好像把不等號弄反了。 原題似應為
已知非負實數a,b,c滿足
a^2 + b^2 + c^2 = 3
求證
a^3b + b^3c + c^3a >= 3abc
證明： 我們先證下麵的結論： 對任意非負實數a,b,c，有
(a^3b + b^3c + c^3a)(a+b+c) >= 3(a^3bc + b^3ca + c^3ab) ---- (1)
注意 (a^3b + b^3c + c^3a)(a+b+c) - 3(a^3bc + b^3ca + c^3ab)
= a^4b + b^4c + c^4a + a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 + a^3bc + b^3ca + c^3ab
- 3(a^3bc + b^3ca + c^3ab)
= a^4b + b^4c + c^4a + a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 - 2(a^3bc + b^3ca + c^3ab)
= (a^2b+b^2a)(a^2-2ac+c^2) + (c^2b+cb^2)(b^2-2ab+a^2) + (a^2c+ac^2)(c^2-2bc+b^2)
= (a^2b+b^2a)(a-c)^2 + (b^2c+bc^2)(a-b)^2 + (a^c+ac^2)(b-c)^2
>= 0
故(1)成立
又由Cauchy不等式 9 = (1+1+1)(a^2+b^2+c^2) >= (a+b+c)^2
因此 a+b+c <= 3
代入(1)式:
3(a^3b + b^3c + c^3a) >= (a^3b + b^3c + c^3a)(a+b+c) >= 3(a^3bc + b^3ca + c^3ab)
因此 a^3b + b^3c + c^3a >= a^3bc + b^3ca + c^3ab = abc(a^2+b^2+c^2) = 3abc
