祖衝之是怎樣得到圓周率的近似值

在談到中國數學史時不能不提祖衝之。他是南北朝人，生於公元 429 年。他寫過一本數學書提出了圓周率可以近似地用 22/7 或 355/113 代替。 他還寫到圓周率在 3.1415926 和 3.1415927 之間。 不幸的是他的書沒有很好地解釋他是怎麽得到這些結果的。也沒有學 生把他的方法傳下來。他的書在四五百年後就失傳了，主要可能是因為沒有 人能看懂。然而他的圓周率近似值保持了近一千年的世界記錄。後人隻能猜 他為什麽會去算圓周率以及他是怎樣計算的。

早兩百年前魏晉朝時劉徽就寫過正多邊形邊長的計算。祖衝之同時代 有數學家對圓周率有研究。他們有近似值 3.14，3.15，3.16，22/7 等不同的 值。這些近似值並不很複雜，隻要做更精確的測量就能看出來這些都不是精 確值。史書上說祖衝之對測量很有研究。他對圓周率的興趣應該是從這些同 時代的人那裏來的。

前麵提到的劉徽寫過計算圓內正多邊形邊長從而得到圓周率的近似值。 曆史上古希臘大數學家阿基米德在公元前兩百年做過同樣的工作，比劉徽 早四五百年。劉徽應該是從那裏學來的。如果圓的半徑為一直徑為二，它的 內接正六邊形的周長為六。從正 n 邊形的周長到正 2n 邊形的周長有一個遞 推公式。用這個公式就可以得到正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形 等等的邊長，從而得到圓周率更好的近似值。但是這個公式用到勾股定理要 開平方，這在祖衝之的時代很不容易。一般認為祖衝之是不大可能用這個公 式來得到他的近似值的。一千年後才有人用這個公式計算出更好的近似值。 進入微積分時代圓周率的近似計算用到無窮級數，祖衝之也是不可能用到 這個方法的。

祖衝之得到的 355/113 應該是很多測量的結果。不難想象他應該也試 過了做以任意從 7 到 113 為直徑的圓，結果是直徑在等於 7，106，113 時， 周長分別和 22，333，355 非常接近。他的時代沒有阿拉伯數字他沒法在紙 上做除法。他也沒有算盤。但他應該有和算盤類似的工具做除法運算得到近 似值：
               22/7= 3.1428571,
         333/106= 3.1415094,
         355/113= 3.1415929.
接下來的問題自然是這些值是不是精確值了。他的辦法應該還是去測量。理 論上如果做一個以 100,000 尺為直徑的圓，那麽周長是在 314,159.26 尺和 314,159.27 尺之間。但十萬尺等於一萬丈。如果以一丈等於三米則一萬丈等 於三萬米等於三十公裏。實際測量是很難做到這樣精確的。當然也可以做一 個以一尺為直徑的圓繞十萬圈，或者是做一個以一千尺為直徑的圓繞一百 圈，得到同樣得長度。有經驗的人會去做多次測量，多種測量。從這些測量 的結果也許就能看出這個值，從而知道這三個分數值都不是精確值。 象在前麵提到的，我們不知道他是不是這麽幹的。祖衝之說是對天文曆 法很有研究。我們不知道他的計算是不是和什麽天文數據有關。或許他幹脆 就是胡猜了一下，剛好他走運猜對了。 祖衝之沒有提 333/106 這個近似值大概是因為在做一個以 1,000 尺為 為直徑的圓然後測量周長時就能看出這個值不是精確值了。

這樣寫他的工作也許會讓人覺得祖衝之的工作沒有那麽了不起了。但 這隻能怪他自己沒有好好寫清楚他的工作。

參考文獻

[1] 華羅庚, 從祖衝之的圓周率談起, 中國青年出版社,1962.