正文
如果我們承認Black Scholes的假設，那麽所有衍生合同（derviative)的價格，包括Leveraged ETF和Option，必須遵守下麵的 Black Scholes 微分方程。
在上麵這方程裏，V 是衍生和同的價格， S 是原來underlying asset的價格，sigma 是 價格的volatility，r 是利率， t 是時間。為了簡單起見，我們假設利率為0，那麽這方程就簡化為：
dV/dt = -(1/2) * sigma^2 * S^2 * d^2V/dS^2.
注意 dV/dt 就是 theta --- decay，而價格二階導 d^2V/dS^2 就是 gamma, 於是我們得出：
decay = -0.5 * volatility平方 * 價格平方 * gamma.
這個公式給出了衍生合同decay的標準計算，它是對所有衍生和同，包括leveraged etf和期權，都成立。
在這裏特別看一下JNUG, 假設GDXJ的價格是x, JNUG的價格是y, 做為三倍leveraged的etf, 我們有：
dy/y = 3 * dx/x.
解上述簡單常微分方程， 我們有 y = C * x^3， 這裏 C>0 是一常數。在此我們可以看到 JNUG 的價格和 GDXJ 的價格不是線性關係，而是3次方關係，這就說明 y 對 x 的二階導是大於 0 的，用 trader 的語言就是 long gamma. 從上麵 Black Scholes 公式可以看出 decay 的存在。
一般講 long gamma 必然要付 decay， 這在理論上是公平的， 但一般散戶由於種種原因不能充分利用 gamma 使得 gamma 白白浪費同時要付 decay，這樣長期持有leveraged etf變成一個頭疼的事。關於如何從期權， leveraged etf種提取 gamma value， 以後有時間再吹吧。
在上麵這方程裏，V 是衍生和同的價格， S 是原來underlying asset的價格，sigma 是 價格的volatility，r 是利率， t 是時間。為了簡單起見，我們假設利率為0，那麽這方程就簡化為：
dV/dt = -(1/2) * sigma^2 * S^2 * d^2V/dS^2.
注意 dV/dt 就是 theta --- decay，而價格二階導 d^2V/dS^2 就是 gamma, 於是我們得出：
decay = -0.5 * volatility平方 * 價格平方 * gamma.
這個公式給出了衍生合同decay的標準計算，它是對所有衍生和同，包括leveraged etf和期權，都成立。
在這裏特別看一下JNUG, 假設GDXJ的價格是x, JNUG的價格是y, 做為三倍leveraged的etf, 我們有：
dy/y = 3 * dx/x.
解上述簡單常微分方程， 我們有 y = C * x^3， 這裏 C>0 是一常數。在此我們可以看到 JNUG 的價格和 GDXJ 的價格不是線性關係，而是3次方關係，這就說明 y 對 x 的二階導是大於 0 的，用 trader 的語言就是 long gamma. 從上麵 Black Scholes 公式可以看出 decay 的存在。
一般講 long gamma 必然要付 decay， 這在理論上是公平的， 但一般散戶由於種種原因不能充分利用 gamma 使得 gamma 白白浪費同時要付 decay，這樣長期持有leveraged etf變成一個頭疼的事。關於如何從期權， leveraged etf種提取 gamma value， 以後有時間再吹吧。
It's NOT ok to hold 3X ETF long. a basic 3X ETF rule.
Short both/Dual and call that Dual-lock.
I hold Dual-lock LT, pay quite high short fees. But profit is also quite good.
好文章!
Just 陽春白雪 曲高和寡