為敘述方便，我將您原來的推導中各公式加上了序號，這樣說起來更方便一些。
從第（4）式到第（5）式沒有看懂。因為（4）式右麵第一項是 -GM/y. 如果分母是t, 即-GM/t 是可用直接積分的，但如果分母是y可以嗎？
從結果（6）來看，t=0 沒有意義，這和物理實際好像不符。
在常微分方程中，記得有一類可解方程名為歐拉方程，在n階次微分項 （d^n）y/（dt）^n 前麵有 t^n 這樣的係數 （對這題來講隻有二次導數，其對應的歐拉方程係數為 t^2），但本題中係數是y^2 ( 3式中兩邊同乘y^2), 有些不好處理。 但是似乎應該有某種變換可以將其變為常係數方程或某種能直接積分的方程。
我有一個思路，不知道有沒有用。因為當z《R 的時候，z =1/2 g t^2, 因此如果 z =f（t），則f（t）因該有這個性質。即當t足夠小時，f（t）= 1/2 g t^2 + 高階無窮小。憑直覺，這裏t足夠小，應該和前麵得出的周期相比而言，即 T=2*pi*sqrt(R/g)， 做變換，tao = t/T = t*sqrt(g/R）/2pi ； 用tao來做無量綱的變量。
另外，雖然不影響這個討論，我後來仔細想了一下，發現（1）式右麵應該有個負號，因為萬有引力是向下的，和z坐標相反。此處z是石頭在空中到地麵的距離，向上為正向。
這個方程換一下元就很容易（是不是我想簡單了）？
GM/(R+z)^2 = d^2z/dt^2 （1）
設 y = R+z （2）
則 d^2y/dt^2 = GM/y^2 （3）
dy/dt = -GM/y + C1 （4）
y = -GM*ln(t) + C1*t + C2 （5）
因此
z = y-R
= -GM*ln(t) + C1*t + C2 - R （6）
C1 和 C2 都是常數
