數學學習的層次,特別歡迎數學高手來指點

數學的層次有三:

  • 能做別人做過,而且做出答案的題,這個層次屬於數學學習的層次
  • 能做前人沒有做出的題,比如張益唐。
  • 能提出一個讓大家都來做的題,比如希爾伯特
  • 能建立數學體係的,如歐拉

這裏隻討論最低層次,既數學學習的層次,這裏又有幾個亞層次:

  • 我能做的題:AMC,AIME,USAMO
  • 我能看懂的題,琢磨琢磨也能做的題:奧賽,Putnam
  • 我看不懂的題,即使題目看懂,答案完全看不懂:比如 阿裏巴巴全球數學競賽

有人問 阿裏巴巴能否到達AMC的高度?

看一下最新的AMC12第25題(理論上最難):

這題並不難,其實就是 tan倍角公式,記不住也可以 (cos nx + i sin nx) =e^(inx) 展開得到,

ai=(-1)^([i/2]) C(n i)

a2023=-C(2023 2023) =-1


再來看 Putnam 第5題:

a, b, c, A, B, C are reals with a, A non-zero such that |ax2 + bx + c| ≤ |Ax2 + Bx + C| for all real x. Show that |b2 - 4ac| ≤ |B2 - 4AC|.

這裏隻需要花功夫分類:(1)B2 > 4AC  (2B2 < 4AC (3B2 = 4AC. 因為相同的兩個根x1,x2.因為 |A|>|a|, 所以 |ax2 + bx + c|  = a(x-x1)(x-x2) <= A(x-x1)(x-x2) = |Ax2 + Bx + C|


最後看 阿裏巴巴全球數學競賽題,大多數看不懂,隻看懂第5題:

題目看得似懂非懂,答案更是不知所雲。有沒有高手解釋一下

由此,不得不對得了 93分的 年僅16歲的中專服裝設計專業女孩薑萍由衷佩服。她的年級在美國也不過是10年級或者即將11年級。哪個美國中學生能做上麵的題?  起碼我的小孩差了十萬八千裏

所有跟帖: 

BSO哈。大周末的,誰願意死那麽多腦細胞 -windflypig- 給 windflypig 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:33:46

少了一個層次:能發現前人沒有發現的數學工具 -槍迷球迷- 給 槍迷球迷 發送悄悄話 槍迷球迷 的博客首頁 (156 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:36:22

這是創造層麵的了 -兩女寶媽- 給 兩女寶媽 發送悄悄話 兩女寶媽 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:55:04

微積分不是創造,是發現 -槍迷球迷- 給 槍迷球迷 發送悄悄話 槍迷球迷 的博客首頁 (115 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:02:11

微積分是創造,不是發現。 -不能再沉默- 給 不能再沉默 發送悄悄話 (573 bytes) () 06/30/2024 postreply 00:46:51

隻能以天賦來解釋了:) -兩女寶媽- 給 兩女寶媽 發送悄悄話 兩女寶媽 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:36:51

是的,這小姑娘應該有天生的直覺,在這年齡光有解題能力達不到如此程度。 -黑貓巡行- 給 黑貓巡行 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:37:54

是不是跟那個印度的數學天才似的? -成功的小猴子- 給 成功的小猴子 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:48:46

目前看應該沒啥可比性,畢竟做題和創造出數學公式是天地之別吧。天賦的頂點在哪裏自己都不知道,更何況是吃瓜群眾? -兩女寶媽- 給 兩女寶媽 發送悄悄話 兩女寶媽 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:52:22

Ramanujan? 他一人是一個層次。他隨手寫的幾千個公式,每一個都夠全球數學家花幾百年研究,但他從來沒證明。像是偷看 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:00:20

Ramanujan像是一個偷看了天書的人 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:17:28

問題是如何才能偷看到天書啊。。。太令人驚奇了 -兩女寶媽- 給 兩女寶媽 發送悄悄話 兩女寶媽 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:33:42

這就叫開了天眼了。 -小鬆鬆- 給 小鬆鬆 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 14:47:35

兄貴數學造詣深厚。 -Bebe54321- 給 Bebe54321 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:44:57

我數學不怎麽好,但最後一題讀懂很容易 -專業潛水媽- 給 專業潛水媽 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 12:52:25

讀懂的意思是轉化成數學問題。這個問題如何入手,需要證明的數學公式是什麽呢? -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:02:38

我覺得是要證明凸多麵體所有的點都在一個橢圓形的內部。做法應該是從最簡單的多麵體開始想和推導。 -專業潛水媽- 給 專業潛水媽 發送悄悄話 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 14:39:36

關鍵是3倍,怎麽來的 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 17:45:35

中英文都有 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:12:16

套路提示:過中心的平麵切麵是(橢)圓內接/含中心對稱凸多邊形 :) -網戀無罪- 給 網戀無罪 發送悄悄話 網戀無罪 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:06:36

(橢)圓半徑/軸長/周長/麵積,內接多邊形周長/麵積(大於等於內含多形的)或許能建立起個不等式關係? :) -網戀無罪- 給 網戀無罪 發送悄悄話 網戀無罪 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:11:15

聽上去好像茅塞頓開,但一著手還是束手無策 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:11:17

或者 多邊體的中心對稱頂點的連線和(橢)球 軸(直徑)建立不等式? :) -網戀無罪- 給 網戀無罪 發送悄悄話 網戀無罪 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:23:44

可能要把所有中心對稱凸多邊形頂點比例延伸(影射)到一個最小外接球麵上? :) -網戀無罪- 給 網戀無罪 發送悄悄話 網戀無罪 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:36:55

厲害啊:) -兩女寶媽- 給 兩女寶媽 發送悄悄話 兩女寶媽 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:41:03

這女孩英文也好,趕快來美國讀數學吧 -gladys- 給 gladys 發送悄悄話 gladys 的博客首頁 (0 bytes) () 06/15/2024 postreply 13:59:48

有興趣學進去就可以,數學和其他東西一樣也是要花時間的 -恒媽- 給 恒媽 發送悄悄話 (126 bytes) () 06/15/2024 postreply 14:10:58

數學的最高境界是做出對社會進步有益的推動,而不是在比做人類設計出的難題。 -gpu- 給 gpu 發送悄悄話 gpu 的博客首頁 (66 bytes) () 06/15/2024 postreply 15:19:54

我說的四個層次,都是對社會進步有益。比如拉馬努金設計了很多難題,非常多的數學家花費一生 -兄貴- 給 兄貴 發送悄悄話 兄貴 的博客首頁 (678 bytes) () 06/15/2024 postreply 17:14:46

那個女孩是經濟原因不去讀高中,幸好她遇到了一個數學高材生做老師,超前學習和高材生一對一討論,最終沒有辜負天才。兩個寂寞的 -馬來人- 給 馬來人 發送悄悄話 馬來人 的博客首頁 (36 bytes) () 06/15/2024 postreply 18:53:33

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