找除數與翻硬幣

首先我們來做個小遊戲，這個絕對是原創，通過這個遊戲，希望你能對我們將要討論的這個數學小知識有個直觀的認識與深刻的理解。

先做一個比較簡單的實驗，這個你可以親手試一試，因為簡單，也就是一兩分鍾的時間就可以搞定。

拿出十個硬幣來，一樣不一樣沒有關係，甚至可以找其它類似的東西來代替。把這10個硬幣反麵朝上擺在桌子上，把硬幣從左到右從1到10給標上號碼（想象就可以，不需要真正寫上）。然後按下麵這個規則來翻硬幣：

第一次：把所有的硬幣都翻過來 （也就是把所有標號能被1整除的硬幣翻過來）
第二次：把標號為2，4，6，8，10的硬幣翻動一下 （也就是把所有標號能被2整除的硬幣翻過來）
第三次：把標號為3，6，9的硬幣翻動一下 （也就是把所有標號能被3整除的硬幣翻過來）
。。。
第十次：把標號為10的硬幣翻動一下 （也就是把所有標號能被10整除的硬幣翻過來）

問題是：經過以上的程序後，那些硬幣變成麵朝上了。

如果通過實驗你已經找到答案了，請想想結果有什麽規律。然後再往下讀。

如果把硬幣的數目變成100呢？通過試的方法可能就要費很多時間了，因此需要分析才行（這就是分析的優點所在）：

桌子上有100個硬幣，每個硬幣從1到100給標上號。開始都是反麵朝上的。
第1次將每一個硬幣都翻動一下，
第2次隻翻動標號為2，4，6，。。。，100的硬幣，
第3次隻翻動標號為3，6，9，12，。。。99的硬幣，
第4次隻翻動標號為4，8，12，16，。。。96的硬幣，
以此類推。翻動完第一百次以後，哪些硬幣是正麵朝上的？

其實，稍加分析就可以知道，按照上麵的規則，每個硬幣被翻動的次數恰好是它的標號的除數的個數，比如說，第50個硬幣，被翻動了多少次呢？共被翻動了6次，因為50有6個除數：

50全部的除數：1，2，5，10，25，50

也就是說，標號為50的硬幣在翻動的過程中，在第1次，第2次，第5次，第10次，第25次，第50次各被翻動了一次。因為一共被翻動了6次，而6是個偶數，所以最後硬幣50的麵還是朝下的。

那麽，給定任意一個自然數，怎樣算出它有多少個除數呢？（除數又叫因子，divisors, or factors)。有個很簡便的方法來算。首先，把這個數表達成素數冪的乘積的形式，可以用觀察與實驗的方法很容易找出來。比如168，很容易發現它可以表達為:  

168=2^3*3*7  (也就是 168=2*2*2*3*7）

把每個素數上的冪指數拿來加1，然後相乘，就是這個數的乘數的個數。如果用N表示的話，則

N=（3+1）*（1+1）*（1+1）=16.

於是，168 有16個除數。它們分別是：

168的除數：1, 2，3, 4，6，7，8，12，14，21，24，28，42，56，84，168。

借用小沈陽的一句台詞，“這是為什麽呢？”

如果我們做進一步觀察的話，以上的除數是成雙成對的，比如說，2和84，它們的乘積是168，3與56也的乘積是168等。因為如果168能被某數乘除的話，它的商肯定也是整數，也肯定是個除數。這樣我們看到，如果這些除數都互不相等的話，那麽這個數肯定不是平方數，因此所以非平方數的除數是偶數。如果某數恰好是個平方數，比如25，那麽它的除數中，肯定有一對是相等的，也就是5和5，相當於一個除數。注意，任何一個數，都最多隻可能有一對這樣相等的除數。因此平方數的除數個數肯定是奇數。

這就是我們所要用到的一個數學小知識，用它可以輕鬆地解決我們在本文前麵所提出的問題：


1. 一個數是    平方數，它的除數的個數是奇數。
2. 一個數是非平方數，它的除數的個數是偶數。

答案：標號為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的硬幣最後麵朝上。