三個特例，包括（難度-低）。望起拋磚引玉之功效。

來源: 皆兄弟也於 2010-07-07 15:15:44 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀：次 (1833 bytes)

A B 兩人分m個相同大小的蛋糕。A切。B有n 次“優先權”可以使用。 n<=m
當A分好一個蛋糕後，B可決定是否使用他的一個“優先權”來選擇其中的一塊。如果B用光其“優先權”或選擇pass，則A會先選。

老規矩，A B 都是和你一樣的聰明人，都要使自己利益最大化。

問雙方會如何運作。
分析：
設每塊蛋糕重W。一個蛋糕分子重[0] 。
特例1：n = 0, 即B沒有 “優先權”了。
A將每塊蛋糕切下一個分子給B，自己拿走其餘。A = m*W – m*[0]；B = m*[0]。

特例2：n = m, 即B對A切的每塊蛋糕都有 “優先權”。
A隻好老老實實將每塊蛋糕切成一半對一半。結果呢，A = m*W/2；B = m*W/2。

特例3：m = 2, n = 1。即兩塊蛋糕，B 有一次“優先權”。
A將第一塊蛋糕切成W/2 – d1， W/2 + d1兩塊。此時，
一. 如果B行使“優先權”，則A = W/2 – d1；B = W/2 + d1。這時，B就沒有 “優先權”了。
A再將第二塊蛋糕切成 W–[0]和[0] 兩部分。A取W–[0]。
結果，A1 = W/2 – d1 + W –[0] = 3W/2 – d1–[0]；
B1 = W/2 + d1 + [0]。
二. 如果B不行使“優先權”，則A = W/2 + d1；B = W/2 - d1。這時，B在第二次一定行使其“優先權” 。
A隻好老老實實將第二塊蛋糕切成一半對一半。
結果，A2 = W/2 + d1 + W/2 = W + d1；
B2 = W/2 - d1 + W/2 = W - d1。
比較一.和二.兩種情況, B2要根據所得多少來決定何時行使“優先權”。
令 B1 - B2 = W/2 + d1 + [0] - W + d1 = 2* d1 - W/2 = 0，則d1 = W/4。也就是說，
當d1 = W/4時，即A將第一塊蛋糕切成W/4， 3W/4兩塊，B1 = B2，B何時行使其“優先權”都無所謂。不難驗證，
當d1 < W/4時，即A將第一塊蛋糕切成兩塊， W/4 < 小塊 <= W/2，W/2 <= 大塊 < 3W/4，B1 < B2，這意味著A將第一塊蛋糕切成兩塊的差距不夠大，所以B不對第一塊蛋糕行使“優先權”。
當d1 > W/4時，即A將第一塊蛋糕切成兩塊， 0 < 小塊 < W/4， 3W/4 < 大塊 < W，B1 > B2，這意味著A將第一塊蛋糕切成兩塊的差距夠懸殊，所以B值得對第一塊蛋糕行使“優先權”。