改進後的問題(c)-- 就按家長任選一個孩子來回答

c) 有一大群雙子女家庭，任選其中一個，問：“你家有男孩嗎？”家長答：“有”。再問“請告訴我某一個男孩是星期幾出生的？”家長(若有兩個男孩,則隨機地選中老大或老二的出生信息)答“某一個是星期二出生的。”問另一個是男孩的幾率？

解：

原始的樣本空間為:

S0:{雙子女家庭}

當問：“你家有男孩嗎？”家長答：“有”。這時，樣本空間就縮減為:

S1:{雙子女家庭且至少有一個男孩}

 

設事件: A -- 選中的男孩是星期二出生的

        B -- 另一個(未選中的孩子)是男孩

        C -- 這家隻有一個男孩

        D -- 這家有兩個男孩，家長選中的男孩是老大

        E -- 這家有兩個男孩，家長選中的男孩是老二

事件C,D和E是樣本空間S1的一個劃分(P(C)=2/3,P(D)=P(E)=1/6),於是,在樣本空間S1中:

P(A) =P(AC)+P(AD)+P(AE)

     =P(A|C)P(C)+P(A|D)P(D)+P(A|E)P(E)

     =(1/7)(2/3)+(1/7)(1/6)+(1/7)(1/6)=1/7

P(AB)=P(ABC)+P(ABD)+P(ABE)

     =P(B|AC)P(A|C)P(C)+P(B|AD)P(A|D)P(D)+P(B|AE)P(A|E)P(E)

     =0(1/7)(2/3)+1(1/7)(1/6)+1(1/7)(1/6)=1/21

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/21)/(1/7)=1/3