推理的基礎：符號和邏輯

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大約一百年前，有三個最偉大的數學家統領著數學研究，他們是希爾伯特，龐加勒，克萊因（這個克萊因是發現克萊因瓶，證明非歐幾何跟歐氏幾何同樣無矛盾的數學家克萊因，不是後來的數學教育家、哲學家克萊因）。

 

希爾伯特的數學哲學觀點基本上屬於形式主義，盡管他自己不承認自己是形式主義者：那是某些數學家的極端觀點，他本人擁有多種矛盾的數學觀。形式主義的觀點認為數學就是符號遊戲（從方程式開始的代數，從坐標係開始的解析幾何一直到希爾伯特對歐幾裏得幾何學的重新闡述），“數學和物理世界的緊密聯係是使它區別於僅僅是符號遊戲的一個必不可少的特征”。

 

龐加勒則這麽盡量非專業的解釋數學的困惑：

 

數學，確定性的喪失

若想預見數學的未來，正確的方法是研究它的曆史和現狀。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　──彭加勒 戰爭、饑荒和瘟疫能引起悲劇，然而，人類思想的局限性也能引起智力悲劇。本書論及的不幸事件降臨在人類最為卓著且無與倫比的成就，對人類的理性精神具有最持久和最深刻的影響—數學的頭上。 換句話說，這本書在非專業層次上探討數學尊嚴的興衰。看到數學現在的宏大規模，日益增多甚至呈繁榮之勢的數學活動，每年發表的數以千計的研究論文，對計算機興趣的該頭漲，以及尤其是在社會科學和生物科學中對定量關係的廣泛研究，數學的衰落何從談起？悲劇存在於何處？要回答這些問題，我們必須首先考慮是什麽為數學贏得了巨大的聲望和榮譽。 作為一個獨立知識體係的數學起源於古希臘，自它誕生之日起的兩千多年來，數學家們一直在追求真理，而且成就輝煌。關於數和幾何圖形的龐大理論體係為數學提供了一個看來似乎永無休止的確定性前景。 在數學以外的領域，數學概念及其推論為重大的科學理論提供精髓。盡管通過數學和科學的合作才獲得的知識用到了自然定律，但它們看來似乎與絕對的數學真理一樣絕對可信，因為天文學、力學、光學、空氣動力學中的數學所做的預測與觀察和實驗相當吻合。因此，數學能牢固把握宇宙的所作所為，能瓦解玄秘並代之以規律和秩序。人類得以趾高氣揚地俯瞰他周圍的世界，吹噓自己已經掌握了宇宙的許多秘密（實際上是一係列數學定理）。拉普拉斯的話概括了數學家們一直在不懈地尋求真理的信念。他說，牛頓是最幸運的人因為隻有一個宇宙，而他已發現了它的規律。 數學依賴於一種特殊的方法去達到它驚人而有力的結果，即從不證自明的公理出發進行演繹推理。它的實質是，若公理為真，則可以保證由它演繹出的結論為真。通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出顯然是毋庸置疑、無可辯駁的結論。數學的這套方法今天仍然沿用，任何時候，誰想找一個推理的必然性和準確性的例子，一定會想到數學。這種數學方法所取得的成功吸引了最偉大的智者，數學已顯示了人類理性的能力、根源和力量。所以他們猜測，為什麽不能把這種方法用到由權威、風俗、習慣控製的領域，比如在哲學、神學、倫理學、美學及社會科學中去尋求真理呢？人類的推理能力，在數學及自然科學中，是如此的卓有成效，肯定也將成為上述其他領域思想和行為的主宰，為其獲得真理的美和美的真理。因此，在稱作理性時代的啟蒙時代，數學方法甚至加上一些數學概念和定理，用到了人文事務中。 創造力最豐富的來源是後者。19世紀初的創造，包括令人奇怪的幾種幾何學和代數學，迫使數學家們極不情願地勉強承認絕對意義上的數學以及科學中的數學真理並不都是真理。例如，他們發現幾種不同的幾何學同等地與空間經驗相吻合，它們可能都不是真理。顯然，自然界的數學設計並不是固有的，或者如果是的話，人類的數學都未必是那個設計的最好詮釋。 開啟真理的鑰匙失去了，這一事實是降臨到數學頭上的第一個不幸事件。 新的幾何學和代數學的誕生使數學家們感受到另一個宇宙的震動。尋求真理的信念使數學家們如醉如癡，總是迫不及待地用嚴密論證去追求那些虛無飄渺的真理。認識到數學並不是真理的化身動搖了他們產生於數學的那份自信，他們開始重新檢驗他們的創造。 他們失望地發現數學中的邏輯形容枯槁，慘不忍睹。 事實上，數學已經不合邏輯地發展。其不僅包括錯誤的證明，推理的漏洞，還有稍加注意就能避免的疏誤。這樣的大錯比比皆是。這種不合邏輯的發展還涉及對概念的不充分理解，無法真正認識邏輯所需要的原理，以及證明的不夠嚴密；就是說，直覺、實證及借助於幾何圖形的證明取代了邏輯論證。 不過，數學仍然是一種對宇宙的有效描述，而且在許多人心裏，特別是在柏拉圖主義者看來，數學自身當然還是一個頗具魅力的知識體係，一個因具真實性而受到青睞的部分。因此，數學家們決定彌補丟失了的邏輯結構，重建有缺陷的部分。在19世紀下半葉，數學的公理化運動格外引人注目。 到1900年，數學家確信他們已實現了自己的目標。盡管他們不得不滿足於數學僅能作為宇宙的一個近似描述的觀點，許多人甚至放棄了宇宙的數學化設計這一信念，但他們的確慶幸他們重建了數學的邏輯結構。然而，他們還沒來得及炫耀自封的成功，在重建的數學中就發現了矛盾。一般稱這些矛盾為悖論，這是避免直接說矛盾而破壞了數學邏輯的委婉用語。(羅素悖論) 當時那些領頭的數學家幾乎立刻就投身於解決這些矛盾，結果他們構想、闡述甚至推出了四種不同的數學結構，每一種都有眾多的追隨者。那些基礎的學派不僅努力解決已有的矛盾而且力爭避免新的矛盾出現，就是說，建立數學的相容性。在這些基礎研究中又出現了其他的問題，某些公理和演繹邏輯推理的可接受性也成為幾個學派采取不同立場的重要原因。 到1930年，數學家已滿足於接受幾種數學基礎的一兩個，並且宣稱自己的數學證明至少和這些學派的原則相符。但是，災難再次降臨，形式是K．哥德爾的一篇著名論文。 哥德爾證明了那幾個學派所接受的邏輯原理無法證明數學的一致性。這還不包括論文裏其他一些意義重大、影響深遠的結果。哥德爾表明，對已取得的成功提出質疑不能不用到非常可疑的邏輯原理。哥德爾定理引起一場巨變。隨後的發展帶來了更大的麻煩。例如，就連過去極度推崇的、被認為是精密科學方法的公理化—演繹方法看來也是有缺陷的。這些新的發展給數學增加了多種可能的結構，同時也把數學家分成了更多的相異群體。 數學的當前困境是有許多種數學而不是隻有一種，而且由於種種原因每一種都無法使對立學派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體係──1800年時的尊貴數學和那時人的自豪—現在都成了癡心妄想。與未來數學相關的不確定性和可疑，取代了過去的確定性和自滿。 關於“最確定的”科學的基礎意見不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點說，是讓人尷尬。 目前的數學或是故作深沉，或是對廣泛承認的真理，所謂完美無缺的邏輯的拙劣模仿。 有的數學家認為，關於接受什麽作為真正數學的不同觀點，有一天會統一起來。這些人中比較有名的是一群署名為布爾巴基的法國領頭數學家。 然而，更多的數學家並不樂觀。 數學的終極基礎和終極意義尚未解決，我們不知道沿著什麽方向可以找到最終答案，或者甚至於是否有希望得到一個最終的、客觀的答案。“數學化”很可能是人類原始創造力的一項創造性活動，類似於語言或音樂，其曆史觀點否認完全客觀的合理性。 用哥德的話說：一門科學的曆史就是這門科學本身。 對於正確的數學是什麽所存在的分歧以及不同基礎的多樣性不僅嚴重影響數學本身，還波及到最為生機勃勃的自然科學。 我們將看到，最先進的自然科學理論（即這種理論的結論可以在感覺上或實體上體現出來。例如假設我們一點也不懂電磁波是什麽，但我們卻能聽到收音機中傳出的聲音），全都是數學化的。因此，沒有親自對數學基礎下過功夫，而又不打算花費數年時間研究不完美的數學的科學家，一定會關心什麽樣的數學能被理直氣壯地應用。 真理的喪失，數學和科學不斷增加的複雜性，以及何種方法用於數學是最保險的不確定性，已使大多數數學家放棄科學。風聲鶴唳，草木皆兵，數學家們不得不退回到證明方法看起來似乎很安全的數學領域。 他們還發現人為編造出來的問題比自然界提出來的問題更富魅力，處理起來更加得心應手。 因完美的數學是什麽而產生的危機和矛盾還阻礙了數學的方法在許多其他文化領域中的應用，如哲學、政治科學、倫理學、美學。找到客觀、正確的定律和標準的希望變得微弱了，理性時代已經過去。 盡管數學令人不滿意，方法複雜多變，對可接受公理持不同意見，還有隨時可能出現的新矛盾，都會殃及大部分數學，但是，一些數學家仍然把數學應用於自然現象中，而且事實上把應用領域擴大到經濟學、生物學和社會學。 數學的繼續有效給我們兩點啟示。 第一點是這種有效性可用作判別正確性的準則，當然這個準則是暫時性的。今天認為正確的，也許下次應用時就會證明是錯的。 第二點涉及到未知。真正的數學是什麽？對此並無定論。為什麽數學依舊有效？我們是在用不完美的工具製造奇跡嗎？如果人類已經被欺騙了，大自然也會受騙而屈服於人類的數學命令嗎？顯然不會。而且，正是憑借建立在數學之上的技術，人類成功地登上了月球，探測了火星和木星。這難道不是對宇宙中的數學理論的證實嗎？那麽，數學的人為因素與變幻莫測又何從談起呢？當心智和靈魂迷惘不定的時候，軀體能生存下去嗎？當然對於人類本身及數學，確實如此。因此我們應該去研究為什麽會這樣。盡管數學的基礎尚不確定，數學家們的理論亦彼此衝突，而數學卻已被證明成就輝煌，風采依然。