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如果大家有機會翻閱20世紀初美國哈佛大學的入學數學考試卷子，就會發現裏麵的內容簡單到“令人發指”。就如今天的虎爸虎媽們對比20-30年前自己高考的考題和今年的試題，也會發現試卷的廣度與難度都有明顯的提高。一個笑話提到愛因斯坦的相對論剛發表的時期，全世界隻有12個人能夠理解他的理論；今天每一位大學中修物理專業的孩子，相對論和量子物理早就成為了必修課。
每一代人類的孩子們都有超越上一代人的聰明和理解力，家長萬萬不能沿用老一套 - "我當年是什麽什麽時候才學的什麽什麽..."，一定要創造機會給孩子，給予充分成長的空間。微積分算一個例子吧？它的思想貫穿了人類的整個工業革命，孩子越早理解掌握，就越有利於越早領略科學海洋的廣闊與風浪。
但孩子自有自身的知識儲備和理解力局限，接觸微積分的途徑斷無法無高中孩子相同。應從他們已有的知識出發，多給予形象的例子，反複帶領孩子理清思路，以積分為起始，首先明確微積分的基本分析方法。尤其重要的一點就是盡量使用淺顯易懂的方式幫助孩子理解概念，而千萬不要一上來就介紹微積分的符號。不然孩子一下子需要麵對新的抽象概念和陌生符號，肯定是會打退堂鼓的。
虎爸虎媽遍尋了身邊的林林種種微積分教材，很遺憾大多數教材都千篇一律，麵向的閱讀對象至少高中孩子，無法與上述的思路吻合。這樣，隻好想辦法自己摸索合適小學程度孩子學習理解的微積分入門。
為了幫助孩子在大腦中形成積分的概念，昨晚虎爸與Eric再次review了通過三角形麵積公式引入積分概念的過程。期間孩子提出了一個很有價值的問題，恰恰指出了大多數高中階段微積分課本的不嚴謹之處，在此與大家共享。
孩子一直疑惑的地方是：先前通過在三角形內部分割小矩形來極限出麵積。但是示例圖中，我們采用的是內截矩形，總是會有一部分小三角形沒有被計算在內。所以孩子直觀感受下，最終得到的麵積公式無論怎樣都會缺少一些什麽。
那麽究竟這些“多餘的”小三角形，在極限分割的情況下，對最終的結果有無影響呢？
其實我們的祖先 - 3000年前的阿基米德已經給出了解決這類問題的思路。那就是從內向外和從外向內兩個方向同時進行極值逼近，當n趨近於無窮大時，如果兩種逼近的最終結果是一樣的，我們就可以完美證明出這個公式是正確的。
