2006年8月28日《紐約客》雜誌上有一篇文章叫“流形的命運”。文章講的是數學界在證明“龐加萊猜想”過程中的一些事件。主要人物是目前公認的證明者格裏戈裏·佩雷爾曼以及幾何拓撲領域的大師丘成桐。
這篇文章之所以對中國讀者特別有趣，是因為它給丘成桐這位1982年菲爾茨獎得主描繪了一幅難看的肖像。在佩雷爾曼發表他的證明之後，丘成桐極力推薦他的學生和同事曹懷東和朱熹平發表他們的證明，並聲稱這兩個人是最先實質證明了這個猜想的人。因為數學界公認最困難最關鍵的部分由佩雷爾曼破解，後來人做的沒有特殊貢獻，因此丘成桐似乎有意掠奪猜想證明的功績。文章中也談及丘成桐對他的學生田剛進行攻擊的事情。文章發表後，丘成桐表示要采取法律行動，不過後來似乎也不了了之了。曹懷東和朱熹平野修改了他們的文章，更好地說明了一些受到爭議的部分。
文章寫的有聲有色，因為該文的主要作者，Sylvia Nasar，是我們熟知的寫《美麗心靈》約翰納什的那個人。
不過讀後，我倒是對佩雷爾曼這個人的故事感興趣，覺得應該給讀者們介紹一下。丘成桐的事次要。
首先說說龐加萊猜想是什麽，因為這個猜想現在已經被證明了，就是龐加萊定理了。
如果用數學語言嚴格來說，龐加萊猜想是這樣的：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球麵同胚。
用非數學語言來說就是：每一個沒有洞的封閉三維物體，都“等價”於一個三維的球麵。這裏說的等價是拓撲意義上的，不過我們不需深究。
“單連通“指的是沒有洞。粗淺的比喻是：把一個橡皮筋圍繞在一個像柳橙一樣東西的表麵，因為可以既不扯斷它，也不讓它離開表麵，就可以使它慢慢移動並收縮為一個點；那麽柳橙這樣的東西，它的表麵就是“單連通的”。與此對比，同樣的橡皮筋套在一個甜甜圈上，有些皮筋在不離開表麵的情況下怎麽收縮也不能成為一個點，除非扯斷橡皮筋或者甜甜圈。因此，甜甜圈那樣的東西，它的表麵不是“單連通的”。
圖中環麵上兩個上色的圓均無法連續地收緊成一點。因此環麵就不與球麵同胚。
自1904年龐加萊猜想被提出來以後，很多人都試圖解決它。有趣的是，三維以上，也就是四維，五維的情況，到八十年代就被證明了，但是三維卻沒有。於是龐加萊猜想也就是一個關於三維球體特征的難題。由於它對數學和物理尤其是宇宙學都有著重要的意義，而且多年來都遲遲未能被解開，被視為非常重要的問題之一。
也許有人想知道這個猜想為什麽那麽重要，但內容太多，我們今天就掠過不說了，還是講故事重要。
故事的主人公佩雷爾曼是個俄國猶太人，可以說是人們能想象的典型數學家，雖然現實生活中可能沒有幾個這樣的。解決了這個問題之後，丘成桐得到的菲爾茨獎，它的委員會也決定把這個數學界最高名譽獎項頒給佩雷爾曼，但他拒絕了，他說， “每個人都明白，如果證明是正確的，就不需要其他認可的方式。” 另外一個叫克雷數學研究所的本來就是要給解決這個問題的人一百萬美元獎金的，他也拒絕了。2005年，佩雷爾曼辭去了他一直工作的俄國斯特克洛夫數學研究所的研究工作，2006年又表示對數學領域的道德標準感到失望，退出專業數學研究。現在他隱居在聖彼得堡，自 2006 年以來一直沒有再接受采訪。
你可以說他不食人間煙火，但也許一個純粹的數學家真不需要這些。
佩雷爾曼的父親是一名電氣工程師，一直鼓勵他對數學產生興趣。“他讓我思考邏輯和其他數學問題。買了很多書給我讀。教我下棋，也為我驕傲。”他父親送給他的書中有一本是《娛樂物理學》，這本書在十九世紀三十年代是蘇聯的暢銷書。在前言中，作者將內容描述為“難題、腦筋急轉彎、有趣的軼事和意想不到的，大量引用儒勒·凡爾納、H·G·威爾斯、馬克·吐溫和其他作家的觀點，因為，除了提供娛樂，這些作者描述的奇妙實驗很可能成為物理課上的指導性插圖。”這本書的主題包括如何從行駛中的汽車上跳下來安全，為什麽“根據浮力定律，我們永遠不會在死海淹死。” 也許有點像中國的《十萬個為什麽》。
十四歲的時候，他已成為當地數學俱樂部的明星。1982年，丘成桐獲得菲爾茲獎時，佩雷爾曼在布達佩斯舉行的國際數學奧林匹克競賽中獲得滿分並獲得金牌。他是同年級的兩三個猶太人之一，對歌劇充滿熱情，這也使他在同齡人中很不尋常。他母親是一所技術學院的數學老師，拉小提琴，在他六歲時開始帶他去看歌劇。佩雷爾曼十五歲時，他開始把零用錢花在唱片上，很高興能擁有一張 1946 年著名的《茶花女》的唱片，尤其喜歡莉西亞·阿爾巴內塞 (Licia Albanese) 飾演維奧萊塔 (Violetta)。“她的聲音非常好聽，”他說。
1982年，16歲的佩雷爾曼進入列寧格勒大學學習幾何學，在學校裏表現優異，解決了斯特克洛夫研究所數學家尤裏·布拉戈 (Yuri Burago) 提出的問題，後者後來就成為佩雷爾曼的博士學位導師。 “有很多能力很強的學生，先說後想，”布拉戈說。“格裏沙不同。他想問題很深。他的回答總是正確的，也總是非常仔細地檢查。”布拉戈補充道：“他解決問題的速度不快。速度沒有任何意義。數學並不取決於速度，而在深度。”
九十年代初，在斯特克洛夫學院，佩雷爾曼成為黎曼空間和亞曆山德羅夫空間幾何（傳統歐幾裏得幾何的擴展）方麵的專家，並開始在俄羅斯和美國領先的數學期刊上發表文章。1992年，佩雷爾曼受邀到紐約大學和石溪大學各學習一個學期。那年秋天，當他前往美國時，俄羅斯經濟已崩潰。麻省理工學院的數學家丹·斯特羅克（Dan Stroock）回憶說，他那時曾將不少美元走私到俄國，送給斯特克洛夫研究所的一位退休數學家，這位數學家和他的許多同事一樣，當時非常貧困。
可想而知，佩雷爾曼這時候很高興能來到國際數學界之都美國。他每天都穿著同樣的棕色燈芯絨夾克，並以麵包、奶酪和牛奶為食來省錢。他喜歡步行到布魯克林，在那裏他有些親戚，還可以買到傳統的俄羅斯黑麵包。他的一些同事被他幾英寸長的指甲所驚訝。他說：“如果指甲要長，我為什麽不讓它們長呢？” 每周一次，他和一位名叫田剛的年輕中國數學家開車前往普林斯頓大學，參加在那裏的高等研究院的研討會。
幾十年來，高等研究所和附近的普林斯頓大學一直是拓撲研究中心。七十年代末，普林斯頓大學數學家威廉瑟斯頓提出了一種對三維流形進行分類的分類法。他認為，雖然流形可以呈現出許多不同的形狀，但它們都有一個“首選”的幾何形狀。
瑟斯頓提出，每個三維流形都可以分解為八種類型中的一種或多種，也包括球形類型。瑟斯頓的理論（後來被稱為幾何化猜想）描述了所有可能的三維流形，因此是對龐加萊猜想的有力概括。如果這一點得到證實，那麽龐加萊猜想也將得到證實。
1982 年，瑟斯頓因其對拓撲學的貢獻而獲得了菲爾茲獎。那一年，康奈爾大學的數學家理查德·漢密爾頓發表了一篇關於“裏奇流”方程的論文，他覺得該方程可能會解決瑟斯頓猜想以及龐加萊猜想。就像熱方程描述熱量如何在物質中均勻分布（例如，從金屬板的較熱部分流向較冷部分）以產生更均勻的溫度一樣，裏奇流通過消除不規則性，提供了更均勻的幾何形狀。
漢密爾頓是辛辛那提一位醫生的兒子，他打破了數學界對書呆子的刻板印象。他很不講究，騎馬、衝浪，交過很多女友。他雖然很聰明，但把數學視為生活的樂趣之一。所以雖然有這些開創性文章，但發表的文章相對較少，他的研究生也少。佩雷爾曼讀過漢密爾頓的論文，並去聽他在高等研究院的演講。佩雷爾曼對他的工作很感興趣，但因為性格不同，他隻是害羞地跟漢密爾頓說話。
“我真的很想問他事情，”佩雷爾曼回憶道。“ 其實我不必害羞，漢密爾頓總是麵帶微笑，很有耐心。他實際上告訴了我一些幾年後他才發表的東西，毫不吝嗇。漢密爾頓的大方慷慨確實吸引了我。我不能說大多數數學家都是這樣做的”。
“我當時正在做不同的事情，盡管偶爾我會考慮裏奇流，”佩雷爾曼說道。“你不用是一位偉大的數學家就能看到這對幾何化有用。我感覺我在這方麵知道的不多，所以我一直在問他問題。”
1993年，他得到在伯克利為期兩年的獎學金。在那裏，漢密爾頓在校園裏做了幾次演講，其中一次他提到他正在研究龐加萊方程。漢密爾頓的裏奇流策略很有技術性，用起來不容易。在伯克利的一次演講結束後，他也告訴佩雷爾曼他最大的障礙。當空間在裏奇流下變得平滑時，某些區域會變形為數學家所說的“奇點”。一些被稱為“頸部”的區域變成了無限密度的衰減區域。更令漢密爾頓煩惱的是一種他稱之為“雪茄”的奇點。漢密爾頓擔憂的是，如果雪茄形成，可能就不能實現均勻的幾何形狀。佩雷爾曼意識到，他自己的關於亞曆山德羅夫空間的論文可能會幫助漢密爾頓解決雪茄問題，並進而證明瑟斯頓猜想和龐加萊猜想。“有一次，我問漢密爾頓，他是否知道我已經證明但未發表的某個結果，可能非常有用，”佩雷爾曼說。“但我發現他根本聽不懂我在說什麽。”
在伯克利分校的第一年結束時，佩雷爾曼已經寫了幾篇引人注目的原創論文。他被邀請在 1994 年 I.M.U 上發表演講。在蘇黎世舉行的大會上，並受邀申請斯坦福大學、普林斯頓大學、高等研究院和特拉維夫大學的職位。和丘成桐一樣，佩雷爾曼也是一位令人生畏的解決問題能手。他不是花費數年時間構建複雜的理論框架或定義新的研究領域，而是專注於獲得特定的結果。
佩雷爾曼喜歡同時解幾個問題。但在伯克利，他發現自己一次又一次地回到漢密爾頓的裏奇流方程以及漢密爾頓認為他可以用它解決的問題。佩雷爾曼的一些朋友注意到他變得越來越宅和遠離生活。來自聖彼得堡的客人住在他的公寓後，對他有的陳設如此簡陋感到震驚。當斯坦福大學招聘委員會的成員向他索要簡曆時，佩雷爾曼拒絕了這個請求。“如果他們了解我的工作，就不需要我的簡曆，”他說。“如果他們需要我的簡曆，他們並不了解我的工作。”
最終，他收到了幾份工作機會，但他全都拒絕了，並在 1995 年夏天回到聖彼得堡，繼續他在斯特克洛夫研究所原來的工作，在那裏他的月薪不到一百美元。 但他告訴一位朋友，他在美國存了足夠的錢來度過餘生。他的父親兩年前搬到了以色列，他的妹妹計劃大學畢業後去以色列和他一起生活，隻有他的母親決定留在聖彼得堡，佩雷爾曼就搬去和她一起住。“我意識到在俄羅斯我工作得更好，”他說。
年僅二十九歲，佩雷爾曼已經確立了數學家的地位，但基本上沒有專業責任的負擔。他可以自由地研究他想要解決的任何問題。斯坦福大學數學家雅科夫·埃利亞什伯格（Yakov Eliashberg）在伯克利認識佩雷爾曼，他認為佩雷爾曼回到俄羅斯就是為了研究龐加萊方程。“為什麽不呢？”佩雷爾曼說道。
1995 年，漢密爾頓發表了一篇論文，討論了他完成龐加萊證明的一些想法。讀完這篇論文後，佩雷爾曼意識到漢密爾頓在克服他提到的障礙（前麵提到的脖子和雪茄）方麵沒有任何進展。然而，佩雷爾曼認為他找到了解決的方法。1996年，他給漢密爾頓寫了一封長信，概述了他的想法，希望能夠合作。“他沒有回答我，”佩雷爾曼說。“所以我決定獨自工作。”
2002 年 11 月 12 日，丘成桐收到了一封來自一位俄羅斯數學家的電子郵件，他沒有馬上想起這個數學家是誰。“我想提請您注意我的論文，”電子郵件中寫道。
前一天，也就是11 月 11 日，佩雷爾曼在 arXiv.org 上發表了一篇長達 39 頁的論文，題為“裏奇流的熵公式及其幾何應用”，該網站是數學家用來發布預印本的網站，這些文章等待在審稿期刊上發表。然後，他通過電子郵件將論文摘要發送給美國的十幾位數學家，其中包括漢密爾頓、田剛和丘成桐，這些人多年來都沒有收到他的消息，現在，在郵件的摘要中，他解釋說他寫了幾何化猜想的“證明草圖”。
我把故事就講到這裏了，其它後麵的事情種種有必要再說。
總之，佩雷爾曼逐漸把他的證明全部發上來了。
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