最折騰人的數學問題
蔣聞銘
這一篇我們聊三體問題。開普勒行星運動的三大定律，是他根據第穀的觀測數據硬描出來的。後來有了微積分，有了牛頓力學，又有了萬有引力定律，牛頓就搞了一個極端簡化的宇宙模型。他寫了一組微分方程式，研究兩個質點在相互的引力作用下的運動軌跡。這就是牛頓的二體問題了。有了方程就求解。解出來一看，二體問題的解，和開普勒的三大定律，是一回事。數學一般是先有了方程再求解。現代天體力學，倒過來，先有解後有方程。
二體問題解決了，下麵就輪到了三體問題。太陽係如果隻算太陽地球，就是二體問題。但是如果把木星也算上，就成了三體問題。作為數學問題，二體問題的解，簡潔完美，到了三體問題，就要了命。任牛頓怎麽折騰，就是解不出來，最後搞得他害頭疼。這個是他自己在書裏說的。不單是他，後來的數學家，整個十八世紀十九世紀，有一個算一個，拉格朗日，拉普拉斯，柯西，歐拉，高斯，龐加萊，都被這個三體問題，折騰得不要不要的。
不過呢，不管數學家們怎麽折騰，這個三體問題，卻是越折騰越沒指望。折騰到後來，連究竟要怎樣，才算是把三體問題解決了，大家都沒能弄得明白。別的數學問題，費馬大定理，龐加萊猜想，黎曼猜想，哥德巴赫猜想（這個列在這裏有些不倫不類，不夠資格，不過知道它的中國人多，馬馬虎虎吧）,這個定理，那個猜想，再難，解決沒解決，總有個明確的說法。這個奇葩的三體問題，作為數學問題怎麽才算是被解決了，到現在連個明確的說法都沒有。說三體問題，是從古到今，最難的數學問題，恐怕沒人會不同意。
搞不出精確解，就搞近似解。什麽意思呢？算月亮的軌道，第一要考慮的，是地球的引力，其他不考慮，就是二體問題。但是因為有其他天體，所以月亮的真實軌道，和二體問題的解，就有誤差。這個誤差，以古人的觀測手段，測不出來，所以可以忽略不計。但是後來觀測精度提高得賊快，看月亮成了定海船的位置的主要手段，二體問題就不行了，要考慮太陽的吸引力。這就成了三體問題，解不了。不過太陽畢竟離得遠，對地球月亮的相對運動，影響不大。所以就先把地球月亮，用二體問題的解，做為起始，把太陽的影響，當著是對二體問題的解的小擾動。月亮地球是兩口子，太陽長得俊，老在人家麵前晃，對這兩口子的關係，還是有些小影響。
這個影響什麽時候是多大，算起來可就要了命。但是航海有需要，多難多煩都得算。這樣的計算，和哥白尼當年的那十幾個輪子比，要麻煩成千上萬倍。 這就是天體力學的攝動理論了。算軌道攝動，先要推公式，後要算具體的位置。舉個例子，美國當年有個天體力學家C.W. Hill，算月亮全世界有名，先花了十年推公式，再用他推的公式算月亮的具體位置。算月亮的位置，需要雇幾屋子的人一起算。
攝動理論最有名，最轟動的成就，是發現海王星。當年的天文望遠鏡，做起來沒那麽難。所以一大幫人，天天拿著望遠鏡看天，指望著發現點什麽新鮮的，青史留名。還真有一位，發現了天王星。不過天王星的軌道，大家算來算去，總算不準。有人就說算不準，恐怕是因為還有其它大家不知道的行星，在做擾動。這麽一說，就有人當了真，對自己說能不能算算看，這個未知的行星，需要有多大多遠，軌道是什麽樣子，才能對天王星的運動，產生現在觀測到的偏差。他應用攝動理論，算了幾年，出了結果，說某月某日，這顆以前我們不知道的行星，應該出現在某個位置上。到了時候，拿望遠鏡一看，果然有一顆星在那裏。這就是海王星了。
當然現在有了計算機，算行星的軌道，人造衛星的軌道，就用不著手推公式了。 人造衛星剛出來的時候，算軌道也還需要用手推公式。隻是最近這三十年，計算機真正發達了，算軌道就完全不用手推了。結果就是現在，算行星軌道的，和研究三體問題的，正式分了家。算軌道的，在天文係和行星科學係。把三體問題當數學問題研究的，都在數學係。
