數學教育 中美教育探討之四

國人（指中國）對自己的數學是很自信的。因為中國基礎訓練普遍很強。但是在中國，數學係的畢業生往往隻能去當數學家，或數學教師。當年如果不是拿到留校任教的名額，到社會上找一個數學研究生的職位，確實很困難。那是很多年以前，現在的情形也許改變了。在美國，數學是實用的，特別在當今社會，我們有很多好的職業的選擇：商務管理（統計師，精算師，成本估算師，業務運營經理等），數據科學家，計算機軟件程序員，工程師和科學家。

數學是人類智慧探索的結晶，她幾乎陪伴著每一次科技的飛躍。牛頓在發展力學的同時推動了微積分的建立。電磁學和電子學借助於傅立葉的理論。偏微分方程的理論，數值計算的發展，滲入了工業時代的進步。概率統計的理論為當今的大數據，機器學習，和人工智能準備了工具。

紐約大學教授Morris Kline [https://en.wikipedia.org/wiki/Morris_Kline]的《古今數學思想》（Mathematical Thought From Ancient to Modern Times）將數學的內容和思想貫穿出她的發展史。由18位俄國著名數學家於蘇聯時代撰寫的《數學：她的內容，思想，和意義》（Mathematics: Its Content, Methods and Meaning）[https://www.maa.org/press/maa-reviews/mathematics-its-content-methods-and-meaning]講述了20世紀以前主要的數學分支，它們的方法，以及它們在人類智慧發展上的意義。

斯坦福大學教授George Polya［https://en.wikipedia.org/wiki/George_Pólya］的《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）一書則闡釋了人類在探索世界，追求知識的努力過程，及常用的方法。看起來，數學的結果，理論往往是嚴謹的，精巧的，運轉於一絲不苟的邏輯之中，她的發展卻是和其他科學一樣，伴隨著數不清的大膽猜想，反複的推敲，精心的實驗，和慎密的論證。

從這個角度，數學是對人類知識的發展，對智力的開發。

數學的一大優勢在於她對抽象思維能力的強化培養。她幫助孩子剔除實物的質而得到量的概念，進入到數的世界。通過各種簡化和轉化，她引領孩子們學會計算。伴隨著五花八門的假設，她展列出包含著各種“未知”的方程（線性方程，微分方程，非線性，方程組）。進而，從數抽象到“群，環，域”，從幾何抽象到“拓撲”，和流行。從有限到無限，從“逼近”到微積分。一層層的新的概念和理論的建立，預示著一層層智慧的升華。就像高段的棋手，看到的是更多步後的棋局，和應對的策略。

數學的另一個特點是她對嚴謹習慣的培養，嚴謹是理性思維的基石。也就是說，數學能培養人的優異品質，嚴謹。父母有時會責罵孩子丟三落四，就像做數學題，錯了一個符號，忘記了小數點一樣。數學是一個很好的練習，因為她的對錯是肯定的且絕對的。嚴謹是一種素質，從小做起最容易。

記得一位蘇聯的科學院院士應邀數學係來講學，因是他與我的導師是莫斯科大學的同學，講話是也較放得開些，他把傳統數學和現代數學的關係類比成經典音樂與流行音樂的關係：現代數學很流行，成果關注度高，傳統數學做起來很幸苦，卻是很需要的。他很不屑地提到，如果那些細致的工作做的好，也不會出現“切爾諾貝利核事故”。看來他是有情緒的，但也不無道理。就因為矽穀的嚴謹的工程師越來越少，計算機，手機的質量也就越來越差（玩笑！）。

數學不但為我們提供了一套精密的語言來描繪這個世界，通過嚴謹的推導來揭示事物背後的規律，而且拓展我們的理解力，洞察力，想象力，和創造力。這也就算是為我的數學出身來推一下數學。