證明開普勒定律

開普勒定律及證明。上次看到是在物理課本。歸了包堆都是重複牛頓的書數學原理。

這就看出數學和物理課本借鑒著看是多麽有趣。

開普勒這人太不簡單了。要說他怎麽不簡單，要從另一個不簡單的人說起。這個人是丹麥人帝古布拉赫。這個布拉赫在家裏架了個天文望遠鏡，天天晚上對著看。我們知道星星每天晚上都是稍微移動的。他就把天空畫成一個坐標係，天天記錄那一點點位移，一記幾十年。
那得少參加多少爬梯，少吃多少大餐，少看多少腦殘片啊。你說他傻不傻牛不牛？
等他死了，這些記錄，就變成了幾萬十幾萬幾十萬毫無意義的數字。
數學手冊後麵有這表那表的，差不多。
這些數字就到了更牛的開普勒手裏。
那是1600年左右。牛頓的萬有引力和力學定律還沒出來。開普勒估計也不懂向量。但是他對平麵解析幾何特懂是肯定的。
這是原因。
布拉赫那些數是行星在天空坐標係運行的軌跡。開普勒居然把他們轉化成自己紙上畫的另一個坐標係上。這個坐標係上，太陽是橢圓的一個焦點。每個行星的軌跡都是不同的橢圓，但是焦點是一樣的。
這就是開普勒定理的第一條，行星以橢圓軌道圍繞太陽運動，太陽居於一個焦點。
你說他怎麽想出來的？
現在高中的天文俱樂部，這是很好的項目。把布拉赫的數據拿過來，開普勒的坐標轉換公式現成的，輸入電腦，馬上，行星軌跡就屏幕出來了。等於重複物理史。
現在說開普勒定律的第二條。

開普勒知道這些行星的軌跡是橢圓。下一個問題自然是，要確定行星在某個特定的時間在橢圓上的位置，就必須知道行星的速度。
這可把開普勒難倒了。他知道行星的速度是變化的，不是勻速。變化也不是大問題，如果有一個函數能夠表達這個變化的速度，問題也解決了。可是他看著星星在各個位置的不同速度，就是找不出一個規律。不可能有一個時間函數表達速度。
這就看出開普勒牛的地方了。速度找不出規律，他就去看和速度相關的變量有沒有規律。他把行星和太陽連一條直線，這條直線掃過的麵積是均勻的，通過勻速的麵積，自然也就可以推出速度，也就可以推出行星的位置。
這就是開普勒定律的第二條，太陽和行星連線掃過的麵積，在相等的時間，是相等的。
開普勒定律的第三條是行星的周期，更複雜。
他牛就牛在，什麽推導沒有，七巧板似的，把亂七八糟的數，試來試去，讓他試出來了。
橢圓弧下的麵積是很複雜的。不知道他用了積分沒有。如果沒有，那可真是累人的活，誰會想去算它。開普勒就想到了，而且有了那個偉大發現。
開普勒之後八十年，1687年，牛頓出版了數學原理。他在書裏說，開普勒那些破玩意實際上用我的兩個公式全可以解釋。一個是加速度公式，另一個是萬有引力公式。
牛頓的推導就是我們看到的。
現在神舟上天，軌道計算全用牛頓的公式，誰也不會用開普勒定律，先算橢圓麵積，再算衛星的位置。
開普勒牛就牛在，他比牛頓早了八十年，一大堆毫無意義的數字中找出規律。
科學史上另一個類似的是孟德爾。天天在後院數豌豆，居然數出遺傳規律了。