舊文：「話說日晷」（關東行者）

行者按：「本文原發在新浪博客，今不存；但在zedstudio.org上有一個備份（見『生活中的數學：話說日晷』）。現在刪去『題前的話』和關於如何製作『地平式日晷』那部分，一併『幾曾回首』論壇，重新發於此和大家分享。」

舊文：話說日晷

關東行者

說起日晷，作者以前在博文裏至少有幾個地方提過：曾在一篇博文裡提到了一種常見的日晷 - Garden Sundial：「注意Sundial上麵的文字寫作『Time Began in a Garden』- 用語雙關，讓人聯想到『Now the Lord God planted a garden in the east，in Eden』（Genesis 2：8），那是Bible中的人類之始」（見「Filoli Garden」一文）；在介紹「天球座標」時曾經提過加拿大白石鎮上博物館前的那個日晷【1】，也是一個Horizontal Sundial；另有一處在北京清華大學的校園內，就在大禮堂前那片草坪的南端（位於清華學堂和王國維先生紀念碑之間）- 最初的日晷（從形狀上看是一種「赤道式」日晷，即Equatorial Sundial）是庚申級（1920年）校友捐贈的，日晷底座刻有「行於勝言」（以及拉丁文「Facta Non Verba」- 按Google這條「老狗」的翻譯則是「Deeds, Not Words」），現在的日晷盤則是「文革」後新製作的。另外，在「北加遊之二：Redding的Sundial Bridge以及Lassen Peak」一文裡曾提到「Sundial Bridge at Turtle Bay of Redding」一幅取自Turtle Bay網站的遠景圖。

圖一，Sundial Bridge at Turtle Bay（courtesy of Turtle Bay Org）

日晷（Sundial），查漢語字典，它會告訴你：按照日影測定時刻的儀器，亦稱「日規」；查英文字典，它會告訴你：an instrument showing the time by the shadow of a pointer cast by the sun onto a plate marked with the hours of the day（或乾脆按新加坡國立大學的一篇文章「The Mathematics of Sundials」說的，A sundial is  a device which uses the position of the Sun to indicate time。）這種古老的計時儀器，可以追溯到幾千年前。在中國古代，曾有人提過以長桿立在地上根據影子來測定時間，但是不是隨便立根棍子就能看出準確的時間呢？下麵以Garden Sundial為例，介紹一下日晷的基本原理。

這裡需要簡單回顧一下以前提過的天球座標知識【2】。

「天球赤道」（Celestial Equator）是地球赤道（Equator）表麵向外延伸與天球的相交線。對應地，「天球極點」是地球極軸（Polar Axis）向外延伸與「天球」的交點。北半球，是北極沿著地球轉軸延伸到「天球」的交點，大致是北極星（Polaris）的位置。現在我們已經知道，地球是一個球體（雖然不規則，但從業餘觀測的角度，影響不大），它的自傳軸和它沿著太陽公轉的軌道（從地球的角度，就是太陽的軌道，稱為黃道，即Ecliptic）有個角度，稱為地軸傾角（其值ε ≈ 23°27′，也叫「黃赤交角」，即黃道和赤道的夾角，這個角度數也是地球南北迴歸線，Tropic of Cancer和Tropic of Capricorn的緯度值）。地球自傳，看著太陽早晨從東方升起，逐漸上升，然後在西方落下。地球公轉，由於黃赤交角，有季節的變化，太陽在天上的高度，以及它普照大地的角度也不同，所以地上的影子長短也不一樣。

那日晷是如何巧妙地利用影子來「準確」地計時呢？

大家知道，地球圍繞地軸自傳一周（一晝夜）大約是24小時（實際數值大約是23時56分4秒），所以每個小時大約轉15°（degree）或π/12（radian）。所以，如果能把影子映射到一把刻度尺上，就能知道對應的時間。

在時刻n，地球轉過的角度（這裏先記作λ）應該是：λ = 15°*n 或 n*π/12。如果日晷所在的緯度（latitude）記作β，日時針（Gnomon，它必須和當地地平麵呈一個角度為當地緯度β的夾角）的影子在日晷麵（地平式日晷的日晷麵和當地地平麵平行）上和正午刻度的夾角（稱為時角，hour angle）記作α，則有以下關係：tanα = sinβ * tanλ。利用簡單的三角學（Trigonometry）知識，按圖二就可以自行推導出來。

圖二，如何推算 tanα = sinβ * tanλ（此圖拷自【3】）

幾點提示：三角形BCN，DCN，及DBC都是直角三角形。

日時針和當地地平麵的夾角就是當地的緯度β，這使得日晷的日時針和地球的極軸（即自轉軸）平行（類似Equatorial Mount式天文望遠鏡RA軸的極軸校準，針尖指向的位置正是北極星【4】）。這樣，當地球（連同日晷）自轉時，影子會按比例投射到一條刻度線（相當於圖二裏CN的位置）上：一旦緯度β確定，時刻n和時角α的關係就確定了。

然而，即使嚴格按這個公式做出的日晷也有誤差。這主要是由於均時差（Equation of Time）的存在。因為地球繞太陽的軌道是橢圓形的以及地軸傾角的存在，一般每年的二月份中，日晷會慢十五六分鍾左右；十月底到十一月初，日晷會快十五六分鍾左右（見圖三）。所以，不少日晷會把這個均時差圖刻在日晷上。

圖三，均時差（Equation of Time，此圖拷自【3】）

此外，經度（Longitude）上的差別也會造成即便同一時區的日晷記錄的不同。校正公式是：tanα = sin β * tan15(n + f )，感興趣者可以看看【3】，這裏就不詳細敘述了。

圖三，加拿大白石鎮博物館（White Rock Museum and Archives）前

的那個日晷（複製於【1】，筆者攝）

（完）

註釋

1，「天文觀測常識之一：赤道儀和『天球赤道坐標係』（一）」：它也是根據「緯度」位置，來固定指針和地球的自轉軸平行（圓盤和赤道平麵平行），這樣指針經太陽照射的影子，落在的時刻就是當時的時間。
2，「天文觀測常識之一：赤道儀和『天球赤道坐標係』(二)」
3，The Sundial and Geometry，2nd Edition，by LAWRENCE E. JONES，NORTH AMERICAN SUNDIAL SOCIETY - 2005
4，可以看出，對於赤道式日晷（圖二中以B為圓心的圓盤位置），日時針也是平行地軸的，其日晷盤和日時針垂直，所以日時針在其日晷盤上的影子掃過的角度和地球自轉轉過的角度完全一樣，直接就是λ。但是地平式的日晷不同，日時針在其日晷盤上的影子掃過的角度是α。該圖還有一個另一類的日晷，即垂直式日晷，感興趣者可以自己推導看看。
5，Sundials for Starters, by Robert L. Kellogg，NORTH AMERICAN SUNDIAL SOCIETY， 2007

附錄：還原在新浪博客裡附加的「一點補充」和「題後話」算懷舊（「幾曾回首」）的一部分

一點補充（2012年10月16日）：上海博友yihua有一篇「日晷和上海地圖網站」提到，「拍攝時間是中午11:20，日期10月16日，從修正值（分）表格最底下一行找到10月，對應查找到17日是-20.3,13日是-19.4，估算下來，16日應該減去20.1，此時，豔陽高照，日晷那根陽光的針的黑影正投射在11:40上，神啦！真的很準哎！」 － 筆者評論：不知日晷所在的確切經度，我查了一下交大在徐家匯的位置，大約是東經121.43度，和北京時間（您的手表）對應的東經120度差大約6分鍾，加上10月中equation of time的校正大約14分鍾，所以有20分鍾左右的誤差：）

題後話：今天（二零一五年十二月三十日）在新疆王力德先生處看他寫的“北京的日影幾點鍾為正北？——《北京中軸線偏離之謎》一文有誤”，裡麵提到對“而太陽經過上中天的時間，是在電台播出“北京時間中午12點”的時號上”說法的質疑。這和行者在上麵“一點補充”裡提到的“和北京時間（您的手表）對應的東經120度 ”是一致的。另外，重讀這篇舊文，看到網友yihua不在（她的博客被註銷），感嘆。

行者追記：加一道趣味考察題 - How to measure 45 seconds。

You have two minutes to find a way to count 45 seconds by having a piece of stick, a pack of matches, and a knife. 

Here are a thin wood stick with the consistent burning rate, a pack of matches to burn the stick, and a sharp utility knife to cut the stick if necessary. We know it will take exactly one minute for burning the stick completely. Assuming human reaction time in fraction of second that can be negligible and the cut by the sharp knife doesn’t introduce any variation, can you calculate 45 seconds by using this stick with the given matches and knife? （Solution will be released at end of one of the published posts in this blog or can be found in zedstudio）

[關東行者]

Added one more question: How to measure 45 seconds.