在KDE235大師對f(x)存在性的證明過程中，提到了等價關係與等價類的概念。明了這兩個概念及其基本性質是明了其證明過程的前提條件。作為一個學習筆記，下麵簡述一下我對這兩個概念通俗與淺顯的理解。
在初等算數中有除法，例如，我們要把80個蘋果裝到袋子裏，每袋裝8個蘋果，問可裝多少袋子。類似於此，我們在日常生活中經常要對某些事物按該事物的某種特性進行分類，比如按性別對人或動物的分類，按品種或顏色對花卉或植物的分類。這種分類和算數中的除法有類似之處，都是將一個整體做某種分拆。但在數學中，具體說集合論中，對這種分類有著更嚴格與明確的定義。
這種嚴格的定義基於“等價關係”上。在一個給定的集合 S 中，如果每個元素對(a, b)之間都有某種二元關係（這種關係可以是自然存在的，也可以是定義出來的），且這種關係同時滿足如下三種性質，就稱這種關係為等價關係：
1。具有自身反射性：就是每個元素必須自身對自身 (a,a) 要符合這種關係。
2。具有對稱性：即如果a 與 b 具有這種關係，那麽 b 和 a 具有同樣的關係。
3。具有傳遞性：即如果a 與 b , b 與 c 具有這種關係，那麽可以推知 a 與 c 也同樣具有這種關係。
例如，如果把汽車按顏色來分類，那麽汽車的顏色是否一樣就是一個等價關係。某一品牌的手機按型號來分類，也是一種等價關係。此外，把一堆淩亂的三角形按是否相似來分類，也是一種等價關係（兩個三角形隻要形狀相似，就是等價的）。另一個例子是把整數按餘數來分類，例如選某個給定的非零整數 k 做除數，把所有的整數按所得的餘數來分成k個不同的類別，所得的餘數也是一種等價關係（兩個數n,m隻要除以k之後所得餘數相等，就稱這兩個數是等價的）。
相反地，把小麵團擀成餃子皮這種操作得出的餃子皮的形狀就不是一個等價關係，因為同樣的麵團擀出來的 餃子皮不一定是同樣的形狀。此外，大於（或小於）的關係，也不是等價關係，因為這種關係不具有對稱性。兩個數之間互素也不能構成等價關係，因為互素的數對沒有傳遞性 （2和3互素，3與8互素，但是2與8不互素）。
當一個集合中每兩個元素對都具有某種特定的等價關係的時候，在記法上記為a ~ b。這裏~表示它們之間既定的等價關係（例如同餘關係，或相似關係等）
所有的相等關係都是等價關係，而等價關係並不一定是相等關係。例如當x -->0時候，sin(x) 與 tan(x) 都是無窮小，在這個意義上它們互相等價，但並不相等。
把一個集合按等價關係進行分類之後，每個具體的類別組成一個等價類，是原來集合的一個子集。例如，汽車按顏色分類後，所有的紅車組成紅車類，藍車組成藍車類等，這兩種顏色的車都是原有汽車的一個子集。如果用5作為除數，所有的整數按餘數可分為0，1，2，3，4 的餘數類，每個餘數類都是整數集的子集。
在一個等價類之內，所有的元素是彼此等價的，因此，在記法上，選取該等價類內的任一個元素作為這個等價類的代表，用一個中括號來標識這個等價類。例如，[3]={k; k= 3 (mod 5)} 代表除5餘3的等價類，當然，你也可以用[8]來表示該等價類，因為8除5的餘數也是3。
等價類的一個重要性質是，基於一個等價關係來對集合 S 進行分類，每個等價類都是S的一個子集，如此得到的這些等價類子集是彼此獨立的（彼此沒有交集），而且集合S中的每個元素能且隻能屬於一個等價類子集。這是一種很科學的分類方法，經此方法分類之後的結果清晰明了，不會有模糊的地方。
用上麵的方法分類之後，在數學上就稱對這個集合進行了除法運算。所得到的子集稱為這個等價關係~的商集，記為S/~. 。
