法;
- 用抽屜原理證明存在性;
- 求公因式的輾轉相除法(整數、多項式、矩陣、任何整環);
- 卷積(叉積)法(數列、遞歸);
- 數列的積分表示法;
- 不可約數式的判定方法;
- 解三次方程的Cardano方法;
- Tschimhausen變換法;
- 多項式插值法;
- 有限差分法;
- 拆項法(部分分式分解法);
- 解一般方程的二分法;
- 牛頓法(解方程、數值分析);
- Fermat最速下降法(不定方程);
- 圓法(解不定方程);
- 模化法(同餘式約簡);
- 解差分方程的Laplace方法;
- 高斯消元法;
- 矩陣的行(列)變換法;
- 逆變換法(數列、函數、積分、級數);
- 基底表示法;
- Gram-Schmidt正交化算法;
- 原子、分子軌道的線性組合方法(化學);
- 微元法;
- 湊全微分法(可先乘以一個因子);
- 上、下極限(積分)夾逼法;
- 用中值(介值)定理證明存在性;
- Dijkstra算法(圖論中求最短路徑);
- 位相法(估計大參數積分);
- Lagrange 乘子法(求條件極值);
- 線性規劃的單純形法;
- 求最優函數的變分法;
- 最小二乘法(統計、函數逼近);
- 正交分解法;
- 擾動法(泛函分析、量子理論);
- 活動標架法(微分幾何);
- 特征值法(解差分、微分方程,矩陣、線性變換的對角化)
- 分離變量法(解微分方程);
- 變係數法;
- 首次積分法(解微分方程);
- Green 函數(構造邊值問題的解);
- 勢函數方法;
- 圍道積分法(複變函數);
- 矩法估計(統計、理化);
- 極大似然法;
- Monte Carlo方法(統計,計量理化);
- 不動點方法(泛函分析推存在唯一性);
這裏列舉的,肯定不是全部已知的;而且,隻要還會出現新的問題,就會有新的方法被發明出來。問題的結果,隻能說是被發現;但是,方法,一定是真正的發明。在學校裏學習現有知識時,隻要掌握了相關的方法,就沒有學不會的東西。再難的問題,隻要有一定的理解能力,都可以解決。 |