Sharpe ratio and Kelly formular

Sharpe ratio to choose a good game and Kelly formular to decided how to play.

Sharpe ratio

The Sharpe ratio is a measure of the excess return (or risk premium) per unit of risk in an investment asset or a trading strategy.
S = (R – r) / σ：

R = Return（ave return）

r = Non risk return（e.g bond）

σ = Standard Deviation

http://en.wikipedia.org/wiki/Sharpe_ratio

In general, a good game has Sharpe ratio over 1.

Example :
R=10%
r=3.5%
σ=16%
S=(10-3.5)/16=0.406

in every 6 years (averagely), there is a year that the return is lower than -6% (beyond 1σ)

2. Kelly Formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
f^{*} = (bp - q)/b
where:

* f* is the fraction of the current bankroll to wager;
* b is the net odds received on the wager (that is, odds are usually quoted as "b to 1")
* p is the probability of winning;
* q is the probability of losing, which is 1 − p.

f* = 投注金額占總資金的比例

p = 獲勝的概率

q = 失敗的概率，q = 1-p

b = 賠率，例如在輪盤賭中押單個數字，b = 35，押紅黑，b = 1。

上篇中講到的21點下注問題，假設總賭本10,000美元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1（實際勝率和賠率略有偏差，但相距不大），那麽凱利公式給出的最佳賭注是：

三個遊戲的數學期望值一樣，都是20%，或者說押100元平均贏20元。 按大部分國人的賭性，恐怕會選“小博大”遊戲吧？但是用凱利公式中的“b”一除，“小博大”遊戲隻能押總資金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。贏錢速度“大博小”快多了！ 前麵不是講過“久賭必贏的遊戲應該選波動性小的”嗎？ 說的就是這個了。

現實中，愛玩“小博大”的多半是賭客。 誰愛玩“大博小”呢？ 賭場！華爾街的職業投資家們很多玩的也是“大博小”，因為便於使用杠杆（押大賭注）。

$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200

三個遊戲的數學期望值一樣，都是20%，或者說押100元平均贏20元。 按大部分國人的賭性，恐怕會選“小博大”遊戲吧？但是用凱利公式中的“b”一除，“小博大”遊戲隻能押總資金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。贏錢速度“大博小”快多了！ 前麵不是講過“久賭必贏的遊戲應該選波動性小的”嗎？ 說的就是這個了。

現實中，愛玩“小博大”的多半是賭客。 誰愛玩“大博小”呢？ 賭場！華爾街的職業投資家們很多玩的也是“大博小”，因為便於使用杠杆（押大賭注）。

最後，凱利公式指明了風險控製的至關重要性：即便是正期望值的遊戲也不能押太大的賭注。從數學上講，押注資金比例超過了凱利值，長期的贏錢速度反而下降，還會大大增加出現災難性損失的可能性。舉個極端的例子，如果你每手都押上全部資金，那麽不管你贏過多少錢，隻要輸一次就立刻破產。正所謂：辛辛苦苦幾十年，一夜回到解放前