亦解

這道題是挺有意思，整個圖形有對稱性，想到兩種解法

1. 利用梅涅勞斯(Menelaus)定理
設 BM:ML:LE = a:b:c
則對三角形ABE和直線FC用梅氏定理,有
 BM/ME * EC/CA * AF/FB = 1
即  a/(b+c) * 2/3 * 2/1 = 1
  a/(b+c) = 3/4    ---- (1)

再對三角形BCE和直線DA用梅氏定理，有
  BD/DC * CA/AE * EL/LB= 1
  2/1 * 3/1 * c/(a+b) = 1
  c/(a+b) = 1/6          --- (2)
 
由（1),(2)可解出 a:b:c = 3:3:1
同理可得
  AL:LN:ND = CN:NM:MF = BM:ML:LE = a:b:c = 3:3:1
 
於是 S_LMN = LM/BL * S_BNL
          = LM/BL * NL/OL * S_BDL
          = LM/BL * NL/OL * DL/AD * S_ABD
          = LM/BL * NL/OL * DL/AD * BD/BC * S_ABC
          = b/(a+b) * b/(b+c) * (b+c)/(a+b+c) * 2/3 * S_ABC
          = b^2/((a+b)(a+b+c)) * 2/3 * S_ABC
          = 3^2/（6*7） * 2/3 * S_ABC
          = 1/7 * S_ABC
          = 35/7
          = 5
 
 
2. 向量法
任取一點O做原點， 設O指向三角形頂點的向量分別為
   OA = a
   OB = b
   OC = c
// 注： 除開特別標明，所有變量都是向量
設法把O指向其它點的向量也用a,b,c表示。 由|BD|:|DC|=2:1,知
   OD = 1/3*OB + 2/3*OC = 1/3*b + 2/3*c
同樣，
   OE = 1/3*c + 2/3*a
   OF = 1/3*a + 2/3*b
現在來求OL
 因為L在AD上，有數值m使得
 OL = m*OA + (1-m)*OD
    = m*a + (1-m)*（1/3*b + 2/3*c）
    = m*a + (1-m)/3*b + 2（1-m)/3*c   --- (1)
 L又在BE上，因此有數值n使得
 OL = n*OB + (1-n)*OE
    = n*b + (1-n)*(1/3*c + 2/3*a)
    = 2(1-n)/3*a + n*b + (1-n)/3*c      --- (2)

因此 m = 2(1-n)/3
    (1-m)/3 = n
     2(1-m)/3 = (1-n)/3
可得 m=4/7, n=1/7
因此 OL = 4/7*a + 1/7*b + 2/7*c
由對稱性可知
    OM = 4/7*b + 1/7*c + 2/7*a
    ON = 4/7*c + 1/7*a + 2/7*b
 MN = ON-OM = -1/7*a - 2/7*b + 3/7*c
            = -2/7(b-a) + 3/7(c-a)
            = -2/7*p + 3/7*q    
            /// p=b-a， q=c-a
 ML = OL-OM = 2/7*a -3/7*b + 1/7*c
            = -3/7(b-a) + 1/7(c-a)
            = -3/7*p + 1/7*q
如是
 S_LMN = 1/2 * (MN x ML)    // x 表示叉乘
       = 1/2 * （-2/7*p + 3/7*q) x (-3/7*p + 1/7*q)
       = 1/2 * 1/49 * (-2p + 3q) x (-3p + q)
       = 1/2 * 1/49 * (-2pxq - 9qxp)
       = 1/2 * 1/49 * (-2pxq + 9pxq)
       = 1/2 * 1/49 * 7 * (pxq)
       = 1/2 * 1/7 * (2*S_ABC)
       = 1/7 * S_ABC
       = 5

所有跟帖： 

• 梅涅勞斯定理用得好！也可以用所謂的燕尾定理來證明所割線段比是3:3:1 -萬斤油- ♂ (0 bytes) () 03/04/2024 postreply 21:24:28