如何用數學證明“隻可意會，不可言傳”？

 

2016-09-28 07:29:23　來源: 科學大院 舉報

（原標題：如何用數學證明“隻可意會，不可言傳”？）

作者：黃逸文（中國科學院數學與係統科學研究院）

在生活中，我們常常聽到人們談起某件事、某種感受、某類技藝時感歎：隻可意會、不可言傳。

那麽，究竟是人類的語言詞匯貧乏，還是真的有某種神秘的力量讓人臣服於大腦表達的無能呢？讓我們從數學家哥德爾說起。

庫爾特·哥德爾(Kurt Godel)數學家、邏輯學家和哲學家。

哥德爾（1906-1978），著名數學家、邏輯學家、哲學家，生於捷克的布爾諾，1924年到維也納大學攻讀物理，兩年後轉讀數學係，1930年獲博士學位。後來，哥德爾去了普林斯頓高等研究院，在那裏，他成了愛因斯坦一直找尋的談伴，並被愛因斯坦視為知音。

他被譽為自亞裏士多德以來人類最偉大的邏輯學家。計算機之父馮·諾依曼曾這樣評價他：“哥德爾在現代邏輯中的成就是非凡的、不朽的——他的不朽甚至超過了紀念碑，他是一個裏程碑，是永存的紀念碑。”

那麽，哥德爾究竟做出了什麽貢獻，讓人們賦予他如此偉大的光環呢？

哥德爾與好友愛因斯坦

這就不得不說到哥德爾在1931年證明的一個定理——“哥德爾不完備定理”，正是這個定理讓哥德爾名垂千古。這個定理的成果直接影響到了今天的人工智能和大腦神經科學的前沿，並且也必將在未來人類的發展中起到至關重要的作用。

“哥德爾不完備定理”的主要內容可以如下表示：

在任何一個相容的形式化數學理論中，隻要它可以在其中定義自然數的概念，就可以在其中找出一個命題，在該係統中既不能證明它為真，也不能證明它為假。

換句話說：一個包含自然數的體係下，存在著一個問題，在該體係的基礎公理下永遠也不能證明該問題是對的，同時也永遠無法證明該問題是錯的。

在數學的曆史上，曾經多次出現這樣的問題。

舉世聞名的費馬大定理就曾經讓數學家陷入這樣的困惑。在三百多年的漫長探索中，很多數學家對費馬大定理是否能證明或給出反例都表示出了極大的悲觀。而另外兩個世界知名的數學難題——哥德巴赫猜想和黎曼猜想，由於哥德爾提出了幽靈般的不完備定理，迄今為止，也被少數數學家悲觀地預測為不能證明也不能否證的問題。

但是，這也並不表示此類問題就沒有解決的希望，隻不過是基於數論的基礎公理無法證明該類問題而已，人們需要利用其它形式係統的方法來實現跨界證明。費馬大定理最後就是利用橢圓曲線的工具才得以完美解決，1995年，英國數學家懷爾斯在潛心麵壁8年後終於解決了這個困擾人類358年的難題。

如果哥德爾不完備定理隻是在數學領域顯示出頑強生命力的話，那麽它的影響力要有限得多，而讓它真正大放異彩的，是其隨後在計算機和人工智能浪潮中的應用 。

電影《我，機器人》中的人工智能機器人桑尼

數學的基礎是建立在一係列的公理之上，在邏輯推理的輔助下往各個方向無限延伸。構成數學推理的語言是一套符號運算係統，在基本公理的奠基下，人們可以依靠邏輯遞歸地推導出一係列毋庸置疑的結論。

哥德爾不完備定理其實揭示了這種基於數論有限公理的形式主義邏輯的不完備性。即人們可以在其中添加無限多的公理而與之前的公理沒有任何矛盾，且這些新加入的公理無法用之前的公理遞歸枚舉得出。這對當代的計算機科學有著深遠的影響。

眾所周知，現代的計算機都是基於馮·諾依曼提出的二進製數字運算的基本原理和一係列基礎公理，其執行一般由輸入、處理和輸出組成。盡管計算機在速度和執行效率上有了日新月異的發展，但是其處理數據的思路仍然是基於一定的遞歸規則運算來判斷命題的真偽，從而輸出結果。

然而哥德爾不完備定理卻無情地揭示了計算機的隱患：至少存在一個命題，遞歸程序無法判斷其真偽。係統在處理這樣的問題時必然陷入無限卡殼的狀態。

解決這一致命缺陷的辦法隻有無限擴展公理集，但由於計算機的存儲始終是有限的，因此我們永遠也無法造出完美的計算機。這樣，基於馮·諾依曼理論構建的計算機從誕生開始就有著先天的“基因”缺陷。

也正因為如此，一些數學家認為人類的“直覺”不受該定理的限製，所以計算機永遠不可能具有人腦的能力。人工智能無論如何發展，也無法具備人類的智慧。

電影《我，機器人》截圖

但另外一些研究指出人類思維也是不完備的，人腦的“思考”和電腦的“運算”基本原理一致。

電腦用電子元件的“開、閉”和電信號的傳遞，人腦則相應表現為神經原的“衝動、抑製”和化學信號的傳遞。

這種相似的聯係直接導致人腦的思考也是符合哥德爾不完備定理的條件的，因此人類的思維係統也是不完備的。

在生活實踐中，人們是通過思考來建立對世界的客觀認識和描述的，而語言則是人們彼此交流思考結果的有力工具。

對人腦而言，思維推理係統的不完備也就意味著存在不能用思維證實的問題。

簡而言之，現實中總有那麽一些問題或者想法，我們無法用思維來證實或者否定它，從而也就無法用語言來完全準確的表達我們的思想。由於思維是客觀實在的近似反映，語言則是思維的近似表達。

這就是我們“隻可意會、不可言傳”背後的數學原因。