說說《數學趣談》
一般的n球問題是指下麵的問題：有n 個外表一模一樣的球，其中有一個球是怪球，它和其它的 正常球重量不同。現在隻有一個天平可用，請問至少要用多少次天平才可把怪球找出來，並告知它比正常球是輕還是重？
當n=12時，就是著名的12球問題，它的表述如下：有12個外表一模一樣的球，其中有一個怪球重量不同於其他11個正常球。隻允許使用三次天平，如何找出怪球並弄清輕重？
在給出12球問題解答之前，我們先定義帶信息的球。我們的球有灰白黑綠四種顏色，它們的具體含義是：綠色代表正常球，白色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球則它比正常球輕，黑色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球則它比正常球重。換句話說，白色黑色球含有部份信息，如果知道它是怪球，就知道它是輕還是重了。灰色球則沒有任何信息，即便我們知道它是怪球，它是輕是重還得進一步確定。
一開始12個球都是灰色球。
各取4球分別放在天平的兩側。分兩種情況分析。
第一種情況，兩邊相等，8個球均是正常球，塗上綠色，還剩4個灰色球。取3個綠色球放天平一側，3個灰色球放另一邊。如兩邊相等，將3個灰色球塗上綠色，剩下一個灰色球（和一個綠色球）再稱一次便知輕重了。如兩邊不等，給3個灰球塗上顏色：灰球重則塗黑，輕則塗白。剩下的灰球是是正常球，塗綠。最後三個白球或者黑球，再稱一次可找到壞球。如壞球為白則輕，為黑則重，無需再稱了。以白球為例，天平兩邊各放一個白球，如兩邊想等則為正常球，都塗綠，最後的白球是怪球並且較輕；如兩邊不等則輕的為怪，其它的白球塗綠。
第二種情況，兩邊不等，未稱的4個灰球為正常球，塗上綠色。剩下的8個球，分別塗上白色黑色：重的那邊為黑，輕的那邊為白。取兩個白球放天平左邊，兩個白球放天平右邊，天平左右各加一個黑球。如兩邊相等，天平上的球全部正常，塗上綠色，剩下的兩個黑球分放天平兩側再稱一次可知重的那個為怪球。如兩邊不等，說明怪球要麽在輕的那邊兩個白球之中，要麽是重的那邊的黑球，如何確定是哪種呢？將懷疑中的白球分放在天平兩邊再稱一次便知。
12球問題是個大家耳熟能詳的問題，但這個特殊解法卻是作者自己想出來的。我最早把這個解法告訴女兒，她為此專門做了一期視頻，在油管上發表，標題是 “Can you solve the classic 12 marbles riddle?”，有興趣的讀者不妨找來看看。
知道歌德爾的人可能不多，不知道愛因斯坦的人應該也不多。晚年的愛因斯坦曾經說過：他自己的工作已不重要，他之所以要去研究所（Institute for Advanced Study）上班僅僅是因為能夠享有和哥德爾一起走路回家的特權。
上世紀末的時代周刊列出二十世紀一百位對人類影響最大的人物，哥德爾作為數學家名列其中。自然，這樣的名單不可能少了物理學家愛因斯坦。哥德爾的全名是庫爾特·弗雷德裏希·哥德爾（KurtFriedrich G¨odel），於1906年4月28日 出 生 在 奧 匈帝 國 的Br¨unn。 Br¨unn是那時的地名，現在改做Brno，譯作布爾諾或布隆，而且國名也改了；1918年第一次世界大戰結束後叫捷克斯洛伐克，現在就叫捷克了。
哥德爾生性多疑，愛提問題，因此家人給他取了個外號，叫“為什麽”先生。他有一個大四歲的哥哥，叫魯道夫·哥德爾。值得一提的是他爸爸也叫魯道夫·哥德爾。 父子同名在中國從未聽說過，在西方卻不鮮見，可以充分體現東西方文化的截然不同。 老魯道夫沒讀多少書，12歲就進了紡織學校，後來進了紡織工廠並因為工作出色而成了股東，過上了富裕生活。 媽媽叫Marianne，受過良好的教育，哥德爾兄弟的早期教育都受惠於她。
哥德爾自幼多病，而且從小就患有疑病症。在他八歲的時候，得過一次風濕熱（rheumatic fever）。 雖然風濕熱並沒有給他帶來長期的傷害，病痛的痛苦卻讓他刻骨銘心。他的多疑促使他閱讀有關書籍，了解到該病可能有的所有副作用，包括對心髒的損害。醫生一再強調他並沒有這些副作用，他卻堅信醫生沒說實話。這大概就是疑病症的起因。
哥德爾的疑病症伴隨他一生。 他曾經懷疑有人要毒害他，所有的食物都要由他的妻子先嚐一嚐才肯進食。後來他幾乎隻吃他妻子為他準備的食物，別人的食物一律不碰。 曾經有段日子他妻子因病住院，不能給他做飯了，於是他就停止進食，終於把自己餓得瘦骨伶仃。
1978 年 1 月14 日偉大的哥德爾於普林斯頓病逝，那時他的體重不到三十公斤。
1924年哥德爾進了維也納大學。一開始他鍾情物理，兩年後決定主攻數學。開始準備學數論，後來他參加了由莫裏茲·石裏克（Moritz Schlick）主持關於數學哲學的學術討論班，從而對數理邏輯產生了興趣。
現在來談談哥德爾的不完備性定理，該定理被稱為二十世紀最偉大的數學成果之一。
德國數學家康托爾創建了集合論，用同樣是德國數學家的希爾伯特的話來說，就是為數學建造了一個天堂。現代數學的很多分支，就是建造在集合論的基礎之上。然而二十世紀初英國邏輯學家和數學家羅素發現的悖論，直接引發了數學史上的第三次危機。
為了處理這場危機，分別產生了三個不同的數學學派，它們是邏輯學派，直覺主義學派和形式係統或形式主義學派。希爾伯特就是形式係統學派的領軍人物。
形式係統學派的目標是要把數學建立在一套無矛盾的並且是完備的形式係統之上。
一個係統如果不會導出相互矛盾的結果，該係統就是無矛盾的，英文單詞是consistent。 一個能夠由公理和已知定理根據係統內的規則推導出來的命題就是真命題，也就是定理。在一個無矛盾的係統中，不可能出現一個命題和它的否命題同時為真的情況。
什麽是完備性？在一個形式係統中，一個命題可以是真的，也可以是假的。係統的完備性要求，所有的真命題都能通過該係統的內部規則推導出來。也就是說，一個命題為真當且僅當它可以通過該係統的內部規則推導出來。換句話說，一個係統如果不完備，就一定存在某個命題是真的，但卻不能通過該係統的內部規則推導出來。經過該係統的內部規則推導的過程也叫證明。
希爾伯特是二十世紀最偉大的數學家之一，也是最後一位在數學的幾乎所有領域都有重大貢獻的數學家。 他在1900年召開的第二次國際數學家大會會上提出的23個著名的數學問題對數學發展產生了巨大的影響。 希爾伯特認為數學領域不應該有不可知，所有的真命題都應有令人信服的證明。他的墓誌銘刻著他的名言：我們必須知道，我們定能知道！
哥德爾第一不完備性定理：在任何一個包括自然數體係的形式係統中，如果該係統是無矛盾的，那麽它一定是不完備的。
該定理直接顛覆了希爾伯特的認知：數學中的確存在不可知。哥德爾第二不完備性定理：任何一個包括自然數體係的形式係統，它自身的無矛盾性不可能在係統內部獲得證明。
非常有趣的是第二不完備性定理可以由第一不完備性定理導出。
在解釋了什麽是不完備性定理後，書中還比較詳細地介紹了什麽是哥德爾數，什麽是哥德爾命題以及什麽數是定理數並考慮下麵一個命題函數T(n): n不是一個定理數。
非常奇妙的是這樣一個平凡無奇的命題函數，將帶給我們一個顛覆認知的結果：數學中的確存在真命題但卻永遠無法被證明。
不完備性定理是油管上的一個熱門話題，不少視頻都談到過它。但本書中提到的方法和它們都不相同，是比較簡單好懂的了，有興趣的朋友不妨讀一讀其中的證明。
有趣的數學問題還包括以下章節：數學中的悖論，奇妙的無窮大，希爾伯特旅館，中國剩餘定理，有趣的概率問題和貝葉斯定理，每一章都花了不少心血。
《數學趣談》快百日了，為什麽想了解它的人少之又少？唉，時運不濟，命途多舛，隻好躲在深閨人未識了。
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