（二）數學之美
數學，美在無形，又美在有形。她就像天都峰上望西施，是3D型的。具體地講，數學，美在思維，美在抽象，美在結構，美在自然。
數學思維之美，如天馬行空，卻又長纓在握。這在前麵的例子裏已略有所見，而大家對5歲的高斯脫口算出從1加到100的事，也是耳熟能詳。我這裏再舉兩例。
[例六]：
101人參加淘汰製的乒乓球單打比賽。問一共要舉行多少場比賽，才能決出冠軍？
普通做法是，101分成兩半等於50 (100/2=50，有一人輪空）；50再折半為25…如此分下去，最後結果是：50+25+13+6+3+2+1=100（場）。
這種分析正確。但如果把問題放大，說有10001人參賽呢？再用上述方法就麻煩了。現在換一個角度想，假設你是那個冠軍。那你一定淘汰了所有與你相遇的選手。因此，可以把這些選手的比賽次數全記在你的頭上。而這些選手，也是淘汰了所有與他相遇的選手後才與你相遇的，所以，他們比賽的次數就等於他們實際的比賽次數，加上被他們淘汰的選手的比賽次數。如此循環下去，就清楚了：求總的比賽次數，就等於說，你是趙雲，與這100名高手一一相遇，又全將他們一一挑翻。所以，答案就是100場。同理，當擴展為10001人比賽時，答案就是1萬場。
[例七]：
開數學年會那天，來了編號為1號，2號，3號等等無窮多位數學大師。會址附近有一個九星級賓館，有編號為1號，2號，3號等等無窮多個房間。因此，每位數學大師各自住在自己的編號所對應的房間，大師一個不餘，房間也一個不剩。這不成問題。巧的是，黑旋風這廝也趕來湊熱鬧，並且強牛一頭，橫豎要住進那賓館。但沒有一個大師願意搬出，怎麽辦，為難之際，店老板聰明的女兒一看，來了一蟀鍋，說，這好辦。叫第1號大師挪到第2號房，第2大師挪到第3房，依次類推，每位大師依然各住一間房，而第1號房，還真的空出來了。
數學抽象的美，在高數中比比皆是(如測度論，拓撲學) ，我這裏用下個簡單的例子說明。
你可能覺得全體整數（即，0，±1，±2，±3，等等直到無窮）太複雜，想把它們簡單分類。怎麽分？數學家說，好辦。把所有2的倍數歸成一類，把所有不是2的倍數歸成另一類，如此，全體整數就隻成了兩類：2的倍數類和2的非倍數類；而且，可在這兩類中各找一典型代表，即0和1。這樣一來，在數學家的眼裏，全體整數其實就兩數：0和1。你也許覺得這不過是數學遊戲而已，其實不然，在現實生活中，我們常常做這樣的歸類。比方說，壇子裏有各種年齡、各種性格的人（包括孩子、學生、青年人、中年人和老人），但歸納起來，就兩種人：左派和右派（早幾天，不是還有人想統計人數嗎？）。你可能說，我既不是左派，也不是右派。那好，用3來分割整數（集），則出現三類：0，1，和2（即3的餘數為0，為1和為2這三類）。如果還要細分成極左，左，中間，右和極右等等，則隻要將3改成4，或5，或6等等就行了。而數學的分支---抽象代數（又叫近世代數），也可以和這個分類結構聯係起來。
數學結構的美，在於她簡潔，規律和統一。
用文字來描述勾股定理，也許說了半天，別人還是稀裏糊塗。畫個圖，寫個公式，完了。
從楊輝三角中，你會看到對稱的美。當然，你也會驚訝，用富有規律性的泰勒展開，就能非常漂亮地逼近一條曲線。而解析幾何裏的橢圓，雙曲線，拋物線，都可以統一在一個二次方程裏，並且，還可以形象地用圖形來表示---用不同的角度去切兩個對頂的錐體，所得截口就會分別形成那三個圖形，因此也就理解了為什麽把它們統一稱作圓錐曲線(見下圖)。
數學美在自然
這句話的意思是，大自然的美麗，許多都和數學有關(都可用數學來描述) 。
你肯定注意到了，有些人的身材真漂亮。但你注意過沒，有經驗的報幕員，常常不站在舞台的中央，而是站在偏左(或偏右)一側？你也想沒想過，要是把你手中的信用卡換成正方形的，感覺會怎樣？
這些，都和數學上一個叫做黃金分割比的數有關(這個數通常記為大寫希臘字符Φ。它是一個無理數，
，即Φ略等於1.618)。黃金分割比Φ和圓周率π（也是一無理數，略等於3.142），歐拉數e（還是一無理數，略等於2.718）一起，為三個著名的數學常數(事實上，有兩個公式把這三個數聯係起來，這讓我們再次看到數學統一的美)。下麵，我先談Φ的枯燥的代數性質，後談它的美學實例。
不論是無意的自然之為，還是有意的人為，上麵的那些現象，都給人以美感。數學家們發現，某種特殊的比例關係，常悅人耳目。而大自然中的許多現象，的確都遵循或接近這種比例關係。這種特殊的比例關係就是，將一線段分成長短不一的兩截，如果全線段長與較長的那一段的比，恰好等於較長的那一段與較短的那一段的比，則感覺很美(見下圖)。
換成數學語言就是：令 a/b = x，則有：
解上述一元二次方程，求得其正根為：
這個數告訴我們，長寬之比為1.618比1的長方形看起來最舒服。這就是為什麽你喜歡長的，而不是方的信用卡的原因了。
有趣的是，黃金分割比Φ的倒數(記為小寫希臘字符φ，
)
等於黃金分割比Φ-1，即 1 .618 – 1 =0.618，它是大Φ的孿生姐妹，是較長的那一段a與全長(a+b)的比(從而實質上也是黃金分割比) ，它所對應的點就是上麵那個線段的截口，所以我稱小φ為黃金分割點(談線段分割，用小於1的φ；談矩形的長寬比，用大於1的Φ) 。
我們知道，無理數是不能用(整)分數表示的。但是，注意到Φ的兩個性質(請參考那個一元二次方程*)：
1）
因此，可將上式寫成：
2）
也就是說，
這裏很有趣地看到，利用級數，可以把有理數和無理數，有窮和無窮聯係起來。
你可能覺得上麵談的這一切都枯燥無味，那麽來看一看黃金分割比在實際生活中的應用吧。從小到隻有幾納米的DNA螺旋結構，到碩大無比的星係，從音樂，建築，美術，攝影構圖，到動植物造型，最後到人體本身，都可找到黃金分割比的影子。為省時間，我這裏就隻貼圖證明。
(帕特農神廟---長寬比為1.618的矩形，俗稱黃金矩形)
(DNA雙螺旋結構的一鏈，長寬比為 3.4納米:2.1納米 = 34:21≈ 1.619 ≈ Ф)
(鸚鵡螺---近似黃金對數螺線，見下麵關於螺線的那一段解釋)
(螺旋星係)
(蒙拉麗莎畫像---黃金三角形和黃金矩形)
(斷壁的維納斯---看看有多少黃金分割比)
壇子裏的MM們大概最希望她們的身材為小φ(即0.618) 了，就像我一樣。不過，如果我的這個0.618是個反序的呢(即上半身是0.618，下半身是0.382。看看，我這裏又用到了數學的排列，即順序原理) ，嗬嗬，豈不成了芙蓉姐姐？現在，大家也知道我為什麽稱6月18日是美麗的日子了。而我也注意到，端午節有許多年都是在618前後。讓誌潔行廉稱物芳的屈子，落在唯美的黃金分割點上，這或許是天意吧。
讓我們再來看一看瀟灑飄逸的(對數)螺線。
它的特點是，每轉四分之一圈，螺距就擴大到1.618倍。注意它與阿基米德螺線(比如我們以前常用的蚊香)不一樣，阿線是等距展開，而對數螺線則是加速展開。
大家注意沒有，上麵那條螺線，我是通過在那些不斷變大的正方形內畫1/4圓弧而得到的。這些變大的正方形有什麽特點呢？它們的邊長構成一個特殊的數列：
{0，1，1，2，3，5，8，13，21，等等}
看出規律來沒？從第三項起，任一項是其前麵緊相鄰的兩項的和(事實上，我正是這樣添加正方形的) 。寫成(遞歸形式的) 通項公式就是：Fn = Fn-1 + Fn-2 (n≥3) 。
上述數列，就是大名鼎鼎的菲波那契數列(Fibonacci)。它源自中世紀意大利著名的數學家菲波那契(1170-1250) 提出的一個問題：一對成年兔子(雌雄各一隻) 每個月產一對小兔(雌雄各一隻) ，每對小兔需要一個月才長成成年兔子。如果第一個月沒有兔子，第二哥月開始出現一對小兔(雌雄各一隻) ，問以後的每個月，兔子對數的總數是多少？答案就是上麵談到的那個數列(建議大家考一考孩子們) 。
菲波那契數列有什麽特點呢？隨著n的增大，雖然取值是越變越大，但相鄰兩項的比值，卻越來越接近黃金分割比Ф(即1.618，事實上，這個比值的極限就是Ф) 。而且，可以證明：
上麵這個公式給出了菲波那契數列的直接表示法(即不用它的前一項或前兩項來表示) 。有趣的是，Ф是一個無理數，通過進行冪次方的組合，結果變成了一個有理數，而且還是正整數。嘿嘿，有理和無理，就在不經意之中完成了乾坤大挪移。
菲波那契數列在自然界中廣泛存在。從植物花瓣的分布數目，到向日葵蕊和綠花菜的展開，再到前麵提到過的DNA鏈的長寬數(34x21) ，都基本選擇菲波那契數目。哪怕是我們打麻將，不也習慣以二五八做將嗎？
(近似菲波那契數列分布，呈螺線展開的綠花菜)
數學，美在無形，又美在有形。她就像天都峰上望西施，是3D型的。具體地講，數學，美在思維，美在抽象，美在結構，美在自然。
數學思維之美，如天馬行空，卻又長纓在握。這在前麵的例子裏已略有所見，而大家對5歲的高斯脫口算出從1加到100的事，也是耳熟能詳。我這裏再舉兩例。
[例六]：
101人參加淘汰製的乒乓球單打比賽。問一共要舉行多少場比賽，才能決出冠軍？
普通做法是，101分成兩半等於50 (100/2=50，有一人輪空）；50再折半為25…如此分下去，最後結果是：50+25+13+6+3+2+1=100（場）。
這種分析正確。但如果把問題放大，說有10001人參賽呢？再用上述方法就麻煩了。現在換一個角度想，假設你是那個冠軍。那你一定淘汰了所有與你相遇的選手。因此，可以把這些選手的比賽次數全記在你的頭上。而這些選手，也是淘汰了所有與他相遇的選手後才與你相遇的，所以，他們比賽的次數就等於他們實際的比賽次數，加上被他們淘汰的選手的比賽次數。如此循環下去，就清楚了：求總的比賽次數，就等於說，你是趙雲，與這100名高手一一相遇，又全將他們一一挑翻。所以，答案就是100場。同理，當擴展為10001人比賽時，答案就是1萬場。
[例七]：
開數學年會那天，來了編號為1號，2號，3號等等無窮多位數學大師。會址附近有一個九星級賓館，有編號為1號，2號，3號等等無窮多個房間。因此，每位數學大師各自住在自己的編號所對應的房間，大師一個不餘，房間也一個不剩。這不成問題。巧的是，黑旋風這廝也趕來湊熱鬧，並且強牛一頭，橫豎要住進那賓館。但沒有一個大師願意搬出，怎麽辦，為難之際，店老板聰明的女兒一看，來了一蟀鍋，說，這好辦。叫第1號大師挪到第2號房，第2大師挪到第3房，依次類推，每位大師依然各住一間房，而第1號房，還真的空出來了。
數學抽象的美，在高數中比比皆是(如測度論，拓撲學) ，我這裏用下個簡單的例子說明。
你可能覺得全體整數（即，0，±1，±2，±3，等等直到無窮）太複雜，想把它們簡單分類。怎麽分？數學家說，好辦。把所有2的倍數歸成一類，把所有不是2的倍數歸成另一類，如此，全體整數就隻成了兩類：2的倍數類和2的非倍數類；而且，可在這兩類中各找一典型代表，即0和1。這樣一來，在數學家的眼裏，全體整數其實就兩數：0和1。你也許覺得這不過是數學遊戲而已，其實不然，在現實生活中，我們常常做這樣的歸類。比方說，壇子裏有各種年齡、各種性格的人（包括孩子、學生、青年人、中年人和老人），但歸納起來，就兩種人：左派和右派（早幾天，不是還有人想統計人數嗎？）。你可能說，我既不是左派，也不是右派。那好，用3來分割整數（集），則出現三類：0，1，和2（即3的餘數為0，為1和為2這三類）。如果還要細分成極左，左，中間，右和極右等等，則隻要將3改成4，或5，或6等等就行了。而數學的分支---抽象代數（又叫近世代數），也可以和這個分類結構聯係起來。
數學結構的美，在於她簡潔，規律和統一。
用文字來描述勾股定理，也許說了半天，別人還是稀裏糊塗。畫個圖，寫個公式，完了。
從楊輝三角中，你會看到對稱的美。當然，你也會驚訝，用富有規律性的泰勒展開，就能非常漂亮地逼近一條曲線。而解析幾何裏的橢圓，雙曲線，拋物線，都可以統一在一個二次方程裏，並且，還可以形象地用圖形來表示---用不同的角度去切兩個對頂的錐體，所得截口就會分別形成那三個圖形，因此也就理解了為什麽把它們統一稱作圓錐曲線(見下圖)。
數學美在自然
這句話的意思是，大自然的美麗，許多都和數學有關(都可用數學來描述) 。
你肯定注意到了，有些人的身材真漂亮。但你注意過沒，有經驗的報幕員，常常不站在舞台的中央，而是站在偏左(或偏右)一側？你也想沒想過，要是把你手中的信用卡換成正方形的，感覺會怎樣？
這些，都和數學上一個叫做黃金分割比的數有關(這個數通常記為大寫希臘字符Φ。它是一個無理數，
，即Φ略等於1.618)。黃金分割比Φ和圓周率π（也是一無理數，略等於3.142），歐拉數e（還是一無理數，略等於2.718）一起，為三個著名的數學常數(事實上，有兩個公式把這三個數聯係起來，這讓我們再次看到數學統一的美)。下麵，我先談Φ的枯燥的代數性質，後談它的美學實例。不論是無意的自然之為，還是有意的人為，上麵的那些現象，都給人以美感。數學家們發現，某種特殊的比例關係，常悅人耳目。而大自然中的許多現象，的確都遵循或接近這種比例關係。這種特殊的比例關係就是，將一線段分成長短不一的兩截，如果全線段長與較長的那一段的比，恰好等於較長的那一段與較短的那一段的比，則感覺很美(見下圖)。
換成數學語言就是：令 a/b = x，則有：
解上述一元二次方程，求得其正根為：
這個數告訴我們，長寬之比為1.618比1的長方形看起來最舒服。這就是為什麽你喜歡長的，而不是方的信用卡的原因了。
有趣的是，黃金分割比Φ的倒數(記為小寫希臘字符φ，
)等於黃金分割比Φ-1，即 1 .618 – 1 =0.618，它是大Φ的孿生姐妹，是較長的那一段a與全長(a+b)的比(從而實質上也是黃金分割比) ，它所對應的點就是上麵那個線段的截口，所以我稱小φ為黃金分割點(談線段分割，用小於1的φ；談矩形的長寬比，用大於1的Φ) 。
我們知道，無理數是不能用(整)分數表示的。但是，注意到Φ的兩個性質(請參考那個一元二次方程*)：
1）
因此，可將上式寫成：
2）
也就是說，
這裏很有趣地看到，利用級數，可以把有理數和無理數，有窮和無窮聯係起來。
你可能覺得上麵談的這一切都枯燥無味，那麽來看一看黃金分割比在實際生活中的應用吧。從小到隻有幾納米的DNA螺旋結構，到碩大無比的星係，從音樂，建築，美術，攝影構圖，到動植物造型，最後到人體本身，都可找到黃金分割比的影子。為省時間，我這裏就隻貼圖證明。
(帕特農神廟---長寬比為1.618的矩形，俗稱黃金矩形)
(DNA雙螺旋結構的一鏈，長寬比為 3.4納米:2.1納米 = 34:21≈ 1.619 ≈ Ф)
(鸚鵡螺---近似黃金對數螺線，見下麵關於螺線的那一段解釋)
(螺旋星係)
(蒙拉麗莎畫像---黃金三角形和黃金矩形)
(斷壁的維納斯---看看有多少黃金分割比)
壇子裏的MM們大概最希望她們的身材為小φ(即0.618) 了，就像我一樣。不過，如果我的這個0.618是個反序的呢(即上半身是0.618，下半身是0.382。看看，我這裏又用到了數學的排列，即順序原理) ，嗬嗬，豈不成了芙蓉姐姐？現在，大家也知道我為什麽稱6月18日是美麗的日子了。而我也注意到，端午節有許多年都是在618前後。讓誌潔行廉稱物芳的屈子，落在唯美的黃金分割點上，這或許是天意吧。
讓我們再來看一看瀟灑飄逸的(對數)螺線。
它的特點是，每轉四分之一圈，螺距就擴大到1.618倍。注意它與阿基米德螺線(比如我們以前常用的蚊香)不一樣，阿線是等距展開，而對數螺線則是加速展開。
大家注意沒有，上麵那條螺線，我是通過在那些不斷變大的正方形內畫1/4圓弧而得到的。這些變大的正方形有什麽特點呢？它們的邊長構成一個特殊的數列：
{0，1，1，2，3，5，8，13，21，等等}
看出規律來沒？從第三項起，任一項是其前麵緊相鄰的兩項的和(事實上，我正是這樣添加正方形的) 。寫成(遞歸形式的) 通項公式就是：Fn = Fn-1 + Fn-2 (n≥3) 。
上述數列，就是大名鼎鼎的菲波那契數列(Fibonacci)。它源自中世紀意大利著名的數學家菲波那契(1170-1250) 提出的一個問題：一對成年兔子(雌雄各一隻) 每個月產一對小兔(雌雄各一隻) ，每對小兔需要一個月才長成成年兔子。如果第一個月沒有兔子，第二哥月開始出現一對小兔(雌雄各一隻) ，問以後的每個月，兔子對數的總數是多少？答案就是上麵談到的那個數列(建議大家考一考孩子們) 。
菲波那契數列有什麽特點呢？隨著n的增大，雖然取值是越變越大，但相鄰兩項的比值，卻越來越接近黃金分割比Ф(即1.618，事實上，這個比值的極限就是Ф) 。而且，可以證明：
上麵這個公式給出了菲波那契數列的直接表示法(即不用它的前一項或前兩項來表示) 。有趣的是，Ф是一個無理數，通過進行冪次方的組合，結果變成了一個有理數，而且還是正整數。嘿嘿，有理和無理，就在不經意之中完成了乾坤大挪移。
菲波那契數列在自然界中廣泛存在。從植物花瓣的分布數目，到向日葵蕊和綠花菜的展開，再到前麵提到過的DNA鏈的長寬數(34x21) ，都基本選擇菲波那契數目。哪怕是我們打麻將，不也習慣以二五八做將嗎？
(近似菲波那契數列分布，呈螺線展開的綠花菜)
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