本想在6月18號這個美麗的日子裏上帖，但沒抓緊，拖到今天(有點長，先貼一篇)。
前一段讀過名為“玄野”的網友批評奧數班的帖子。我的看法是，各級中小學，全辦奧數班固然不對，但對有興趣，又有天賦的孩子，還是可行的，因為奧賽思維靈活，不拘一格，既諧趣，又嚴謹，是訓練思維，陶冶性情的方法之一。不過，我這篇貼子的目的不是要辯論奧賽班的是非，而是想通過聊天，來激起大家（尤其是孩子們）對數學的興趣。
打算談三個問題：算術的優缺點，數學的美，數學的不完美。
（一）算術的優缺點
先看例子。
[例一]：哥哥和弟弟共有468個蘋果。哥哥比弟弟多40個。問哥哥和弟弟各有多少個?
如果用代數法，設哥哥有X個，弟弟有Y個，列一個二元一次方程組來求解，肯定可求出，但費時間，也有點抽象。
對於不會用代數法的小學生，怎麽求呢？可以這樣做：要是兩個人一樣多，則每人234個(468的一半)。現在哥哥比弟弟多40個，那麽，哥哥的蘋果數一定是這相等的數目(234)加上多出的一半(40除以2)，即234+20=254個，而弟弟的蘋果數則是這相等的數目(234)減去多出的一半(40/2)，即234-20=214個，完了。這樣的算術解法，又快又直觀，的確比代數法好。
類似的，讓我們來看看“玄野”列的一道題。
[例二]：A班和B班人數一樣多，並且A班女生比B班男生多8個，A班和B班全體男生占全部學生的2/5，求全體學生人數。
自然，還是可通過建立聯立方程組來求解。但聰明的小學生會這樣想：
因為A班和B班人數一樣多，那麽，由A班女生比B班男生多8個這個條件，可推出B班女生就比A班男生多8個，所以，全體女生比全體男生多16個(8+8)。又知道全體男生占全部學生的2/5，則全體女生占全部學生的3/5，因此女生比男生多1/5（3/5-2/5）。也就是說，全體的1/5是16，從而，全體必等於16/(1/5)=80。列成小學的算式就是：
算術法除了主要適用求解相對簡單的數學問題外，它的兩大優點(一是快，二是直觀)，也是它的兩大不足。
怎麽講呢？就題論題，算術法是快（其實，它的快實質上也是解方程，隻不過省略了中間步驟，而直接列出答案），但不易歸納和推廣。試看“玄野”列的另一道題。
[例三]：哥哥和弟弟各有一些CD。若哥哥把自己的1張CD給弟弟，則兩人變得一樣多。若弟弟把自己的1張給哥哥，則哥哥的CD是弟弟的2倍。問哥哥和弟弟各有多少張CD?
用算術法，可以很快找到答案：哥哥7張，弟弟5張。
但是如果把題目變一下，說不是給1張，而是給5張呢？用算術法就得重新計算。更進一步的，如果再變為是給8張，並且是成為5倍呢？隨著題目的變化和難度的加大，用算術法解題，就漸感吃力。此時，抽象的代數法卻可一勞永逸地解決問題，而且還可以回答，何時有解，何時無解[注1]。
讓我們回顧一下有關國際象棋的故事。
[例四] ：國王打算獎賞發明了國際象棋的宰相。謙卑的宰相提了個小小的要求：請在8x8的方格棋盤的第一格，賞1粒米，在第2格賞2粒，第3格賞4粒等等，也就是說，每格裏的米粒數是前一格的米粒數的兩倍，直到賞滿64個格子。問：國王能否滿足宰相的要求？
這個問題，用算術法求解不容易，而用代數法，則是牛刀小試，手到擒來。
它是一個公比為2的等比數列求和問題。設：
將該式左右兩邊同乘以2得：
將這個新的式子與原式相減得：
所以，
這個數有多大呢？或者說，總共要多少粒米呢？如果你將米粒緊放在一起，壘成一個寬1米，高1米的牆，然後從地球到太陽，擺一個來回(即以2個天文單位，約等於3億公裏為長，構成一長方體) ，那麽，這個數(1後跟19個零)，比這些米粒的總和還要大。嗬嗬，漫說古老的王國會破產，就是現今地球，也要賒帳。我把上麵的求解公式，故意寫成：
那是因為，用同樣的方法，可知：
q為公比， a1為首項，n為項數。有了這個通項公式，任何等比數列的求和問題就迎刃而解了。
第二，算術法直觀，卻不一定嚴謹，因而也就不一定正確。請看：
[例五]：你有1，2，等等直到100這100個數，我隻有2，4，6等等直到100這50個雙數(即偶數)。那麽，我的數目（即50個數）當然少於你的數目（即100個數），因為我隻是你的一部分，而部分小於總體。這不成問題。直觀推廣一下，如你有1，2，3，等等無窮多個不間斷(即連續的)的正整數，而我有2，4，6，等等無窮多個不間斷的正雙數。現在問，誰擁有的數目多呢？
想當然地，我們會說，前者比後者多，因為總體大於部分呀。嗬嗬，我這裏暫不給答案，大家可參考另一個本質相同的例子（見例七）而自己作答。
再來看幾個和直覺相悖的問題。
我們知道，一個(正)數越大，它的倒數就越小。比如說3大於2，那麽1/3就小於1/2。隨著這個數變得無限大，它的倒數就會變得無限小(即無限接近0) ，例如，10的倒數是0.1，而10000的倒數則隻有0.0001 。
[問題1]：
與那個米粒總和S64(即2^64-1) 相比，誰大？
[問題2]：如果把問題1的偶數項變號，請問，
等於什麽？
[問題3]：如果把問題2裏一些數的順序調整一下，那麽，
又會是什麽？
[注1]: 弟弟的CD張數=
(a為讓出數，b為倍數) ，哥哥的CD張數=弟弟的CD張數+2a。這兩個式子都有清楚的物理含義，請大家自己思考和解釋。
前一段讀過名為“玄野”的網友批評奧數班的帖子。我的看法是，各級中小學，全辦奧數班固然不對，但對有興趣，又有天賦的孩子，還是可行的，因為奧賽思維靈活，不拘一格，既諧趣，又嚴謹，是訓練思維，陶冶性情的方法之一。不過，我這篇貼子的目的不是要辯論奧賽班的是非，而是想通過聊天，來激起大家（尤其是孩子們）對數學的興趣。
打算談三個問題：算術的優缺點，數學的美，數學的不完美。
（一）算術的優缺點
先看例子。
[例一]：哥哥和弟弟共有468個蘋果。哥哥比弟弟多40個。問哥哥和弟弟各有多少個?
如果用代數法，設哥哥有X個，弟弟有Y個，列一個二元一次方程組來求解，肯定可求出，但費時間，也有點抽象。
對於不會用代數法的小學生，怎麽求呢？可以這樣做：要是兩個人一樣多，則每人234個(468的一半)。現在哥哥比弟弟多40個，那麽，哥哥的蘋果數一定是這相等的數目(234)加上多出的一半(40除以2)，即234+20=254個，而弟弟的蘋果數則是這相等的數目(234)減去多出的一半(40/2)，即234-20=214個，完了。這樣的算術解法，又快又直觀，的確比代數法好。
類似的，讓我們來看看“玄野”列的一道題。
[例二]：A班和B班人數一樣多，並且A班女生比B班男生多8個，A班和B班全體男生占全部學生的2/5，求全體學生人數。
自然，還是可通過建立聯立方程組來求解。但聰明的小學生會這樣想：
因為A班和B班人數一樣多，那麽，由A班女生比B班男生多8個這個條件，可推出B班女生就比A班男生多8個，所以，全體女生比全體男生多16個(8+8)。又知道全體男生占全部學生的2/5，則全體女生占全部學生的3/5，因此女生比男生多1/5（3/5-2/5）。也就是說，全體的1/5是16，從而，全體必等於16/(1/5)=80。列成小學的算式就是：
算術法除了主要適用求解相對簡單的數學問題外，它的兩大優點(一是快，二是直觀)，也是它的兩大不足。
怎麽講呢？就題論題，算術法是快（其實，它的快實質上也是解方程，隻不過省略了中間步驟，而直接列出答案），但不易歸納和推廣。試看“玄野”列的另一道題。
[例三]：哥哥和弟弟各有一些CD。若哥哥把自己的1張CD給弟弟，則兩人變得一樣多。若弟弟把自己的1張給哥哥，則哥哥的CD是弟弟的2倍。問哥哥和弟弟各有多少張CD?
用算術法，可以很快找到答案：哥哥7張，弟弟5張。
但是如果把題目變一下，說不是給1張，而是給5張呢？用算術法就得重新計算。更進一步的，如果再變為是給8張，並且是成為5倍呢？隨著題目的變化和難度的加大，用算術法解題，就漸感吃力。此時，抽象的代數法卻可一勞永逸地解決問題，而且還可以回答，何時有解，何時無解[注1]。
讓我們回顧一下有關國際象棋的故事。
[例四] ：國王打算獎賞發明了國際象棋的宰相。謙卑的宰相提了個小小的要求：請在8x8的方格棋盤的第一格，賞1粒米，在第2格賞2粒，第3格賞4粒等等，也就是說，每格裏的米粒數是前一格的米粒數的兩倍，直到賞滿64個格子。問：國王能否滿足宰相的要求？
這個問題，用算術法求解不容易，而用代數法，則是牛刀小試，手到擒來。
它是一個公比為2的等比數列求和問題。設：
將該式左右兩邊同乘以2得：
將這個新的式子與原式相減得：
所以，
這個數有多大呢？或者說，總共要多少粒米呢？如果你將米粒緊放在一起，壘成一個寬1米，高1米的牆，然後從地球到太陽，擺一個來回(即以2個天文單位，約等於3億公裏為長，構成一長方體) ，那麽，這個數(1後跟19個零)，比這些米粒的總和還要大。嗬嗬，漫說古老的王國會破產，就是現今地球，也要賒帳。我把上麵的求解公式，故意寫成：
那是因為，用同樣的方法，可知：
q為公比， a1為首項，n為項數。有了這個通項公式，任何等比數列的求和問題就迎刃而解了。
第二，算術法直觀，卻不一定嚴謹，因而也就不一定正確。請看：
[例五]：你有1，2，等等直到100這100個數，我隻有2，4，6等等直到100這50個雙數(即偶數)。那麽，我的數目（即50個數）當然少於你的數目（即100個數），因為我隻是你的一部分，而部分小於總體。這不成問題。直觀推廣一下，如你有1，2，3，等等無窮多個不間斷(即連續的)的正整數，而我有2，4，6，等等無窮多個不間斷的正雙數。現在問，誰擁有的數目多呢？
想當然地，我們會說，前者比後者多，因為總體大於部分呀。嗬嗬，我這裏暫不給答案，大家可參考另一個本質相同的例子（見例七）而自己作答。
再來看幾個和直覺相悖的問題。
我們知道，一個(正)數越大，它的倒數就越小。比如說3大於2，那麽1/3就小於1/2。隨著這個數變得無限大，它的倒數就會變得無限小(即無限接近0) ，例如，10的倒數是0.1，而10000的倒數則隻有0.0001 。
[問題1]：
與那個米粒總和S64(即2^64-1) 相比，誰大？
[問題2]：如果把問題1的偶數項變號，請問，
等於什麽？
[問題3]：如果把問題2裏一些數的順序調整一下，那麽，
又會是什麽？
[注1]: 弟弟的CD張數=
(a為讓出數，b為倍數) ，哥哥的CD張數=弟弟的CD張數+2a。這兩個式子都有清楚的物理含義，請大家自己思考和解釋。
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